Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems

1. Robust Branch-Cut-and-Price Algorithms for Vehicle Routing Problems Christian Gruber - Johannes Reiter

2. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

3. Einleitung • Branch and Cut um 1980 entwickelt • Branch and Price erst 1993 entwickelt • Kombination erst nach Jahrtausendwende erfolgreich • Was ist nun Branch-cut-and-price? • Folgende Ideen basieren auf ACVRP„AsymmetricCapacitated Vehicle Routing Problem“

4. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

5. Definitionen • Gerichteter Graph G = (V,A)V = {0,1,…,n} m = |A|0 … Depot • Jeder Client Bedarf d(i) - Bedarf d(0) = 0 • C … max. Kapazität einer Tour • Jede Route startet und endet beim Depot • Jeder Client wir nur in einer Tour besucht • Ziel ist Minimierung der Kosten aller Routen

6. Definitionen (2) • Menge aller Clients V+ = {1,…,n} • Bedarf der Teilmenge S • Mind. Anzahl an Touren • Kanten in S • Eing. Kanten • Ausg. Kanten

7. ArcFormulation LP – Formulierung:

8. IntroducingCapacity-Indexed Variables LP – Formulierung:

9. Extended Capacity Cuts • Für alle gilt: • Wenn bekommt man die „capacity-balanceequationover S“ : • Definition: An Extended Capacity Cut (ECC) over S isanyinequality valid for P(S), thepolyhedrongivenbytheconvexhullofthe 0-1 solutionsofthe „capacity-balanceequationover S“.

10. Triangle Clique Cuts • Genau 3 Knoten von • Definiert über Variablen xad, mit • Erstellen kompatiblen Graphen G = (V,E) ,wo falls Fall 1: if , then Fall 2: if , then Fall 3: if , and then Fall 4: if , and then

11. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

12. Column Generation • R ist eine C x n Matrix • jeder Eintrag repräsentiert den günstigsten Weg beginnend beim Knoten v und endet beim Depot mit dem Verbrauch d • jeder Eintrag ist gekennzeichnet durch einen Knoten (v), die Kosten des Wegs ( ) und einem Zeiger auf einen Eintrag, der den nächsten Knoten des Wegs repräsentiert Erzeugung der Matrix:

13. Separation Routines

14. Branchingwith Route Enumeration

15. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

16. Ergebnisse bei ACVRP

17. Ergebnisse bei ACVRP (2) • Neuer Ansatz effektiv bei kleinen Instanzen und wenigen Fahrzeugen • Probleme mit großen Instanzen (teilweise nicht beendet)

18. AGENDA • Einleitung • Problem Definitionen & Formulierungen • Robust Branch-Cut-and-Price Algorithm • Ergebnisse • Fazit

19. FAZIT