Penyelesaian Masalah Optimasi Dengan Metode Fibonacci

Penyelesaian Masalah Optimasi Dengan Metode Fibonacci Merupakan salah satu metode dengan teknik “Searching” Pencarian dengan langkah tetap : a. Mulai dengan taksiran awal x1,hitung f1= f(x1) b. Dengan langkah s, hitung f2= f(x2)= f(x1+ s) c. 1). If f2> f1, pencarian xopt disepanjang lintasan x3, x4,..., xi = x1+(i+1)s; Nilai xopt=xi or xi-1 c. 2). If f2> f1, pencarian dalam arah yang berlawanan x-2, x-3,..., x-j = x1-(j-1)s; Nilai xopt = x-j or x-j+1 c. 3). If f2= f1, xopt=x1 or x2 c. 4). If f2> f1 dan f-2> f-1, xopt diluar selang (x-2 , x2) Pencarian dengan langkah dipercepat  Dengan memperbesar ukuran langkah sehingga xopt berada pada selang (xi-1 , xi). Misal dengan melipatgandakan ukuran langkah.

Metode Fibonacci dapat digunakan untuk fungsi kontinu atau fungsi tidak kontinu Syarat penggunaan Metode Fibonacci: Selang yang memuat xopt harus diketahui sebelum ekspresi Pada selang ketidakpastian, f merupakan unimodal Nilai xopt yang sebenarnya tidak ditentukan dengan Fibonacci hanya selang ketidakpastian akhir yang dapat ditentukan Deret Fibonacci F0= F1=1 Fn= Fn-2+ Fn-1 , n = 2, 3, .... F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 1 1 2 3 5 8 13 ..... Dengan selang L0=[a,b]  selang ketidakpastian awal L*2=(Fn-1/Fn)L0 Experimen x = x1 dan x = x2 dengan jarak “L*2- L0” X1=a+ L*2 ; X2=b - L*2 dan seterusnya L*j = (Fn-1/Fn-(j-2))Lj-1 Lj = (Fn-(j-1)/Fn)L0

Nisbah selang ketidakpastian setelah melakukan j ekspresi dari n ekspresi terhadap selang ketidakpastian Awal = Lj/L0 = Fn-(j-1)/Fn Untuk j = n  Ln/L0 = F1/ Fn = 1/Fn Sehingga terbentuk tabel antara bil. Fibonacci Fn dengan nisbah Ln/L0

Contoh: pada selang (0,3) dengan eksperimen N = 6 , x  2 , x > 2 Tentukan maksimum dari fungsi berikut dengan Metode Fibonacci Jawab: Fungsi f kontinu di x = 2, tetapi tidak bisa diturunkan di x = 2 bisa diselesaikan dengan Fibonacci N = 6, L0= 3-0 = 3

F1 0 F2 3 xxxxxx 1.1538 1.8462 3 0 a x2 x1 b L2* = (Fn-1 / Fn ) L0 = (F5 / F6 ) L0 = (8/13)*3 = 1.8462 Maka x1 = 1.8462 + 0 = 1.8462 x2 = 3 - 1.8462 = 1.1538 • f(1) = f(1.8462) = 1.8462/2 = 0.9231 f(2) = f(1.1538) = 1.1538/2 = 0.5769 Karena f1 > f2 maka selang (a, x2) diabaikan

F1 0 3 F3 xxxxxxxxx 3 1.1538 2.3076 1.8462 x2 x1 b x3 • Cari x3  x3 = 3 – (x1 – x2)  x3 = 3 – (1.8462 – 1.1538)  x3 = 2.3076 f3 = -2.3076 + 3 = 0.6924 Karena f1 > f3 maka selang (x3,b) diabaikan

F1 F4 0 3 xxxxxxxx 2.3076 1.1538 1.8462 1.6152 x3 x2 x4 x1 • Cari x4  x4 = x3 – (x1 – x2)  x4 = 1.6152 f4 = 1.6152/2 = 0.8076 Karena f1 > f4 maka selang (x2,x4) diabaikan

F5 F1 0 3 xxxxxxxx 2.3076 1.6152 2.0766 1.8462 x3 x4 x1 x5 • Cari x5  x5 = x3 – (x1 – x4)  x5 = 2.0766 f5 = -2.0766 + 3 = 0.9234 Karena f5 > f1 maka selang (x4,x1) diabaikan

F5 F6 0 3 xxxxxxxx 2.3076 1.8462 2.0772 2.0766 x3 x1 x5 x6 • Cari x6  x6 = x3 – (x5 – x1)  x6 = 2.0772 f6 = -2.0772 + 3 = 0.9228 Secara teoritis x5 = x6 (pembulatan) Karena f5 > f6 maka selang (x6,x3) diabaikan sehingga selang ketidakpastian akhir,N = 6 adalah (1.8462, 2.0772), Nisbah L6/L0 = (2.0772 – 1.8462)/(3 – 0) = 0.077 Apakah sama dengan 1/F6 ?  1/F6 = 1/13 = 0.0769 0.077  0.0769  terbukti

Jawab : F0 1 F1 1 F2 2 F3 3 F4 5 N = 4  Lk = 1 Contoh Soal 2 : Tentukan posisi Xopt dari fungsi unimodality y = f(x) pada selang (0,1) dengan jumlah eksp. N = 4 Jadi, Xopt berada diselang (0, 0.2)

Penyelesaian Masalah Optimasi Dengan Metode Fibonacci