Introduzione

1. Introduzione Geometria descrittiva dinamica Presentazione Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Questo learning object introduce alla procedura di rappresentazione descrittiva del piano geometrico. Con esso si individuano e caratterizzano gli elementi geometrici e descrittivi necessari per determinare la rappresentazione ortogonale di un piano comunque collocato nello spazio del diedro. Il piano lo si analizza riguardandolo come superficie rigata piana. La presentazione termina con l’esempio di tre test di verifica: un test grafico, un test teorico ed un test di logica. Dopo i test di verifica sono presentati alcuni temi da svolgere come esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici. La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione, per gli elaborati grafici, che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo: conoscenza, capacità e competenza.

2. Al sommario Ritorno a Introduzione Geometria descrittiva dinamica Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI Il piano:rappresentazione Il disegno di copertina è stato eseguito nell’anno scolastico 2007/08 da LattanzioAmbratonella della classe 1° sezione C del “Liceo Artistico Statale G. Misticoni” di Pescara per la materia : “Discipline geometriche” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella Mostacci Autore Prof. Elio Fragassi IL materiale può essere riprodotto citando la fonte

3. Copertina Sommario rappresentazione Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a

4. Sommario Proiezione rappresentazione e definizione tipologica del piano Nella caratterizzazione del piano come elemento geometrico dinamico, si è riguardato lo stesso come generato da una retta in movimento orientato e definito secondo la seguente formalizzazione insiemistica per ogni retta in movimento orientato e definito nello spazio, si genera una ed una sola superficie che prende il nome di “piano” che si legge Questa superficie è costituita dall’insieme, non vuoto, delle infinite posizioni che la retta occupa nello spazio, muovendosi secondo una direzione definita ed orientata Quindi in uno spazio di superfici si caratterizza come “piano” l’elemento geometrico dell’insieme delle rette ottenuto come sommatoria orientata, estesa da - a + delle posizioni della retta r in movimento orientato e definito nello spazio tridimensionale secondo la seguente espressione insiemistico-descrittiva

5. Sommario Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (1) Per definire gli elementi geometrico-rappresentativi sviluppiamo le analisi successive nel I diedro sapendo che, poi, queste possono essere estese agli altri diedri adattandole alle caratterizzazioni fisiche ed agli ambiti grafici di questi Ricordiamo che gli elementi rappresentativi di una retta r sono le tracce T1r e T2r (Fig.44) ottenute come intersezione della retta con i semipiani del diedro, cioè come T1r = r 1 T1r = r 1 mentre le proiezioni sono espresse dalle seguenti formalizzazioni descrittive Mediante questi quattro elementi rappresentativi viene descritta la retta r comunque collocata nello spazio

6. Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (2) Se consideriamo la stessa nel suo aspetto dinamico, essa, muovendosi parallelamente a se stessa, determinerà sui piani di proiezione 1 e 2 una sequenza di punti reali (tracce) che ne determina la posizione all’interno del diedro (Fig. 45) Poiché la retta si sposta secondo una direzione definita ed orientata, i punti di intersezione risponderanno, per la loro collocazione sul semipiano del diedro, alla legge descrittiva che vuole una retta definita mediante una direzione assegnata I punti, così ottenuti, risultano allineati e prendono il nome di “traccia del piano” e si indicano con “t1” la traccia su 1 e con “t2” la traccia su 2. Per la “t” si utilizzano le lettere minuscole dell’alfabeto perché le tracce si caratterizzano, geometricamente, come “rette”, pertanto le due didascalie si leggono: t1 = Traccia prima o traccia uno del piano  t2 = Traccia seconda o traccia due del piano 

7. Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (3) Definito tutto quanto sopra, e ricordando la formalizzazione descrittiva del piano volendo sintetizzare e formalizzare come rette descrittive questi due elementi rappresentativi del piano, essi assumono il seguente aspetto retta unita a 1 (Sommatoria dei punti uniti a 1) retta unita a 2 (Sommatoria dei punti uniti a 2) Dal punto di vista fisico, essendo le tracce generate dalla sommatoria di punti reali, saranno due rette reali. Infatti le T1 sono punti uniti a 1 e quindi con quota nulla, mentre le T2 sono punti uniti a 2 e quindi con aggetto nullo A conferma di quanto sopra è solo il caso di ricordare che dall’operazione geometrica dalla intersezione di due piani si ottiene una retta per cui, implicitamente, il piano  attraversando il diedro intersecherà i due semipiani 1 e 2, dando origine a due rette che, nello specifico assumono il nome di “traccia prima del piano ” e “traccia seconda del piano ”

8. Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (4) Una considerazione particolare deve essere fatta sull’origine delle tracce Esse devono intersecare la linea di terra sempre, contemporaneamente e nello stesso punto Infatti se consideriamo il piano generato da una retta che si sposta secondo una direzione assegnata e definita, essa, nel suo movimento nello spazio, passando da un diedro all’altro si intersecherà con la linea di terra Poiché l’intersezione tra due rette genera un punto r  lt  T1r  T2r per questo motivo le tracce del piano  hanno sempre un punto in comune sulla linea di terra Inoltre bisogna considerare che siamo in presenza di tre piani 1 , 2 ed  e ricordare che la loro intersezione genera un punto che diventa il centro della stella dei tre piani Il luogo piano racchiuso tra due tracce contiene, poi, le infinite proiezioni della retta che muovendosi genera il piano (Fig.46)

9. Ricerca, caratterizzazione geometrica, nomenclatura degli elementi grafico-rappresentativi e relative definizioni (5) In conclusione ogni retta dello “spazio rigato” muovendosi, nello spazio solido secondo una direzione definita (parallelamente a se stessa) determina un insieme di punti reali definiti ed orientati che assumono il nome di “traccia del piano” e si indicano con la t minuscolo. Essendo due i semipiani che delimitano il diedro, le tracce saranno, anch’esse, due e prendono l’indice uno o due a seconda che sia riferita al piano 1 o 2 Infine per quanto sopra esposto le due tracce devono necessariamente essere incidenti sulla linea di terra nello stesso punto (reale o improprio) e, per l’aspetto dinamico, contemporaneamente Volendo schematizzare possiamo raccogliere e sintetizzare le considerazioni come nella seguente tabella Pertanto ogni piano può essere rappresentato secondo le leggi descrittive di cui trattasi nei seguenti appunti, mediante gli elementi geometrico-rappresentativi elencati nella tabella che segue Gli elementi rappresentativi del piano e relative caratteristiche Elemento geometrico Didascalia elemento Didascalia elementi rappresentativi Nomenclatura elemento Definizione geometrica Definizione fisica Traccia 1a o traccia 1 t1a Retta Reale a Piano t2 Traccia 2a o traccia 2 Retta Reale

10. Sommario Test di verifica - grafico Risoluzione Poiché la risoluzione grafica è particolarmente complessa si è preferito ridimensionare la finestra del dato per rendere più chiaro lo sviluppo degli algoritmi grafici risolutivi t2a t2a t2a T2a X” t2a T2b T¥2a T¥1a T2x C” M” a” b” y” t1a a’ T2y T1a b” a’ x” M’ X’ a” F” B” b’ E’ y’ T1b F’ A” lt lt lt b” x’ T2a T1a a” a’ A’ C’ T1b X’ D’ºD” E” T2b T1x b’ t1a X’ lt B’ b’ T1y T1b t1a t1a

11. Sommario Test di verifica - teorico Risoluzione cÎWIIID dÎWIVD aÎWIID bÎWID

12. errore Sommario Test di verifica - logico Risoluzione t1a t2a t2a a” a” a’ b” a” a’ b” a’ a’ b’ a” b’ t1a t2a t1a

13. Sommario Esercitazioni da sviluppare sotto forma di elaborati grafici Definire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani assegnati una retta ed un punto esterno C(C’=-4; C”= - 2) B(B’= - 3; B”=1) D(D’=4; D= - 1) A(A’=1; A”=3) g a b d a( T1a=3; T2a= 3) b( T1b=1; T2b= 3) c(T1c=2; T2c= 4) d(T1d=6; T2d=4) G(G’=4; C”= - 2) E(E’=2; E”=4) F(F’= - 4; F”=2) H(H’= - 4; D= - 4) e m l j e( T1e=2; T2e=- 3) h(T1h=2; T2h=5) f( T1f= -3; T2f= - 3) g(T1g=2; T2g= - 4) Eseguire la rappresentazione ortogonale dei seguenti piani descritti nei caratteri geometrici a(Ð p1+ Ð p2+) b(// p1-^ p2+)  (1+2+// lt) d ( Ðp1-Ð p2 + // lt) l(^ p1- ^p2+ ) e (^ p1+ Ð p2+) j (Ð p1+^p2+ ) m (Ð p1- ^p2+ ) Definire la rappresentazione ortogonale dei piani così caratterizzati 2) Piano generico nel IV D 1) Piano proiettante in 1a proiezione nel II D 4) Piano proiettante in 2a proiezione nel I D 3) Piano di profilo nel IV D 6) Piano orizzontale nel IV D 5) Piano generico parallelo alla lt nel IID

14. Sommario Griglia di valutazione dei test e delle elaborazioni grafiche Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali: 1)Conoscenze teoriche 2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche Test Eserc. PUNTI MAX Elementi della valutazione VALUTAZIONI Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 1,00 0,50 0,00 Capacità logiche(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 1 2,50 1,00 0,50 0,00 Competenze grafiche(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,50 0,25 0,00 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 1,00 0,50 0,00 2 Capacità logiche(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 2,50 1,00 0,50 0,00 Competenze grafiche(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,50 0,25 0,00 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 1,00 0,50 0,00 Capacità logiche(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 3 2,50 1,00 0,50 0,00 Competenze grafiche(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,50 0,25 0,00 Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi) 1,00 0,50 0,00 Capacità logiche(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche) 4 2,50 1,00 0,50 0,00 Competenze grafiche(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.) 0,50 0,25 0,00 PUNTEGGIO TOTALE 10,00