Giochi su network di connessione
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Pavia, 24 Marzo 2009 Almo Collegio Borromeo. Giochi su network di connessione. Stefano Moretti. Istituto Nazionale per la Ricerca sul Cancro Email: stefano.moretti@istge.it Phone:010-5600500. Phd Thesis, Tilburg Univeristy, The Netherlands:

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Presentation Transcript
Giochi su network di connessione

Pavia, 24 Marzo 2009 Almo Collegio Borromeo

Giochi su network di connessione

Stefano Moretti

Istituto Nazionale per la Ricerca sul Cancro

Email: stefano.moretti@istge.it

Phone:010-5600500


Giochi su network di connessione

Phd Thesis, Tilburg Univeristy, The Netherlands: Borromeo

http://arno.uvt.nl/show.cgi?fid=80868


Ricerca operativa
Ricerca Operativa Borromeo

  • Un decisore, guidato da unafunzione obiettivo, affronta un problema di ottimizzazione.

  • La teoria quindi si concentra sulla questione di come agire in maniera ottimale e, in particolare, sulla costruzione di algoritmi efficienti.


Teoria dei giochi cooperativi
Teoria dei Giochi cooperativi Borromeo

  • almeno due decisori interagenti (chiamati giocatori)

  • sono permessi accordi vincolanti

  • possono essere permessi anche pagamenti laterali (giochi a utilità trasferibile o TU-game, anche noti come giochi cooperativi in forma coalizionale)


Ro e tdg org
RO e TdG BorromeoORG

  • Struttura (discreta) di base di un grafo, network o sistema che soggiace a varie tipologie di problemi di ottimizzazione combinatoria.

  • Si assume che almeno due giocatori sono situati in corrispondenza di parti (es. vertici, lati, panieri di risorse, lavori) del sistema da ottimizzareecc.)


Giochi su network di connessione

Esempio di Borromeo

Situazione di connessione

  • Un gruppo di persone le cui case sulla montagna non siano ancora connesse ad una rete fognaria;

  • Le loro acque reflue devono essere raccolte in un depuratore a valle;

  • Per tutti e’ sufficiente, ma non necessario, essere connessi autonomamente al depuratore;

  • Ci si puo connettere anche attraverso altre case;

  • “Alcune connessioni potrebbero anche essere impedite da barriere naturali (natural reef)”;

  • Costruire un tubo e’ costoso.


Come nasce il gioco
Come nasce il gioco? Borromeo

  • Lavorando assieme, i giocatori possono realizzare guadagni extra o abbassare i costi in comparazione alla situazione in cui ciascuno ottimizza individualmente.

  • Il nuovo problema è: come dividere i guadagni extra o i risparmi?


Giochi su network di connessione

Ricordo che Borromeo

Un gioco cooperativo dei costi e’ una coppia ordinata <N,c> dove

N={1,2,…,n} e’ l’insieme dei giocatori

c:2NIR+ e’ la funzione caratteristica del gioco

che assegna ad ogni coalizione S2N un numeor reale c(S) e dove c()=0.

Un vettore xIRn e’ chiamato allocazione

Se un’allocazione e’ sia efficiente (iN xi=c(N)) che individualmente razionale (xi  c({i}) per ogni iN) allora e’ chiamata imputazione

Un’imputazione e’ stabile se iS xi  c(S) per ogni coalizione S non vuota

Il nucleo di un gioco <N,c> e’ l’insieme di tutte le imputazioni stabili ed e’ denotato da Core(N,c)

8


Problemi di connessione
Problemi di connessione Borromeo

  • fixed tree games, ovvero giochi derivanti da problemi di mantenimento di network già costruiti

  • minimum cost spanning tree games (giochi mcst), dove invece il network di connessione deve ancora essere realizzato.


Minimum cost spanning tree situation

3 Borromeo

1

  • I cui vertici rappresentano le case

2

80

20

30

50

40

  • il vertice 0 e’ la sorgente

10

  • I lati rappresentano le connessioni

0

sorgente

  • I numeri vicino ai lati rappresentano

  • il costo di connessione

Minimum Cost Spanning Tree Situation

Utilizziamo il modello del grafo pesato completo.


Minimum cost spanning tree problem
Minimum Cost Spanning Tree problem. Borromeo

Problema di Ottimizzazione:

come connettere ogni nodo alla sorgente 0 in maniera tale che il costo di costruzione di del network di ricoprimento (che connette tutti i nodi direttamente o indirettamente alla sorgente 0) sia minimo?


Giochi su network di connessione

Algoritmo di Prim Borromeo

18

2

1

24

24

20

10

0

26

3

3

Esempio

N={1,2,3}

EN’={{1,0},{2,0},{2,1},{3,0},{3,1},{3,2}}

Una funzione dei costi come indicata sul grafo

Algoritmo di

Kruskal

18

2

1

24

24

10

0

20

26


Giochi su network di connessione

c(1)=24 Borromeo

c(2)=24

c(3)=26

c(1,3)=34

c(1,2)=42

c(2,3)=44

c(1,2,3)=52

3

Esempio: Il gioco cooperativo dei costi <{1,2,3},c>dato dalla situazione di connessione disegnata di seguito e’ tale che:

18

2

1

24

24

10

0

20

26

Il gioco <{1,2,3}, c> è detto gioco mcst


Giochi su network di connessione

Come posso dividere il costo totale? Borromeo

  • Il predecessore di 1 e’ 0: quindi l’allocazione di Bird assegna a 1 il costo di {1,0}.

  • Il predecessore di 2 e’ 1: quindi l’allocazione di Bird assegna a 2 il costo di {2,1};

  • Il predecessore di 3 e’ 1: quindi l’allocazione di Bird assegna a 3 il costo di {1,3}.

18

2

1

24

24

10

0

20

26

3

w()=52

L’allocazione di Bird rispetto a (x1,x2, x3)=(24, 18 ,10) sta nel nucleo Core({1,2,3},c).


Giochi su network di connessione

L’allocazione di Bird rispetto a Borromeoquesto albero di ricoprimento di minimo costo e’

(x1,x2, x3)=(24, 18 ,10)

L’allocazione di Bird rispetto a questo albero di ricoprimento di minimo costo e’

(x1,x2, x3)=(18, 24 ,10)

18

2

1

24

24

20

10

0

26

3

3

18

2

1

24

24

10

0

20

26

Entrambe le allocazioni appartengono al nucleo del gioco mcst (ed anche la loro combinazione convessa).


Giochi su network di connessione

1 Borromeo

(52,0,0)

(24,2,26)

(24,24,4)

(x1,x2,x3)

I(N,c)

(0,0,52)

(2,24,26)

x1+x2+x3=52

(0,52,0)

18

2

1

24

24

10

0

20

26

3

3

2


Giochi su network di connessione

( Borromeo24,24,4)

I(N,c)

(18,24,10)

(24,18,10)

Bird 1

Bird 2

Core(N,c)

(8,24,20)

(24,2,26)

(2,24,26)

(8,18,26)

18

2

1

24

24

10

0

20

26

3


Giochi su network di connessione

Allocazione Bird Borromeo

  • Regola di Bird:

    • Esiste sempre (dato un problema di connessione).

    • In genere non e’ unica (ce ne sono tante quante gli alberi di ricoprimento di minimo costo).

    • Tutte le allocazioni di Bird Stanno nel nucleo del gioco mcst.


Giochi su network di connessione
Altre considerazioni per valutare i metodi di allocazione: andare a vedere cosa succede quando varia la struttura del network

  • Si immagini di utilizzare una certa regola per allocare i costi.

    • Può aumentare il costo dei lati: se il costo di una connessione aumenta nessuno dovrebbe venire a pagare di meno in base alla regola di allocazione in uso (monotonia sui costi);

    • Uno o più giocatori lasciano il network: nessuno dei rimanenti dovrebbe essere avvantaggiato dalla loro partenza (monotonia sui giocatori).


Monotonia sui costi comportamento di bird

3 andare a vedere cosa succede quando varia la struttura del network

2

1

5

4

3

2

3

0

4

1

5

8

6

3

0

4

8

3

3

La regola di Bird non soddisfa la monotonia sui costi.

Monotonia sui costi: comportamento di Bird.

Allocazione di Bird: (4, 3 ,3)

Allocazione di Bird: (3, 5 ,3)


Monotonia sui giocatori comportamento di bird

5 andare a vedere cosa succede quando varia la struttura del network

2

1

1

5

7

7

3

3

0

0

7

6

6

3

3

La regola di Bird non soddisfa la monotonia sui giocatori.

Monotonia sui giocatori: comportamento di Bird.

Allocazione di Bird: (5, 5 ,3)

Allocazione di Bird: (3, * ,6)


Giochi su network di connessione

3 andare a vedere cosa succede quando varia la struttura del network

2

1

8

4

4

0

5

2

3

Esercizio:

  • Si consideri la situazione mcst disegnata in figura. Determinare:

  • il corrispondente gioco mcst.

  • il nucleo del gioco mcst

  • le allocazioni date dalla regola di Bird