Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems

1. Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems A. Pessoa, M. Poggi de Aragao und E. Uchoa Christian Gruber - Johannes Reiter

2. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

3. Einleitung • Branch and Cut um 1980 entwickelt • Branch and Price erst 1993 entwickelt • Kombination erst nach Jahrtausendwende erfolgreich • Was ist nun Branch-cut-and-price? • Folgende Ideen basieren auf ACVRP„AsymmetricCapacitated Vehicle Routing Problem“

4. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

5. Definitionen • Gerichteter Graph G = (V,A)V = {0,1,…,n} m = |A|0 … Depot • Jeder Client Bedarf d(i) - Bedarf d(0) = 0 • C … max. Kapazität einer Tour • Jede Route startet und endet beim Depot • Jeder Client wir nur in einer Tour besucht • Ziel ist Minimierung der Kosten aller Routen

6. Definitionen (2) • Menge aller Clients V+ = {1,…,n} • Bedarf der Teilmenge S • Mind. Anzahl an Touren • Kanten in S • Eing. Kanten • Ausg. Kanten

7. Arc Formulation LP – Formulierung: • (1a) (1b) (1c) (1d) (1e) rounded capacity cuts

8. IntroducingCapacity-Indexed Variables LP – Formulierung: (2a) (2b) (2c) (2d) (2e) (2f)

9. Extended Capacity Cuts • Für alle gilt: • Wenn bekommt man die „capacity-balanceequationover S“ : • Definition: An Extended Capacity Cut (ECC) over S isanyinequality valid for P(S), thepolyhedrongivenbytheconvexhullofthe 0-1 solutionsofthe „capacity-balanceequationover S“.

10. Triangle Clique Cuts • Genau 3 Knoten von • Definiert über Variablen xad, mit • Erstellen kompatiblen Graphen G = (V,E) ,wo falls Fall 1: if , then Fall 2: if , then Fall 3: if , and then Fall 4: if , and then

11. Triangle Clique Cuts (2) Für jede unabhängige Menge I V gilt:

12. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

13. Column Generation • R ist eine C x n Matrix • jeder Eintrag repräsentiert den günstigsten Weg beginnend beim Knoten v und endet beim Depot mit dem Verbrauch d • jeder Eintrag ist gekennzeichnet durch einen Knoten (v), die Kosten des Wegs ( ) und einem Zeiger auf einen Eintrag, der den nächsten Knoten des Wegs repräsentiert Erzeugung der Matrix:

14. Separation Routines • Eine unabhängige Menge IV in G welche maximiert • Fakt 1: Der Graph Gist eine Menge von Verkettungen für jede ACVRP Instanz. • Fakt 2: Eine Menge I ist die schwerste, unabhängige Menge für eine Menge von Verkettungen falls es die einzige, schwerste, unabhängige Menge für jede einzelne Verkettung ist.

15. Branchingwith Route Enumeration Traditionelles branching: • Man wählt ein Paar {i,j}, sodass der Wertam nähersten zu 0.65 ist • Beim linken Ast: • Beim rechten Ast:

16. Branchingwith Route Enumeration (2) • Kombination um Performance zu erhöhen • Wenn Differenz der besten, bekannten, zulässigen Lösung und der aktuellen LP Relaxierung klein ist=> Enumeration aller relevanten, elementaren q-Routen • Deren reduzierten Kosten nicht größer sind • Keine Route mit den gleichen Clients, aber geringeren Kosten existiert • Hybride Strategie soll robusten Ansatz bieten

17. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

18. Ergebnisse bei ACVRP

19. Ergebnisse bei ACVRP (2) • Neuer Ansatz effektiv bei kleinen Instanzen und wenigen Fahrzeugen • Probleme mit großen Instanzen (teilweise nicht beendet)

20. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

21. FAZIT • RBCP-Ansatz für das ACVRP effizient bei verschiedenen Problemstellungen • Tiefe des Branching-Tree kann durch die Hyprid-Strategie verringert werden.

22. Ende Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!