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Université d’Angers. DEUG STU2. P1 – Propagation dans les fluides. 1/31. II – Propagation dans les fluides. 1 – Généralités.  Par « fluide » en entendra liquide et gaz .  Un fluide pourra être considéré comme un milieu isotrope :.

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Université d’Angers

DEUG STU2

P1 – Propagation dans les fluides

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II – Propagation dans les fluides

1 – Généralités

 Par « fluide » en entendra liquide et gaz.

 Un fluide pourra être considéré comme un milieu isotrope :

Ses propriétés physiques sont identiques dans toutes les directions de l’espace

  • la propagation d’une onde est la même

quelle que soit sa direction de propagation.

 Les fluides étudiés seront considérés parfaits :

On négligera donc leur viscosité

  • l’absence de frottements entre les

particules fluides ne permet pas

la propagation d’ondes transversales

Dans un fluide parfait, seules des ondes longitudinales peuvent se propager.

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x

P1 – Propagation dans les fluides

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 Les ondes étudiées seront considérées « planes »

Si une onde se propage suivant un axe x, alors tous les points de l’espace ayant la même abscisse x subissent au même moment la même vibration.

  • tous les points de l’espace atteints par l’onde à un instant donné forment un plan : le plan d’onde

 Action de l’onde sur le fluide :

sa masse volumique

Un fluide se caractérise par

son coefficient de compressibilité

Par exemple, pour l’eau, on a : eau = 103 kg.m-3 et eau = 5.10-10 Pa-1

Au repos (sans perturbation), le fluide se caractérise également par sa pression : soit P0 sa pression homogène.

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Par conséquent, si on la note :

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Au passage d’une onde, le fluide est localement comprimé et étiré

 localement la pression du fluide, à l’instant t, s’écrit :

où dP(x,t) = p(x,t) est appelée pression acoustique.

Corrélées à ces variations locales de pression, des variations locales de volume sont produites au passage de l’onde. Ces deux variations sont liées entre elles par le coefficient de compressibilité du fluide :

où dV/V est la variation relative de volume.

on peut exprimer une relation simple entre pression acoustique et variation relative de volume (dilatation) :

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V

S

x

x

x+dx

V+dV

V

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Analysons l’action de l’onde sur le fluide :

On considère un cylindre horizontal, d’axe Ox, de section S, rempli d’un fluide parfait tel qu’on l’a défini précédemment. On suppose alors qu’une onde se propage suivant l’axe Ox.

On considère une tranche, volume V, comprise entre les plans x et x+dx.

Au passage de l’onde longitudinale, à l’instant t, cette tranche est déformée :

 le plan x est déplacé en x+U(x,t)

 le plan x+dx est déplacé en x+dx+U(x+dx,t)

La déformation se traduit alors par un nouveau volume :

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V

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On peut alors exprimer la variation de volume engendrée par le passage de l’onde :

Or, les déplacements étant faibles, on a le droit de poser le développement au 1er ordre suivant :

Il reste alors :

dilatation ou variation relative de volume

On peut finalement relier la pression acoustique au déplacement généré par l’onde :

Comme l’onde provoque un déplacement des particules fluides par rapport à leurs positions d’équilibre, celles-ci sont donc animées d’une certaine vitesse…

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On définit alors la vitesse particulaire : c’est tout simplement la dérivée du déplacement par rapport au temps.

Attention ! Il ne faut pas confondrevitesse particulaire et vitesse de propagation de l’onde (célérité).

Rappel :

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V

S

x

x

x+dx

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2 – Equation de propagation

Raisonnons sur la même tranche de fluide étudiée précédemment. Au passage de l’onde, celle-ci subit des déformations qui résultent de l’application de forces. Faisons le bilan des forces qui s’exercent et appliquons le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) :

où il est encore possible d’effectuer un développement au 1er ordre :

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S

x

V

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V

x

x+dx

Les forces s’exerçant sont dues à la pression acoustique, donc :

D’autre part, la vitesse particulaire dérive du déplacement, donc :

Par suite, le PFD se traduit par :

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Et enfin, puisque la pression acoustique dérive également du déplacement, on a :

équation de propagation de la vibration

Soit encore :

Or on sait en physique que la propagation d’une grandeur quelconque G est toujours régie par l’équation :

où c est la vitesse de propagation (célérité)

On peut alors en déduire que la vibration étudiée se propage à la vitesse c, telle que:

où c est la célérité de l’onde acoustique

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P1 – Propagation dans les fluides

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équation de propagation de la vibration

On admettra que les solutions de cette équation sont de la forme :

Vérification :

Donc :

On en déduit que la vibration peut s’exprimer comme :

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 la célérité

p0

amplitude de pression acoustique

P1 – Propagation dans les fluides

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On connaît donc parfaitement l’expression de la vibration générée par l’onde

avec, ce qui est propre à l’onde :

 son amplitude de vibration U0

 sa pulsation 

et ce qui est propre au fluide propageant l’onde :

A partir de cette vibration, on peut alors en déduire les expressions de la pression acoustique et de la vitesse particulaire :

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avec

or

vp0

vp(x0,t)

amplitude de vitesse particulaire

P(x0,t)

U(x0,t)

P0+p0

P0

P0-p0

vp0

U0

t

-U0

-vp0

P1 – Propagation dans les fluides

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On peut de même expliciter l’expression de la vitesse particulaire :

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seuil d’audibilité

seuil

de douleur

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Illustration concrète: seuils de douleur et d’audibilité du tympan

Le tympan est une membrane qui vibre à la fréquence de l’onde acoustique qu’il reçoit.

Le signal sonore perçu par le cerveau est proportionnel à l’amplitude de la pression acoustique :

Remarque :

Le domaine d’audibilité est également dépendant de la fréquence de l’onde (on ne peut entendre les ultrasons ni les infrasons)

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P1 – Propagation dans les fluides

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3 – Cas d’un gaz parfait

Tout gaz parfait obéit à l’équation d’état :

On peut en déduire une expression de sa masse volumique :

où M est la masse molaire des molécules constituant le gaz.

on obtient :

et comme

Par ailleurs, on sait que la propagation du son est un phénomène purement mécanique (pas d’échange de chaleur)

 d’un point de vue thermodynamique, il s’agit donc de transformations adiabatiques :

on peut utiliser la loi de Laplace

donc

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He, Ne, Ar…

si les molécules sont

O2, N2, H2…

CO2, NH3…

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Or, on sait que

Par identification, on trouve alors :

On obtient finalement la vitesse de propagation dans le gaz parfait :

Remarque :

 est le coefficient polytropique du gaz ; il dépend de la nature des molécules constituant le gaz :

monoatomiques   = 5/3

diatomiques   = 7/5

polyatomiques   = 4/3

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air

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Illustration : propagation du son dans l’air

L’air étant essentiellement composé de molécules diatomiques (N2 et O2), on peut choisir  = 7/5. On donne par ailleurs Mair = 29 g.mol-1.

Par conséquent, à T=273K (0°C), on a :

Pour une onde sonore de fréquence f=800 Hz, quelle doit être l’amplitude de vibration minimale pour que l’oreille humaine puisse la percevoir ?

Le seuil d’audibilité est fixé à environ p0 = 2.10-5 Pa, donc :

0,1 Å

Calcul de l’amplitude de vitesse particulaire :

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énergie cinétique

énergie potentielle

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4 – Densité volumique d’énergie – Pression de radiation

On peut définir la densité volumique d’énergie comme la quantité d’énergie par unité de volume transportée par l’onde au cours de la propagation.

Elle se décompose en :

 due aux interactions

entre particules

 due à la vitesse

des particules

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t

T

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Par conséquent :

Calcul de la valeur moyenne dans le temps :

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t

T

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densité volumique d’énergie moyenne

Remarque :

la densité volumique d’énergie est donnée en J.m-3, soit encore :

J.m-3 = N.m.m-3 = Pa.m2.m.m-3 = Pa

la densité volumique d’énergie a donc la dimension d’une pression : on l’appelle aussi pression de radiation.

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Donc :

Soit :

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5 – Intensité acoustique – Notion d’impédance acoustique

L’intensité acoustique correspond à la puissance par unité de surface transportée par l’onde.

Par ailleurs, la puissance acoustique s’obtient par le produit de la force exercée sur une particule par sa vitesse :

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t

T

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Calcul de la valeur moyenne dans le temps :

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P1 – Propagation dans les fluides

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Remarque :

cette intensité acoustique est directement proportionnelle à la pression de radiation :

Par ailleurs, on peut exprimer l’intensité acoustique en fonction de l’amplitude de pression acoustique :

 On définit alors l’impédance acoustique d’un milieu comme le rapport de l’amplitude de pression acoustique sur l’amplitude de vitesse particulaire :

c’est une propriété intrinsèque du milieu de propagation

(analogue de l’impédance électrique)

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propriété intrinsèque du milieu

propriétés intrinsèques de l’onde

Or :

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On remarque alors que I augmente avec Z

Donc :

Une même onde se propageant dans un gaz est beaucoup moins intense que dans un liquide.

Remarque :

Puisque I augmente aussi avec  , on a :

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P1 – Propagation dans les fluides

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6 – Niveau sonore en décibels

La pratique montre que la « sensation » sonore est sensiblement proportionnelle au logarithme de l’intensité acoustique (loi de Fechner)

On utilise alors plutôt la quantité sans dimension :

LdB niveau d’intensité acoustique en décibel (dB)

Pour définir ce niveau sonore, il faut se donner une intensité de référence Ir :

Par ailleurs, on a vu que :

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P1 – Propagation dans les fluides

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Concrètement :

En pratique, l’intensité acoustique de référence choisie est celle du seuil d’audibilité de l’oreille humaine, soit :

p0r = 2.10-5 Pa

Donc, pour une amplitude de pression acoustique p0 = pOr, on a LdB = 0 dB.

A l’inverse, le seuil de douleur est atteint pour p0 = 20 Pa, soit pour :

Remarque :

Les décibels sont également utilisées pour mesurer l’atténuation ou l’amplification d’une onde à la traversée d’un milieu :

où I(0) correspond à l’intensité de la source, c-à-d l’intensité de référence au départ de la propagation suivant x.

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Soit la période du son émis par la source.

t2=t1+T

t1

S1

S2

D

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7 – Effet Doppler

L’effet Doppler traduit l’altération de la fréquence d’une onde lorsqu’elle est reçue par un détecteur en mouvement ou émise par une source mobile.

Cas d’une source mobile et d’un détecteur fixe

On supposera que la source sonore se rapproche du détecteur à la vitesse vs.

On pose t’1 l’instant auquel l’onde émise à t1 est reçue par le détecteur

On pose t’2 l’instant auquel l’onde émise à t2 est reçue par le détecteur

Avec : T = t2-t1 la période du son émis par la source,

et : T’ = t’2-t’1 la période « apparente » du son reçu par le détecteur.

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où :

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t2=t1+T

t1

S1

S2

D

On pose t’1 l’instant auquel l’onde émise à t1 est reçue par le détecteur

On pose t’2 l’instant auquel l’onde émise à t2 est reçue par le détecteur

Avec : T = t2-t1 la période du son émis par la source,

et : T’ = t’2-t’1 la période « apparente » du son reçu par le détecteur.

On peut alors calculer :

c’est la période apparente du son perçu par le détecteur

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P1 – Propagation dans les fluides

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…et en terme de fréquences, on a :

le détecteur perçoit une fréquence apparente f’>f

 le son perçu est plus aigu que le son émis.

Remarque :

Si la source s’éloigne du détecteur, il suffit de changer le signe de la vitesse dans les équations qui viennent d’être établies :

 le son perçu est alors plus grave que le son émis.

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t’2=t’1+T’

t’1

D1

D2

S

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Cas d’une source fixe et d’un détecteur mobile

On pose t1 l’instant auquel la source a émis le son perçu par le détecteur à t’1

On pose t2 l’instant auquel la source a émis le son perçu par le détecteur à t’2

La période apparente pour le détecteur est donc : T’= t’2–t’1

La période émise par la source vaut : T= t2–t1

On peut alors calculer :

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P1 – Propagation dans les fluides

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Soit finalement :

ou bien :

le détecteur perçoit une fréquence apparente f’>f

 le son perçu est plus aigu que le son émis.

Remarque :

Si le détecteur s’éloigne de la source, il suffit de changer le signe de la vitesse dans les équations qui viennent d’être établies :

 le son perçu est alors plus grave que le son émis.

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D

S

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Cas d’une source et d’un détecteur mobiles dans un référentiel immobile

On pose que la source se déplace à la vitesse vs

et le détecteur à la vitesse vD.

+ : le détecteur se rapproche

- : le détecteur s’éloigne

On a alors :

+ : la source s’éloigne

- : la source se rapproche