第五章內積空間

第五章內積空間 5.1 Rn上之長度與點積 5.2 內積空間 5.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 5.4 數學模型與最小平方分析

注意：長度的性質(向量的長度不能為負數) 為單位向量(unit vector) 5.1 Rn上之長度與點積 • 長度 (length) 在Rn上向量的長度可能表示為 • 注意：向量的長度也可以稱為範數 (norm)

範例 1： (a)在R5上，的長度 (b)在R3上，的長度 (因為長度為1，所以v是單位向量)

注意：兩非零向量互相平行 (parallel) 和同方向(same direction) 和反方向(opposite direction) • Rn的標準單位向量 (standard unit vector) • 範例： R2上的標準單位向量： R3上的標準單位向量：

證明： • 定理 5.1：純量乘積的長度令v為Rn上的向量，而c是一純量，則

證明： v不為零向量 (與v為同方向) (u的長度為1) • 定理 5.2：在v方向上的單位向量若v是Rn中一個非零的向量，則下列向量表示長度為1且與v同方向。向量u可稱為在v方向上的單位向量(unit vector in the direction of v)

注意： (1) 向量可稱為在v方向上的單位向量 (unit vector in the direction of v) (2) 這個在v方向上找單位向量的過程稱為單範化(normalizing)向量v

解：為單位向量 • 範例 2：求單位向量求在方向上的單位向量，並證明其長度為1

注意：距離的性質 (1) (2) 若且唯若 (3) • 兩個向量間的距離 (distance) 在Rn上u與v兩個向量間的距離為

範例 3：求兩向量間的距離 兩向量與間的距離為

範例 4：求兩向量間的點積 兩向量與間點積是 • Rn的點積 (dot product) 在Rn上與的點積為

定理 5.3：向量點積的性質 若u, v與w為Rn上的向量且c為一純量，則以下的性質成立 (1) (2) (3) (4) (5)，此外若且唯若

歐基里德n維空間(Euclidean n-space) Rn被定義為所有有序n項實數對的集合。當Rn結合了向量加法、純量乘積、向量長度與點積這些標準運算後所構成的向量空間，我們稱為歐基里德n維空間

範例 5：求點積 解：求解下列問題 • ； (b) ； (c) ； • (d) ； (e)

解： • 範例 6：使用點積的性質已知求解

定理 5.4：科西 - 舒瓦茲不等式(Cauchy - Schwarz inequality) 若u與v為Rn上的向量，則 ( 代表的絕對值) • 範例 7：科西 - 舒瓦茲不等式的例子用與來證明科西 - 舒瓦茲不等式解：

Rn上兩個非零向量的夾角 (angle) • 注意：零向量與其他向量的夾角並沒有被定義

範例 8：求兩向量間的夾角 解： u與v是反向的

正交 (orthogonal) Rn上的兩個向量u與v為正交若 • 注意：零向量0 與任何向量都成正交

令解： • 範例 10：求正交向量求Rn中與成正交的所有向量

證明： • 定理 5.5：三角不等式 (triangle inequality) 若u與v為Rn上的兩個向量，則 • 注意：三角不等式的等號成立若且唯若u與v為同方向

定理 5.6：畢氏定理 (Pythagorean theorem) 若u與v為Rn上的兩個向量，則u與v為正交若且唯若

用一個nx1的行矩陣來表示在Rn上向量 • 點積與矩陣乘積

摘要與復習 (5.1節之關鍵詞) • length: 長度 • norm: 範數 • unit vector: 單位向量 • standard unit vector : 標準單位向量 • normalizing: 單範化 • distance: 距離 • dot product: 點積 • Euclidean n-space: 歐基里德n維空間 • Cauchy – Schwarz inequality: 科西 - 舒瓦茲不等式 • angle: 夾角 • triangle inequality: 三角不等式 • Pythagorean theorem: 畢氏定理

(1) (2) (3) (4)且若且唯若 5.2 內積空間 • 內積 (inner product) 令u, v與w為向量空間V的向量且c是任何純量。V上的內積是一個函數<u, v>，其將每一向量對u與v對應到一個實數並且滿足下列公理

向量空間： 內積空間： • 注意： • 注意：具有內積的向量空間V稱為內積空間(inner product space)

解：由定理5.3可知點積符合內積的四個公理因此為Rn上的內積 • 範例 1： Rn上的歐基里德內積說明Rn上的點積符合內積的四個公理

解： • 範例 2：Rn上的另一種內積證明下列式子符合R2的內積定義

注意： Rn上的一個內積型式

解：令不符合第4個公理所以此式子不是R3的一個內積 • 範例 3：一個非內積的函數證明下列式子不是R3的一個內積

定理 5.7：內積的性質 令u, v與w為內積空間V的向量且c是任何實數 (1) (2) (3) • u的範數(norm)或長度(length) • 注意：

u與v的距離 (distance) • 兩個非零向量 u與v的夾角 (angle) • 正交(orthogonal) 若　　，則稱u與v為正交

(在v方向的單位向量) 非單位向量 • 注意： (1) 若則稱其為單位向量(unit vector) (2)

解： • 範例 6：求內積為一內積函數

範數的性質 (1) (2) 若且唯若 (3) • 距離的性質 (1) (2) 若且唯若 (3)

定理5.4 定理5.5 定理5.6 • 定理 5.8：若u與v為內積空間V的向量 (1) 科西 - 舒瓦茲不等式： (2) 三角不等式： (3) 畢氏定理：u與v成正交若且唯若

注意： 若 (v為單位向量)，則u正交投影到v的式子可簡寫成 • 正交投影 (orthogonal-projection) 令u與v為內積空間V上的兩個向量且，則u正交投影到v可表示為

解： • 範例 10：求R3上的正交投影用R3上的歐氏內積求的正交投影

定理 5.9：正交投影與距離 令u與v為內積空間V上的兩個向量且，則

摘要與復習 (5.2節之關鍵詞) • inner product: 內積 • inner product space: 內積空間 • norm: 範數 • distance: 距離 • angle: 夾角 • orthogonal: 正交 • unit vector: 單位向量 • normalizing: 單範化 • Cauchy – Schwarz inequality: 科西 - 舒瓦茲不等式 • triangle inequality: 三角不等式 • Pythagorean theorem: 畢氏定理 • orthogonal projection: 正交投影

5.3 單範正交基底：Gram-Schmidt過程 • 正交 (orthogonal) 在內積空間V上的集合S稱為正交，若在S上每對向量均為正交 • 單範正交 (orthonormal) 若在S上每對向量均為正交且每個向量均為單位向量則稱S為單範正交 • 注意：若S為基底，則分別稱為正交基底 (orthogonal basis)或單範正交基底 (orthonormal basis)

解：證明三個向量彼此為正交 • 範例 1： R3上一個非標準的單範正交基底證明S為單範正交基底

證明三個向量的長度均為1 因此S是一個單範正交集合

範例 2：的單範正交基底 在上，使用下列的內積定義此組標準基底為單範正交證明：

證明： 因為S為正交且S上的每個向量都不為零向量 • 定理 5.10 ：正交集合為線性獨立若為內積空間V上一些非零向量所構成的正交集合，則S為線性獨立

定理 5.10的推論 若V為n維的內積空間，則n個非零向量所構成的任意正交集合為V的基底。

範例 4：使用正交性質來測試基底 證明下列集合為的基底解：：非零向量 (定理5.10的推論)

證明： 因為為V的基底 (唯一表示) 為單範正交 • 定理5.11：相對於單範正交基底的座標若為內積空間V的單範正交基底，則向量w相對於B的座標表示為

注意： 若為V的單範正交基底且則w相對於B的座標矩陣為

第五章內積空間