EU-8-58 – DERIVACE FUNKCE XIV (konvexnost a konkávnost funkce)

1. EU-8-58 – DERIVACE FUNKCE XIV (konvexnost a konkávnost funkce)

2. MOTIVACE KONVEXNOSTI A KONKÁVNOSTI FUNKCE V BODĚ x0 Graf funkce f leží nad tečnou t. Graf funkce f leží pod tečnou t. Graf funkce f leží nad tečnou t v libovolném bodě. Graf funkce f leží pod tečnou t v libovolném bodě.

3. LOKÁLNÍ VÝZNAM ZNAMÉNKA DRUHÉ DERIVACE V BODĚ x0 Pohybující se bod [x; f(x)] je vždy nad tečnou t (pokud je x  x0). • DEFINICE FUNKCE RYZE KONVEXNÍ V BODĚ x0 Předpokládejme existenci derivaci f/(x) v bodě x0. Existuje-li  > 0 tak, že pro všechna x(x0– ; x0)  (x0;x0+ ) leží bod [x; f(x)]nad tečnou t, říkáme, že funkce f je ryze konvexní v bodě x0. t: y = f(x0) + f/(x0) . (x – x0) leží-li bod[x; f(x)]nad tečnou t, potom platí f(x) > f(x0) + f/(x0) . (x – x0).

4. LOKÁLNÍ VÝZNAM ZNAMÉNKA DRUHÉ DERIVACE V BODĚ x0 Pohybující se bod [x; f(x)] je vždy pod tečnou t (pokud je x  x0). • DEFINICE FUNKCE RYZE KONKÁVNÍ V BODĚ x0 Předpokládejme existenci derivaci f/(x) v bodě x0. Existuje-li  > 0 tak, že pro všechna x(x0– ; x0)  (x0;x0+ ) leží bod [x; f(x)]pod tečnou t, říkáme, že funkce f je ryze konkávní v bodě x0. t: y = f(x0) + f/(x0) . (x – x0) leží-li bod[x; f(x)]pod tečnou t, potom platí f(x) < f(x0) + f/(x0) . (x – x0).

5. VĚTA (lokální význam znaménka druhé derivace funkce f v bodě x0): Je-li f//(x0) > 0, potom je funkce f v bodě x0 ryze konvexní. Důkaz věty: Máme dokázat, že je funkce f v bodě x0 ryze konvexní. Máme tedy dokázat, že existuje  > 0 tak, že pro libovolné x, pro které platí 0 <  x – x0 < , leží bod [x; f(x)] nad tečnou t (tečna k funkci f v bodě [x0; f(x0)]). Tedy f(x) > f(x0) + f/(x0) . (x – x0). Z předpokladu f//(x0) > 0 plyne, že je funkce y = f/(x) rostoucí v bodě x0. Z toho plyne, že existuje  > 0 tak, že pro   (x0 - ; x0) platí f/() < f/(x0). Pro   (x0; x0 + ) platí f/(x0) <f/(). Zvolme libovolně x  (x0 - ; x0). Podle Lagrangeovy věty (viz materiál EU-8-54 – derivace funkce a monotónnost funkce) musí existovat číslo  (x <  < x0)tak, že platíf/() (x – x0) = f(x) – f(x0). Protože je funkce y = f/(x) rostoucí v bodě x0, platí f/() < f/(x0). Pokud tuto nerovnost násobíme záporným číslem (x – x0), dostaneme f/(). (x – x0) > f/(x0) . (x – x0). Použijeme červeně označenou rovnost, dostaneme: f(x) – f(x0) > f/(x0) . (x – x0), odtud dostáváme f(x) > f(x0) + f/(x0) . (x – x0). Zvolme libovolně x  (x0; x0 + ). Musí existovat číslo  (x0 <  < x)tak, že platíf/() (x – x0) = f(x) – f(x0). Protože je funkce y = f/(x) rostoucí v bodě x0, platí f/(x0) < f/(). Pokud tuto nerovnost násobíme kladným číslem (x – x0), dostaneme f/(x0). (x – x0) < f/() . (x – x0). Použijeme červeně označenou rovnost, dostaneme: f(x) – f(x0) > f/(x0) . (x – x0), odtud dostáváme f(x) > f(x0) + f/(x0) . (x – x0). VĚTA (lokální význam znaménka druhé derivace funkce f v bodě x0): Je-li f//(x0) < 0, potom je funkce f v bodě x0 ryze konkávní. Důkaz věty bude velmi podobný předešlému důkazu.

6. MOTIVACE RYZÍ KONVEXNOSTI FUNKCE V INTERVALU I = (a; b) • DEFINICE FUNKCE RYZE KONVEXNÍ V INTERVALU I = (a; b) Funkce f je ryze konvexní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b) splňující nerovnosti x1 < x2 < x3, leží bod P2[x2; f(x2)] pod přímkou spojující body P1[x1; f(x1)], P3[x3; f(x3)]. Funkce f je ryze konvexní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b) splňující nerovnosti x1 < x2 < x3, platí nerovnost

7. MOTIVACE RYZÍ KONKÁVNOSTI FUNKCE V INTERVALU I = (a; b) • DEFINICE FUNKCE RYZE KONKÁVNÍ V INTERVALU I = (a; b) Funkce f je ryze konkávní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b) splňující nerovnosti x1 < x2 < x3, leží bod P2[x2; f(x2)] nad přímkou spojující body P1[x1; f(x1)], P3[x3; f(x3)]. Funkce f je ryze konkávní v intervalu (a; b) tehdy, když pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b) splňující nerovnosti x1 < x2 < x3, platí nerovnost

8. VĚTA (souvislost znaménka druhé derivace funkce f a konvexnosti funkce v intervalu) Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f//(x) > 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konvexní. Důkaz věty: Máme dokázat, že je funkce f v intervalu (a; b) ryze konvexní. Máme tedy dokázat, že pro každou trojici reálných čísel x1, x2, x3 (a; b), x1 < x2 < x3 platí nerovnost f(x2) (x3 –x1) < f(x1) (x3 – x2) + f(x3) (x2 – x1). Z předpokladu f//(x0) > 0 plyne, že je funkce y = f/(x) rostoucí v intervalu (a; b). To znamená, že pro libovolná dvě čísla ,   (a; b) platí, je-li  < f/() < f/( ). Zvolme libovolně x1, x2, x3 (a; b) tak, aby x1 < x2 < x3. Podle Lagrangeovy věty (viz materiál EU-8-54 – derivace funkce a monotónnost funkce) musí existovat číslo  (x1; x2)tak, že platíf/() (x2 – x1) = f(x2) – f(x1). Dále musí existovat číslo  (x2; x3), pro které platí f/() (x3 – x2) = f(x3) – f(x2). Protože je funkce y = f/(x) rostoucí v intervalu (a; b) a  < , platí f/() < f/(). Potom musí platit: • VĚTA (souvislost znaménka druhé derivace funkce f a konkávnosti funkce v intervalu) Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f//(x) < 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konkávní. Důkaz věty bude velmi podobný předešlému důkazu.

9. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 1 Určete, zda je funkce f: y = x2 – 2 x – 3 v bodě x0 = 2 (x0 = 0) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x0, tečnu zobrazte. Průsečíky funkce s osami souřadnými: f(0) = – 3; f(x) = 0  x2 – 2 x – 3 = 0  (x = – 1  x = 3) y/ = 2 x – 2  y/ = 0  x = 1 funkce f je klesající v intervalu (– ; 1>, funkce f jerostoucí v intervalu <1; + ) funkce f má v bodě x = 1 ostré lokální minimum, f(1) = – 4 y/ = 2 x – 2  y// = 2 y//(2) = 2 > 0  funkce f je v bodě x0 = 2 ryze konvexní. y/(2)= 2 = kt ; T[2; – 3]  t: y + 3 = 2 . (x – 2)  t: y – 2 x + 7 = 0 y//(0) = 2 > 0  funkce f je v bodě x0 = 0 ryze konvexní. y/(0)= – 2 = kt ; T[0; – 3]  t: y + 3 = – 2 x  t: y + 2 x + 3 = 0

10. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 2 Určete, zda je funkce f: y = sin x v bodě x0 = /6 (x0 = /2; x0 = 3 /4) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f v intervalu <0; >, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x0, tečnu zobrazte. funkce f je rostoucí v intervalu <0; /2> funkce f jeklesajícív intervalu </2; > funkce f má v bodě x = /2 ostré lokální maximum, f(/2) = 1 graf y/ = cos x  y// = – sin x

11. ILUSTRATIVNÍ ÚLOHA 3 • Je dána funkce f. Určete • intervaly monotónnosti, • lokální extrémy, • najděte rovnici tečny t k funkci f v bodě T[-1; ?], • intervaly konvexnosti, konkávnosti. • Načrtněte co nejpřesněji graf funkce včetně tečny t. y/ = x2 + 2 x = x . (x + 2) y/ = 0  ( x = 0  x = – 2) funkce f je rostoucí v intervalech (– ; – 2>, <0; + ) funkce f jeklesajícív intervalu < – 2; 0> funkce f má v bodě x = – 2 ostré lokální maximum, f(– 2) = 10/3 funkce f má v bodě x = 0 ostré lokální minimum, f(0) = 2 T[-1; 8/3 ]; kt = y/(-1) = – 1  t: 3 x + 3 y – 5 = 0 y// = 2 x + 2 = 2 . (x + 1) funkce f je ryze konkávní v intervalu (– ; – 1> funkce f je ryze konvexní v intervalu (– 1; +)

12. ÚLOHY K PROCVIČENÍ Určete, zda je funkce f: y = –x2 – 2 x + 3 v bodě x0 = –2 (x0 = 0) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x0, tečnu zobrazte. Určete, zda je funkce f: y = –sin x v bodě x0 = /6 (x0 = /2; x0 = 3 /4) ryze konvexní nebo ryze konkávní. Nakreslete graf funkce f v intervalu <0; >, najděte rovnici tečny k funkci f v bodě x0, tečnu zobrazte. • Je dána funkce f. Určete • intervaly monotónnosti, • lokální extrémy, • najděte rovnici tečny t k funkci f v bodě T[1; ?], • intervaly konvexnosti, konkávnosti. • Načrtněte co nejpřesněji graf funkce včetně tečny t. • NÁROČNĚJŠÍ ÚLOHY K PROCVIČENÍ – dokažte následující věty Je-li f//(x0) < 0, potom je funkce f v bodě x0 ryze konkávní. Jestliže v každém bodě intervalu (a; b) platí f//(x) < 0, potom je funkce f v intervalu (a; b) ryze konkávní. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Milan Rieger.

13. zpět