T. Sameshima , TUAT

1. 物理学及び演習 電気電子工学科　１年次E2クラス T. Sameshima, TUAT

2. Introduction １．教科書　タイトル：理工学系の基礎教育　物理学 　　　　　　　　出版社：学術図書出版社 ISBN：4-87361-938-6 ２．講義ノートはホームページからダウンロード 　１）http://www.tuat.ac.jp/~sameken/ 　２）講義ノートのメニューバーをクリック 　３）2011年 物理学及び演習 (1年次後期) のコーナーの物理 (ppt)をクリック

3. Introduction ３．演習と宿題は学習支援室蓮見室長が協力する。 学習支援室ホームページからダウンロード 　１） http://www.tuat.ac.jp/~gakusyu/ 　２）演習問題　及び　宿題　をクリック

4. Introduction ４．必修科目 ５．成績評価：　絶対評価 S：100〜90，A：89〜80，B：79〜70，C：69〜60， D：59〜0 Ｓ〜Ｃは単位認定される。E1クラスと同一評価、 宿題＆演習５０点　（特別加点１０点） 中間試験＋期末試験　５０点

5. Introduction ６．物理授業用ノートを用意すること

6. 解説しよう ちから　　　がある。これはベクトルである。 実はこうなっているとする： 　　　　　　　　のとき　　　　　　　　はつりあっている。 じゃあ　　　　　　　　ならピクリとも動かないのか？ 実は違う。物体の運動は重心の運動と相対運動 に分けられることを勉強する。

7. 解説しよう 相対運動って何？ 例えば円運動である。 力は運動量の時間微分　　　　　　　と表す。 だから力を時間積分すると運動量の変化になる。 これを力積と呼んでいた。

8. 解説しよう そのうち、力はポテンシャルエネルギーのベクトル空間微分で表される場合を勉強する。 少しも難しくないのだが、とても大切である。 積分してみると、 空間r1-r2間のポテンシャルエネルギーの変化即ち仕事となる。皆さん馴染み深い。例えば重力ポテンシャルエネルギーmgxの力は下向きであり、 である。

9. 解説しよう ポテンシャルエネルギーＵはスカラーである。 でも、ちからはベクトルである。 簡単なようだが間違い易いので良く勉強しよう。 　　　　　　　　　　　のちからを保存力という。 空間積分できるという意味である。 保存力ではない力は沢山ある。 有名な粘性抵抗を学ぶ。これは保存力ではない。 とても面白いし重要である。実は電流電圧特性で有名なオームの法則は粘性抵抗作用である。 摩擦もまた保存力ではない。　　　　　　　　　

10. 解説しよう 円運動を学ぶ。そして角運動量なるものを学ぶ。 とうとう外積（ベクトル積）が登場する。 時間微分すると、力のモーメントになる。 力が、位置ベクトルと同じか反対向きなら、 だから力が回転中心の方向を向いているなら 角運動量は常に不変である。（角運動量保存則） この法則からコリオリのちから2mvωが導かれる。　　　　　　　

11. 解説しよう 慣性モーメント　Ｉ　なるものが登場する。 回転されにくさの量である。結構面白い。 同じ重さ、同じ半径の円板とリングでは、円板の方が慣性モーメントは小さい。よって回しやすい。どのくらい小さいか、皆さんは直ぐに分かるようになる。 いろいろな言葉を学ぶ。 保存力・中心力・粘性抵抗・ポテンシャルエネルギー・角運動量・力のモーメント・保存則・第一宇宙速度・第二宇宙速度・慣性モーメント・剛体　等々。大したことないが言葉は理解とコミニュケーションに重要である。しっかり勉強しよう。　　　　　

12. 解説しよう 単位は重要である。単位には歴史的意義がある。いろいろな表現に強くなろう。 例えばエネルギーの単位は？ J, Nm, eV, cal, FV2などなど沢山ある。全部使えるようになろう。

13. 数学の勉強：指数関数 aは実数 定義： 指数関数を使って三角関数trigonometric functionを制覇しよう。 　　　　　　　　　　　　である。Multiplication rule 　　　　　　　　　　　　である。Powerrule 　　　　　　　　　　　　である。ordinary differential equation a, b はどんな数でも成り立つ。 Euler's formula

14. 位置・速度・加速度 時間によって位置を変える質量ｍの物体がある。時刻ゼロでは物体は原点にある。 位置ベクトルは： このとき、 Y ｍ 0 X Z

15. 位置・速度・加速度 位置の時間微分は速度である。 速度の時間微分は加速度である。

16. 位置・速度・加速度 位置ベクトル 速度ベクトル 加速度ベクトル

17. 演習 問　半径rの円周上を角速度ωで運動する質量mの 物体の座標ベクトルの成分を 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　と書くとき、 物体の線速度ベクトルの成分を求めよ。 物体の加速度ベクトルの成分を求めよ。 物体の座標ベクトルの成分を と複素指数表示するとき、物体の線速度を求めよ。 物体の加速度を求めよ。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

18. 演習 問　

19. ベクトルとスカラー １．ベクトルは成分表示される量 ２．ベクトルは加算的である。 掛け算は２種類 １）内積(inner product, scalar product) 　 ベクトル・ベクトル＝スカラー

20. ベクトルとスカラー ２）外積(outer product, vector product) 　　　　　ベクトルｘベクトル＝ベクトル いいこと　　外積のXYZ成分はYZ→ZX→XYの順番に並べて 　　　　　　　行けば簡単に求められる。

21. ベクトルとスカラー 問：　+x方向に磁束密度Bで磁場が働いている。また、荷電粒子が+y方向に速度vで運動している。 (1)磁束密度B,粒子の速度vをベクトル表示せよ。 (2)磁束密度　の中を速度　で運動する荷電粒子には 　　　　　　　　　　　　　　　　（１） という力が働く。qは帯電粒子の電荷量である。この式（１）を用いて、荷電子が受ける力の大きさと、その方向を求めよ。

22. ベクトルとスカラー 問 (1) (2) ∴粒子は-Z方向にvBの大きさの力を受ける。 このように、外積は ３次元ベクトルを考えた時に初めてでてくる不思議な掛け算である。

23. 位置・速度・加速度 問．位置ベクトル　 の軌跡をとる物体の速度と加速度ベクトルを求めよ。 物体の運動を説明せよ。上記、位置ベクトル、速度ベクトル、加速度ベクトルの時刻ゼロでの、お互いのなす角度を求めよ。

24. 位置・速度・加速度 問． t=0のとき:位置ベクトルと速度ベクトルの角度はゼロ。 速度ベクトルと加速度ベクトルの角度は９０度。

25. 某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋 壁に掛けてあった気に入りの絵が図1-1のように傾いていた．何かの拍子に右肩を止めていたピンが外れ，左肩のピンを支点にして回転し傾いたのだろう．図1-1のように絵が傾いて運動して止まるまでの運動の過程を調べよう．簡単化のために絵は図1-2に示すように辺の長さがaとbの長方形であり，質量Ｍの一様な密度の剛体板とする． この剛体板を図1-1と区別してPeintureと呼ぼう．最初辺O-Pの辺は水平に静止していたとする．Pにあったピンがはずれ，鉛直下方に重力加速度 gが働き点O回りにPeintureが回転して落下する．図1-2のように重心を通る線OQと鉛直線の挟む角をθとする．時間微分係数の記号は　　　　　のように書くことにする．以下の問いに答えよ．

26. 某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋 [1]　まず摩擦などの抵抗が無いとしよう．最初Peintureは静止していたから，運動エネルギーKはゼロであった．Peintureの重心は落下により低下し，その際位置エネルギーが運動エネルギーKに変わる．コーナーの位置Qが最下点に達した時，Peintureが獲得するKをM, a, b, gを用いて表せ． [2]Peintureは最初静止していたからそのときの角運動量Lもゼロであった．一般にLは力のモーメントNが働くことにより　　　　の関係によって発生する．Peintureが図1-2に示す位置にあるときPeintureには重力によりNが働く．Nは負の値である．NをM, a, b, g, θを用いて表せ．

27. 某大学平成23年度大学院入試物理問題抜粋 [1] [2]

28. １－２　速度と加速度 位置の時間微分は速度である。 速度の時間微分は加速度である。

29. １－２　速度と加速度 位置ベクトル 速度ベクトル 加速度ベクトル

30. 数学の勉強：指数関数 aは実数 定義： 指数関数を使って三角関数trigonometric functionを制覇しよう。 　　　　　　　　　　　　である。Multiplication rule 　　　　　　　　　　　　である。Powerrule 　　　　　　　　　　　　である。ordinary differential equation a, b はどんな数でも成り立つ。 Euler's formula

31. 数学の勉強：指数関数 定義： aは実数 ちょっとしたお遊び imaginary unit である。 ならば、 問．それでは　　　　　　　　　　はいくらか。

32. 数学の勉強：指数関数 （１） これらの式を見比べて　 the sum formulas （２） これらの式を見比べて　

33. 数学の勉強：指数関数 （３） これらの式を見比べて　 と書く （４） 上下を見比べれば

34. 数学の勉強：指数関数 である。　　　定義を使って、 またもや見比べて 僕らは三角関数をマスターした。

35. 指数関数 問　　　　　　　を　　　　　と　　　　　で表せ。

36. １－２　速度と加速度 再び　　　　　　　　を考える。 iは　　　角度回転したと考えることができる。 即ちｘ軸を　　　回転するとｙ軸になる。 だから、はｘ成分とｙ成分を表す複素数と考えることが出来る。 時刻ｔにおける角速度ωの等角速度円運動の位置に対して、速度は と書くことができる。速度は位置に　　　　をかけた形である。 だから、速度ベクトルは位置ベクトルより＋90度角度が進んでいる。

37. １－２　速度と加速度 問．重さ３kgのカラスが毎秒１０m/sで真北に水平に飛んでいる。 １）カラスの速度ベクトルｖを成分表示せよ。（東,北,上） ２）カラスの運動量ベクトルpを成分表示せよ。（東,北,上） ３）カラスの運動エネルギーを求めよ。 ４）目標を見つけたカラスは、２秒間で３０ｍ降下した。 　　真北方向の速度は変わらないとき、降下中のカラスの平均速度ベクトルｖを成分表示せよ。（東,北,上） ５）目標地点は北方向に上る傾斜角30度の斜面だった。カラスが何とか静止しているとき、カラスにかかる力を全て答えよ。そしてそれらを成分表示せよ。

38. １－２　速度と加速度 １）カラスの速度ベクトルｖ ２）カラスの運動量ベクトルp ３）カラスの運動エネルギーを求めよ。 ４）降下中のカラスの平均速度ベクトルｖ ５）カラスにかかる力を全て答えよ。 ・重力 ・垂直抗力 ・摩擦力

39. １－３　運動の３法則 １．慣性の法則 ２．運動の法則 ３．作用反作用の法則（運動量保存則） Law of action and reaction (Principle of Momentum Conservation) 問．上記3法則について皆さんの体験を述べよ。 the principle of inertia Equation of motion

40. １－３　運動の３法則 問．Impactのチェック：静止している質量ｍの物体に、時刻ゼロで一定の力F0をT秒間加えた。 1)時刻Tのときの物体の速度vと移動距離rを求めよ。 2)もし　が一定の関係にあるとき、rにたいする、 Tの寄与を調べよ。 ・Tが小さいとき物体の移動距離は小さい。 ・Tが大きいとき物体の移動距離は大きい。

41. １－３　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ 質量Mの太陽の周りを等速円運動する、質量mの地球を考えよう。 地球の位置と運動量ベクトルを と書こう。閉じた運動系において、 運動量の総和は絶対に不変である。 ー運動量保存の法則ー 文句：しかし、 は時間に対して変化するから保存していない。 太陽と地球の運動量を保存するためにはどのようにしたらよいのか？ M=2.0x1030kg m=5.9x1024kg r=1.5x1011m ｒ O M

42. １－３　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ 太陽の位置と運動量ベクトルを と書こう。地球と太陽の重心が動かず 運動量の総和が不変であるためには、 この条件が常に満たされるには よって、 M=2.0x1030kg m=5.9x1024kg r=1.5x1011m ｒ O M

43. １－３　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ 問：実は太陽も地球に付き合って位相差πで回転していることがわかった。 太陽の回転半径Ｒは何kmか。 M=2.0x1030kg m=5.9x1024kg r=1.5x1011m ｒ O M

44. １－３　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ 次に、物体ｍとMの運動エネルギーkinetic energyを考えよう。 mの運動エネルギー　　　　　　　　　　　 Mの運動エネルギー 二つの物体の運動エネルギーの和は、 ｒ O M

45. １－３　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ 面白いこと； のような質量Kを考えると となる。これは質量Kの物体の運動エネルギーの形をしている。実際は２つの物質の運動だが、お互いに一体になって動いている物体の運動エネルギーは一つの物体の運動エネルギーの形をしている。Kを換算質量reduced massと呼ぶ。 ｒ O M

46. １－３　運動の３法則 Ｙ m θ Ｘ 太陽Mと地球ｍの場合、M>>ｍだから、 K～m, r>>R　であり、 である。 即ち、重たい太陽の運動エネルギーは 全く小さい。 系全体の運動エネルギーは軽い物体の 運動エネルギーが支配している。 だから、重い物体の回りを回る軽い物体の運動を考えるとき、軽い物体の運動だけを考えても重大な問題を生じないのである。 しかし、軽い物体と重い物体の運動量の大きさは同じである。 ｒ O M

47. １－３　運動の３法則 問：質量がともにｍである物質１と物質２が お互いに距離Ｒだけ離れて引力を及ぼしな がら、角速度ωで回転している。物質１の座標が のとき、 １）物質２の座標を求めよ。 ２）２つの物質の運動エネルギーの総和を求めよ。 ３）Ｒを求めよ。 ４）換算質量Ｋを求めよ。 m Ｒ m

48. １－３　運動の３法則 問 ：質量がともにｍである物質１と物質２が お互いに距離Ｒだけ離れて引力を及ぼしな がら、角速度ωで回転している。物質１の座標が のとき、 １）物質２の座標を求めよ。 ２）２つの物質の運動エネルギーの総和を求めよ。 ３）Ｒを求めよ。 ４）換算質量Ｋを求めよ。 m Ｒ m

49. １－３　運動の３法則 問 ：実は外力なして自励運動している右図 のばね常数kのバネも相対運動である。 １）換算質量Ｋを求めよ。 ２）角振動数ωを求めよ。 ３）Mがmに比べて非常に大きくなったときの 　　角振動数ωはいくらか？ M m k

50. １－３　運動の３法則 問 ：実は外力なして自励運動している右図 のばね常数kのバネも相対運動である。 １）換算質量Ｋを求めよ。 ２）角振動数ωを求めよ。 M m k