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2002 年高考数学试题 简单评析及 2003 年高考 复习启示

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2002 年高考数学试题 简单评析及 2003 年高考 复习启示. 麒麟第一中学高三年级数学备课组 -------- 葛钢. 第一部分 2002 年试卷简单分析. 第二部分 典型试题典型错误分析. 第三部分 2003 年备考启示 第四部分 《 考试说明 》 解读.

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2002 年高考数学试题 简单评析及 2003 年高考 复习启示


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    Presentation Transcript
    1. 2002年高考数学试题 简单评析及2003年高考 复习启示 麒麟第一中学高三年级数学备课组 --------葛钢

    2. 第一部分 2002年试卷简单分析 第二部分 典型试题典型错误分析 第三部分 2003年备考启示 第四部分 《考试说明》解读

    3. 一、总体认识 2002年全国高考数学试题承袭了近几年已经形成的试卷格局:单项选择题12道,填空题4道,共76分, 全部是容易题和中档题;解答题6道,前5道各12分,压轴题14分,共74分。试题主要内容分布在函数、不等式、数列、立体几何、解析几何等主要模块和继续学习所需要掌握的知识点上,涵盖了高中数学的全部重点内容。 第一部分 2002年试卷分析

    4. 试题容易入手,但要合理转化成教材上现成的方法和技巧仍有一定难度,计算量比去年略有减少。全卷试题符合高中数学的教学水平,理科试题难度有所下降,而文科试题难度与去年相当。试题灵活性更强,比较稳定地形成了“选择题平稳、填空题难度适中、解答题层次分明”的试卷格局,发挥了良好的区分功能。试题容易入手,但要合理转化成教材上现成的方法和技巧仍有一定难度,计算量比去年略有减少。全卷试题符合高中数学的教学水平,理科试题难度有所下降,而文科试题难度与去年相当。试题灵活性更强,比较稳定地形成了“选择题平稳、填空题难度适中、解答题层次分明”的试卷格局,发挥了良好的区分功能。

    5. 今年的数学高考题出现了一些新变化是值得注意的。选择题起点降低,文理科试题有108分分值的题完全不一样,文、理试卷区分较为明显。文科试卷,在试卷结构、考试内容改革上更具创新,试题考查的能力要求更符合大学文科类专业对数学的需求,难度也更符合文科考生的实际水平。采取的措施主要有:(1)适当降低数学纯理论要求,理科的第(21)、(19)题出现在文科的第(20)、(21)位置上,但参量均变为今年的数学高考题出现了一些新变化是值得注意的。选择题起点降低,文理科试题有108分分值的题完全不一样,文、理试卷区分较为明显。文科试卷,在试卷结构、考试内容改革上更具创新,试题考查的能力要求更符合大学文科类专业对数学的需求,难度也更符合文科考生的实际水平。采取的措施主要有:(1)适当降低数学纯理论要求,理科的第(21)、(19)题出现在文科的第(20)、(21)位置上,但参量均变为

    6. 常数,难度大为降低。其他试题文科相对于理科较为简单,入手较易,降低了文科数学的难度。(2)增加读图、识图和动手实践探究的能力要求;解答题除了函数和解析几何题外,其他试题的背景、考查方向完全不同。(3)试题对文理科的相关性进一步进行了调整,减少了相同试题和姊妹题的数量、增加了不同试题的数量,同时加大了不同试题间的差距,分值加大。(4)尝试增设了附加题、附加分,实行切实可行的鼓励考生解答的加分政策。试题着重考查了考生对数学概念的理解能力、运算能力,对数学的文字语言、符号语言、图形语言的转换能力,空间想象常数,难度大为降低。其他试题文科相对于理科较为简单,入手较易,降低了文科数学的难度。(2)增加读图、识图和动手实践探究的能力要求;解答题除了函数和解析几何题外,其他试题的背景、考查方向完全不同。(3)试题对文理科的相关性进一步进行了调整,减少了相同试题和姊妹题的数量、增加了不同试题的数量,同时加大了不同试题间的差距,分值加大。(4)尝试增设了附加题、附加分,实行切实可行的鼓励考生解答的加分政策。试题着重考查了考生对数学概念的理解能力、运算能力,对数学的文字语言、符号语言、图形语言的转换能力,空间想象

    7. 能力,解决实际问题的动手能力和应用能力,严密的逻辑推理能力等。对数学思想和数学方法的考查也融入了试题之中。如: 方程和函数思想方法,数形结合与分离的思想方法,化归和转化的思想方法,分类讨论的思想方法,观察、归纳、猜想、论证的思想方法,主元的思想方法,对称的思想方法,运动变化的思想方法,特殊和一般的思想方法,有限和无限逼近的思想方法在试题中都有充分的体现。

    8. 今年的数学试题平和清新,于常中见新,拙中见巧,平淡中见珍奇。在基础题部分对支撑数学学科知识体系的主干内容做了重点的考查。例如,函数是中学数学最重要的内 容之一,在试卷中得到了恰当的反映。试题的命制从学科整体知识结构和思想体系的高度考虑,创设新颖情景和设问方式,加强试题的综合性和应用性的考查。要求考生在解 题时把握学科的整体意义,从宏观上审视考题,抓住问题的实质,对试题提供的信息进行分拣、加工、组合,寻找解决的方法。整份试卷使学生的主观能动性和创造性得到充分的发挥,体现了素质教育的正确方向。

    9. 纵观今年高考数学试题,主要特点是稳中求变,强调能力考查,突出数学在实际问题中的应用,鼓励创新。纵观今年高考数学试题,主要特点是稳中求变,强调能力考查,突出数学在实际问题中的应用,鼓励创新。 贯彻了“在考查基础知识的同时,注重对数学思想和方法的考查,注重对数学能力的考查”的命题指导思想,在注重考查基础的条件下求创新,在创设新题型中求发展,在适当控制难度的前提下求稳定。试题切入容易,深入难,有较好的梯度和区分度,有利于高校选拔;注重考查中学数学的基础知识和常用的数学思想方法,考潜能,考数学应用,有利于指导中学数学教学;重视现行教材,又兼顾新教学大纲,有利于新教材的平稳过度,稳定中学数学的教学秩序,有利于中学实施

    10. 二、试题特点 1、试题特点 (1) 主要特点是稳中求变,能力考查仍然是重点,整卷分类讨论的成份比较多,入门容易,做完全不容易。(2)另一个特点是突出数学在实际问题中的应用,鼓励创新。在稳定的结构中追求变化。在题型结构、题目总数、分值比例上基本稳定;在过渡期保持必要的文理差异;在全面考查中突出重点内容。

    11. (3) 今年再一次表明高考数学虽然注重全面考查基础知识,但不刻意追求知识的覆盖率。真正体现了在保证试卷有一定覆盖率的基础上,不贪多求全,但求重点突出,主次分明;在难度调控中增强新颖性,做到了继承与创新的和谐统一;在能力考查中突出鲜明主题;在广泛取材中回归基础。

    12. (4)立体几何命题的改革更加深入。 • 近几年来,高考命题在立体几何中进行了积极的改革试验,立体几何试题的改革已成为高考命题改革的试验田。较早的改革试验着眼于评分误差的控制,近年重点集中在题型与设问方式的改革上,主要体现在填空题与选择题中。 而在2000年和今年,立体几何试题的改革已经发展到了解答题,从设问方式与综合能力的要求上都有所创新。

    13. 理科第(18)立几题,是一个难度适中的题,着重基础知识的考查,题目的新颖之处在于突破了近几年高考考查立几的形式,在已知条件中,已知线段的长度以字母表示数的形式给出,从而将异面直线上求两点间的距离的最小值问题,转化为求二次函数最小值问题。也是一个平时训练的重点与常规题。此题的第一问,是求异面直线上两点间的距离,只要构造直角三角形即可达到目的。第二问:转化为给定区间上求最值的问题。第三问:在前提MN长最小时求面MNA与面MNB所成二面角的大小,要先求证△AMN与△BMN为正三角形,取MN的中点H,则可求证∠AHB为所求二面角的平面角。理科第(18)立几题,是一个难度适中的题,着重基础知识的考查,题目的新颖之处在于突破了近几年高考考查立几的形式,在已知条件中,已知线段的长度以字母表示数的形式给出,从而将异面直线上求两点间的距离的最小值问题,转化为求二次函数最小值问题。也是一个平时训练的重点与常规题。此题的第一问,是求异面直线上两点间的距离,只要构造直角三角形即可达到目的。第二问:转化为给定区间上求最值的问题。第三问:在前提MN长最小时求面MNA与面MNB所成二面角的大小,要先求证△AMN与△BMN为正三角形,取MN的中点H,则可求证∠AHB为所求二面角的平面角。

    14. 第(Ⅰ)、(Ⅲ)问与线段长的最小值相综合,是立体几何与代数综合的体现。而文科立几第(19)题的第(Ⅱ)问,其设问方式虽是证明,但证明的结论却是在运动变化过程中,恒成立的一个命题。这种证明形式也是近些年来所没有的,体现出了立体几何解答题的改革特点。第(Ⅰ)、(Ⅲ)问与线段长的最小值相综合,是立体几何与代数综合的体现。而文科立几第(19)题的第(Ⅱ)问,其设问方式虽是证明,但证明的结论却是在运动变化过程中,恒成立的一个命题。这种证明形式也是近些年来所没有的,体现出了立体几何解答题的改革特点。

    15. (5)重视基础,考查技能:ⅰ、重视基础知识、基本技能的考查,能严格按照数学教学大纲命题,知识覆盖面广,题目不偏不怪,有助于教师把握教学的方向。ⅱ、选择题总体上看较简单,有利于稳定考生的情绪,使考生的水平能得到较好的发挥。ⅲ、试题突出数学知识的实际应用。今年的应用题,文字简炼,题目易懂,难度适中,减轻了学生对应用题的畏难心理。

    16. 特别是函数最大值最小值问题,文理科各有近50分的题与应用和最值有关,并且信息的来源真实可靠。理科第(12)题涉及2002年3月九届人大五次会议《政府工作报告》;理科第(20)题背景为某城市汽车保有量,从环保角度出发,计算每年新增汽车数量不应超过多少辆。 文科(13)题以新闻图表反映我国农村居住面积的增长,考查学生对图表信息的检索和分析能力;文科(18)题是相向相遇的行程问题。数学教学要培养学生的数学态度和公民意识,要体现数学的育人功能,试题作了很好的导向。

    17. 今年特别值得一提的是文科第(22)题,要求设计剪拼方法将正三角形剪拼成正三棱锥和正三棱柱的模型。这是自全国统一高考以来从未出现过的题型,是对学生设计能力、探究能力和动手操作能力考查的一种尝试,带有明显的“研究性学习”的性质。教材上有制作三棱锥、三棱柱模型的作业,不少老师和考生还是以旧的理念来对待高考命题内容的改革,这道试题为我们敲响了警钟,要让学生在“研究性学习”的数学活动过程中去亲身体验、去培养数感、理性思维、创造能力及动手实践能力。今年特别值得一提的是文科第(22)题,要求设计剪拼方法将正三角形剪拼成正三棱锥和正三棱柱的模型。这是自全国统一高考以来从未出现过的题型,是对学生设计能力、探究能力和动手操作能力考查的一种尝试,带有明显的“研究性学习”的性质。教材上有制作三棱锥、三棱柱模型的作业,不少老师和考生还是以旧的理念来对待高考命题内容的改革,这道试题为我们敲响了警钟,要让学生在“研究性学习”的数学活动过程中去亲身体验、去培养数感、理性思维、创造能力及动手实践能力。

    18. 综合实践活动课作为必修课是新一轮课程改革的一个亮点综合实践活动课作为必修课是新一轮课程改革的一个亮点 学数学、做数学完全符合当前新课程改革的理念。 这道题的第3小问作为附加题要求将一块任意三角形的纸片剪拼成一个直三棱柱模型,如果解答正确,加4分,但全卷不超过150分。 附加分进入总分,这也是以前高考中从未有过的,这是对学生创新意识、创新思维和创新能力的一种奖励,这正是代表了当前素质教育的方向。

    19. (6) 突出归纳探索能力的考查是2002年数学试题的一大特色。“归纳—探索—发现”是创新思维的一种重要形式,在今年的高考试题中突出了对归纳、探索能力的考查。理科第(22)题,采用求 的值,并由此猜想出 一个通项公式的形式,考查归纳、探索、发现的能力。第(16)题,从题面上是求几个函数值的和,并没有要求进行归纳猜想,但在解决的过程中会发现 之间有可能存在一定的规律,于是猜想 有可能是定值。通过计算的确有 猜想正确,为计算铺平了道路。体现了由特殊到一般再一般到特殊的思维过程。文科第(22)题,由第(Ⅰ)问到第(Ⅲ)问,由剪拼正三角形为正三棱柱到由剪拼任意三角形为直三棱柱,体现出由特殊到一般的思维过程,存在着由特殊到一般的思维飞跃,考查的仍然是探索—猜想—发现的能力。

    20. 2、试卷结构及抽样统计数据 表1、理科试卷知识结构比例表 学 科 考试说明比例 试卷所占分数 试卷所占比例 代 数 60% 102分(三角19分) 68% 立 几 20% 22分 14.67% 解 几 20% 26分 17.33%

    21. 表2、理科抽样分析各指标量(N=750)

    22. 表3、文科知识结构比例表

    23. 表4、文科抽样分析各指标量(N=739)

    24. 表5、选择题考生得分统计数据表(全省考生)表5、选择题考生得分统计数据表(全省考生)

    25. 表6、全卷得分统计表

    26. 表7、文科与理科试卷对比统计表 姊妹题:理(1)文(1);理(21)文(20);理(19)文(21)。占分值31分、占百分比为20.67% 相同题:理(2)文(2);理(3)文(3);理(4)文(5);理(5)文(6);理(14)文(7);理(9)文(10); 理(11)文(12);理(13)文(4);理(15)文(15)。 占分值44分、占百分比为29.33% 完全不同题:文(8)(9)(11)(13)(14)(16)(17)(18)(19)(22)占分值75分、占百分比为50%

    27. 第二部分 典型试题典型错误分析 1、  文科第(17)题如图,某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数, (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲 线的函数解析式。 Y温度/0c 30 20 10 O 6 8 10 12 14 x时间/h

    28. [试题简析]本题主要考查正弦函数的基本概念、基本性质等基础知识,考查读图、识图的能力和基本的运算技能。本题紧扣教学大纲,体现了注重基本知识、基本技能和基本方法。本题贴近生活,是学生熟悉的日常生活知识,正弦函数的图象也是基本的函数图象,本题将两者自然结合在一起,考查学生应用知识的能力。本题计算量不大,但必须熟悉正弦函数的基本性质。这是一道能考查学生能力的好题。[试题简析]本题主要考查正弦函数的基本概念、基本性质等基础知识,考查读图、识图的能力和基本的运算技能。本题紧扣教学大纲,体现了注重基本知识、基本技能和基本方法。本题贴近生活,是学生熟悉的日常生活知识,正弦函数的图象也是基本的函数图象,本题将两者自然结合在一起,考查学生应用知识的能力。本题计算量不大,但必须熟悉正弦函数的基本性质。这是一道能考查学生能力的好题。

    29. 本题有两问:第一问求最大温差,只要能识图就能正确解答;第二问求解析式,四个变量A、ω、b φ中,通过观察、平移较易求得A=10,b=20。由识图及周期公式得ω= 。再利用解析基本思想——点在曲线上点的坐标就适合曲线方程可迅速求得φ的一个值。

    30. [错例1]有些考生不是利用正弦函数的性质先将A、b求出,而是将图象上的三点(6,10),(10,20),(14,30)分别代入y=Asin( x+ )+b,试图求解方程组 20=Asin(10 + )+b 30=Asin(14 + )+b 结果有的不会解这个方程组,有的只好重新观察后,用特殊值代入验证得出答案,走了 弯路,浪费了时间。 • 要 10=Asin(6 + )+b

    31. [错例2]有些考生审题不清,题意不明,将图象认为是抛物线的组合,导致严重错误。[错例2]有些考生审题不清,题意不明,将图象认为是抛物线的组合,导致严重错误。 [错例3]最后一步的答案许多考生漏写定义域。 [启示]要从函数的角度去理解三角函数,三角函数是一门函数,它有它的特性,通过三角函数来进一步理解函数的有关性质,因此说,三角函数问题经常是在函数大前提下来设计试题,比如本题涉及的函数的特殊值、定义域等,因此从这个角度来考虑的话,三角问题的重点应是三角函数的图象和性质。另外在研究三角函数的过程当中要注意数形结合的思想方法,要培养看图、识图的能力,与实际问题相联结的能力。

    32. 2、文科(18)题 甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向运动。甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m。 (Ⅰ)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (Ⅱ)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?

    33. [试题简析]本题主要是考查学生的等差数列的知识以及把实际问题转化为数学问题的分析问题与解决问题的能力。试题密切联系课本,也是教材与教学的重点,但对学生审题能力、把实际问题转化为数学问题的能力及运算能力(算理)都有比较高的要求。能把不同层次的考生的数学水平很好地区分开来,这是一道适合当前中学文科数学教学,又有利于人材选拔的好题。[试题简析]本题主要是考查学生的等差数列的知识以及把实际问题转化为数学问题的分析问题与解决问题的能力。试题密切联系课本,也是教材与教学的重点,但对学生审题能力、把实际问题转化为数学问题的能力及运算能力(算理)都有比较高的要求。能把不同层次的考生的数学水平很好地区分开来,这是一道适合当前中学文科数学教学,又有利于人材选拔的好题。

    34. [错例1]把第二次相遇路程写成甲、乙相距70m的2倍,列出方程为[错例1]把第二次相遇路程写成甲、乙相距70m的2倍,列出方程为 而导致第(Ⅱ)小题全部失分。 [错例2]把相向相遇问题理解为追及问题而列出 S甲=S乙 碰巧与正确答案完全一样,但不能得分。

    35. [错例3]甲、乙第一次相遇后,甲起始的速度应是2+7=9,但不少同学轻率地写出[错例3]甲、乙第一次相遇后,甲起始的速度应是2+7=9,但不少同学轻率地写出 而导 制失分。 [错例4]对方程 和 无法完成因式分解,或者用求根公式开方开不出来而失分。

    36. [启示]不论文科、理科,都应重视应用题的建模教学,因为应用题的建模问题,涉及到学生的综合素质的考查,分析问题和解决问题的培养。特别是数列、数学归纳法这一块,在教学和复习时要留足学生思考体会的时间。本题第(Ⅰ)问,依题意可以有[启示]不论文科、理科,都应重视应用题的建模教学,因为应用题的建模问题,涉及到学生的综合素质的考查,分析问题和解决问题的培养。特别是数列、数学归纳法这一块,在教学和复习时要留足学生思考体会的时间。本题第(Ⅰ)问,依题意可以有 或用列表的方法。 对于第(Ⅱ)问可设 分钟后第二次相遇,依题意有 或者设再经过 钟第二次相遇,列出正确式子应是 。

    37. 3、文科(19)题 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD. (Ⅰ)若面PAD与面ABCD所成的二 面 角 为 600 , 求这个四棱锥的体积; (Ⅱ)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面PCD所成的二面角恒大于900。

    38. [试题简析]本题主要考查四棱锥中线面关系、二面角、体积等问题。第(Ⅰ)问的计算着重考查基本概念、基本技能的应用,属于常见题型。第(Ⅱ)问的证明着重考查逻辑推理、论证的能力及空间想象的能力。根据图形的对称性,作出二面角的平面角;钝角三角形的证明方法——利用余弦定理求该平面角的余弦值为负而获证。钝角三角形的证明方法属于初中与高中知识的一个交汇点,是教学的薄弱环节。在动态的图形中论证定性的问题,本题若用无穷逼近的思想,分别说明高PB趋于无穷大,或趋于无穷小时,α趋于900和1800,又是高中与大学内容的衔接。本题体现了源于教材,高于教材的原则。[试题简析]本题主要考查四棱锥中线面关系、二面角、体积等问题。第(Ⅰ)问的计算着重考查基本概念、基本技能的应用,属于常见题型。第(Ⅱ)问的证明着重考查逻辑推理、论证的能力及空间想象的能力。根据图形的对称性,作出二面角的平面角;钝角三角形的证明方法——利用余弦定理求该平面角的余弦值为负而获证。钝角三角形的证明方法属于初中与高中知识的一个交汇点,是教学的薄弱环节。在动态的图形中论证定性的问题,本题若用无穷逼近的思想,分别说明高PB趋于无穷大,或趋于无穷小时,α趋于900和1800,又是高中与大学内容的衔接。本题体现了源于教材,高于教材的原则。

    39. 本题的一个特点是将立体几何证明巧妙地融于计算之中,在解题过程中,设置不同途径的选择,体现了不同的思维小平。思维敏捷的考生解题过程简捷,赢得后继解题时间,展现了较高的数学素养。本题难度适中,知识的考查不偏不怪,计算量不大,充分体现了多考算理,多考思维,少考机械运算和记忆的思想。本题与《考试说明》中对立体几何的要求相符。从整卷来看,本题是一道好题,有较高的区分度和信度。本题的一个特点是将立体几何证明巧妙地融于计算之中,在解题过程中,设置不同途径的选择,体现了不同的思维小平。思维敏捷的考生解题过程简捷,赢得后继解题时间,展现了较高的数学素养。本题难度适中,知识的考查不偏不怪,计算量不大,充分体现了多考算理,多考思维,少考机械运算和记忆的思想。本题与《考试说明》中对立体几何的要求相符。从整卷来看,本题是一道好题,有较高的区分度和信度。

    40. [错例1]对第(Ⅰ)问有许多考生对二面角的平面角概念把握不准确,或识图能力差;或审题不清;或死记硬背,机械套用导致错误,如下面二面角B-PA-D的平面角的各种作法都是错误的。[错例1]对第(Ⅰ)问有许多考生对二面角的平面角概念把握不准确,或识图能力差;或审题不清;或死记硬背,机械套用导致错误,如下面二面角B-PA-D的平面角的各种作法都是错误的。

    41. [错例2]对第(Ⅱ)问,过C作CE⊥PD于E,连结AE,不加证明则就认定∠AEC为面PAD与面PBD所成二面角的平面角。[错例2]对第(Ⅱ)问,过C作CE⊥PD于E,连结AE,不加证明则就认定∠AEC为面PAD与面PBD所成二面角的平面角。 [错例3]受第(Ⅰ)问条件的干扰误认为总有PA=PC=2a,得到 COS∠AEC= ,犯了以特殊代替一般的错误。

    42. [启示]本题第(Ⅱ)问的关键是正确作出面PAD与面PCD所成的二面角的平面角,它的作法有:[启示]本题第(Ⅱ)问的关键是正确作出面PAD与面PCD所成的二面角的平面角,它的作法有: (1)应用三垂线定理及图形的对称性 利用AC⊥面PBD和图形的对称性, 作OE⊥PD于E 连结CE,AE得CE⊥PD,AE⊥PD。∴∠AEC为二面角A- PD-C的平面角,且CE=AE<CD=AD。

    43. ⑵作垂面, 过AC作平面AEC⊥PD交PD于E,得∠AEC为所求平面角。 ⑶应用补形法,作出所求二面角的平面角的补角 把四棱锥补成三棱柱(如上右图),作AF⊥DE,则AF⊥面PCDE,作FG⊥PD,则AG⊥PD.∴∠AGF为二面角A-PD-E的平面角,然后证明∠AGF为锐角。由∠AGF的补角即为二面角 A- PD-C的平面角,问题得证。

    44.     4、  理科第(18)题 如图,正方形ABCD、ABEF边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0<a< ) (Ⅰ)求MN的长; (Ⅱ)当a为何值时,MN的长最小; (Ⅲ)当MN长最小时,求面MNA与面 MNB所成的二面角 的大小。

    45. [试题简析]本题重点考查考生的空间想象能力,空间直线与直线、直线与平面平行及垂直的论证;平面与平面所成角的概念;以及用函数观点解决最值问题。[试题简析]本题重点考查考生的空间想象能力,空间直线与直线、直线与平面平行及垂直的论证;平面与平面所成角的概念;以及用函数观点解决最值问题。 该题由陈题改造而来,难度适中,对于考生而言,背景熟悉,入题容易,学生参与度较高。同时该题具备区分不同层次的考生的功能,有利于高校选拔人材。

    46. [错例1]部分考生错误认为MB⊥NB,进而在Rt△MBN中求解|MN|。[错例1]部分考生错误认为MB⊥NB,进而在Rt△MBN中求解|MN|。 [错例2]不少考生按特殊值求解,直接取M、N分别为AC、BF的中点。 [错例3]过M作MH⊥AB,垂足为H,连结NH,不加证明就认为∠MHN是二面角C-AB-E的平面角。 [错例4]部分考生错误地将△MBN视为△MAN在平面MBN上的射影,然后用面积射影定理给出错误的解法。

    47. [启示]实际上第一问有多种解法。比如过M作MH⊥AB交AB于H,连结NH,正方形ABCD中,AB⊥CB,∴CB∥MH。∵面AC⊥面AE, ∴MH⊥面AE, 又NH 面AE,∴MH⊥NH。 ∵CM=BN=a,AB=CB=BE=1,∴AC=BF= ,∴AM= ,MH=AH=1- a,BH= a。 又∵∠HBN=450,∴由余弦定理得HN= a, ∴MN ﹤ ﹤

    48. 若能建立空间直角坐标系,则立即得到