Principales distributions théoriques

1. Principales distributions théoriques

2. Plan • Distribution discrète • Loi Binomiale • Loi de Poisson • Distribution continue • La loi Normale • La loi de Student

3. La loi binomiale • Définition de la loi et caractéristiques • N épreuves indépendantes de même type • A chaque événement est associé une probabilité p de réalisation • X = VA définie comme le nb de succès au cours d’une suite de n épreuves indépendantes • X compris entre 0 et n • Fn = X/n = VA définie comme la fréquence observable de réalisation de l’événement étudié au cours de n épreuves

4. La loi binomiale • Forme de la loi : L(X) = B(n,p) • Propriétés • Exemple

5. La loi binomiale en proportion • Forme de la loi : L(X) = L(fn) = B(n,p) • La VA n’est plus X mais X/n • L(X) = L(fn) • Propriétés • E(fn) = p • V(fn) = p(1-p)/n • Exemple

6. La loi de Poisson • Forme de la loi : L(X) = P(l) • Propriétés importantes • E(X) = V(X) = l 2. Cdt nécessaire et suffisante : 3. Si L(X1) = P(l1) et L(X2) = P(l2) X1et X2 ,deux VA indépendantes alors L(X1+X2) =P(l1 +l2)

7. La loi de Poisson • Calcul des probabilités (l = 6) • P(X= 9) = • P(X<9) = • = • P(X>9) = • =

8. La loi Normale • Nombreuses causes indépendantes, à effet additif • 2 paramètres seulement pour caractériser la loi • La moyenne • L’écart-type

9. La loi Normale • La variable T = suit une loi N(0;1) • Calcul de P(X<x) = ? • Du fait de la symétrie de la loi normale P(T< -t) = P(t> t) P(T>-t) = P(T< t) P(t1<T<t2) = P(T<t2) - P(T<t1) • Applications : X = N(5236;1972) • Calcul de P(X > 6000) • Calcul de P(X < 6000) • Calcul de P(4000<X<7000)

10. La loi Normale • La variable T = suit une loi N(0;1) • On cherche un intervalle [x1,x2] centré sur la moyenne tel que P(x1<X<x2) = c%, avec c connu • Méthode: • On centre et réduit La VA X • On rechercher t2 dans la table 3- C tel que P(T>t2) = (1-c%)/2 • bornes = + t2 x s + m et -t2 x s + m • Exemple • Déterminer l’intervalle bilatéral (centré sur la moyenne) qui contient 90% de chèques

11. La loi Normale • Propriétés • E(X) = m et V(X) =s² • Autres propriétés importantes

12. La loi Normale • Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue ? • P(X=x) = f(x) dx ; on visualise la probabilité ponctuelle par le rectangle f(x) * dx avec dx= 1

13. La loi Normale • Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue ? • P(X=x) = f(x) dx ; on visualise la probabilité ponctuelle par le rectangle f(x) x dx avec dx= 1

14. La loi Normale Approximation de la loi binomiale par la loi Normale Calcul de P(X=x) à partir de la distribution continue de la loi normale ? • P(X=x) = avec t = • Calcul de P(X<x) et de P(X<x) • on calcule t : • P(X<x) = P(T< ) • P(X>x) = P(T> )

15. La loi Normale • Approximation de la loi de Poisson par la loi Normale Si l >30, la loi de Poisson peut être approximée par une loi Normale de paramètres

16. La loi de Student • Loi utilisée à la place de la loi normale lorsque le paramètre s est inconnu et fait l’objet d’une estimation • Elle dépend de 3 paramètres : • m, la moyenne - s, l’écart-type • n, le nb de degrés de liberté : nb d’informations non redondantes utilisées • Elle est tabulée • Table p523 et 524 • Dès que n >30, la loi de Student peut être approximée par la loi normale de paramètre m et s