1 / 59

TRANSFORMASI LAPLACE

TRANSFORMASI LAPLACE. SISTEM KENDALI KLASIK. Pemodelan Matematika Analisis Diagram Bode, Nyquist, Nichols Step & Impulse Response Gain / Phase Margins Root Locus Disain Simulasi. SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP. PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP. SISTEM KENDALI GENERATOR.

colin
Download Presentation

TRANSFORMASI LAPLACE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TRANSFORMASI LAPLACE

  2. SISTEM KENDALI KLASIK • Pemodelan Matematika • Analisis • Diagram Bode, Nyquist, Nichols • Step & Impulse Response • Gain / Phase Margins • Root Locus • Disain • Simulasi

  3. SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP

  4. PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP

  5. SISTEM KENDALI GENERATOR

  6. KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI

  7. MODEL MATEMATIKA • Bagaimana membuat model matematika ?

  8. MODEL MATEMATIKA • Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem. • Mengapa harus dengan model matematika ? • Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali. Misalnya: • Bagaimana hubungan antara input dan output. • Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik dari sistem kendali tersebut.

  9. Dua metoda untuk mengembangkan model matematika dari sistem kendali: • Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace). • Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space Equations) dalam domain waktu.

  10. RANGKAIAN RLC Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input vs output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff. Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output Menggunakan KVL: Menggunakan persamaan diferensial (diturunkan dari KVL): • Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ? • Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput dari sistem ? • Dapatkah dibuat menjadi satuan-satuan terpisah ?

  11. Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan diatas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace. • Transformasi Laplace memberikan: • Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan-satuan terpisah. • Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan Sistem. • Keterbatasan dari Transformasi Laplace : • Bekerja dalam domain frekuensi. • Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..

  12. TRANSFORMASI LAPLACEtambahkan dari buku dspguide

  13. TRANSFORMASI LAPLACE • Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. • Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam, fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks. • Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabar pada bidang kompleks. • Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial. • Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensial sistem. • Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponen keadaan tunak (steady state).

  14. Bidang s jw s1 jw1 o s1 s VARIABEL KOMPLEKS • Variabel kompleks: s =  + j dengan : s adalah komponen nyata jw adalah komponen maya

  15. Bidang G(s) Im G Gy q Gx Re O FUNGSI KOMPLEKS • Suatu fungsi kompleks: G(s) = Gx + jGy dengan : Gx dan Gy adalah besaran-besaran nyata • Besar dari besaran kompleks: • Sudut :

  16. TURUNAN FUNGSI ANALITIK • Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh: • Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan Ds. • Karena Ds = Ds + jDw , maka Ds dapat mendekati nol dengan tak-terhingga lintasan yang berbeda

  17. Untuk lintasan Ds = Ds (lintasan sejajar dengan sumbu nyata) • Untuk lintasan Ds = jDw (lintasan sejajar sumbu maya), maka • Jika dua harga turunan ini sama • Syarat Cauchy-Riemann

  18. Contoh Soal Tinjau G(s) berikut, apa analitik ? Jawab: dimana dan Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu s=-1,w=0), G(s) memenuhi syara Cauchy-Riemann: Dengan demikian G(s)=1/(s+1) adalah analitik di seluruh bidang s kecuali pada s=-1.

  19. Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya dengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler. Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tak terhingga disebut pole

  20. KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL • Zeros dari G(s) roots numerator • Poles dari G(s) roots denominator • Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0 Im Re poles Pola pole-zero zeros

  21. Contoh Soal Tentukan jumlah pole dan zero dari fungsi G(s) berikut: Jawab: • Mempunyai pole di s=-1 dan s=-2 • Mempunyai sebuah zero di s=-3. • Jika titik-titik di tak terhingga di masukkan: Fungsi G(s) mempunyai 2 buah zero di tak terhingga. • Jadi G(s) mempunyai jumlah pole dan zero yang sama, yaitu 3 buah pole dan 3 buah zero (satu zero terhingga dan dua zero tak terhingga).

  22. Pemetaan Konformal • Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut. • Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram tempat kedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan Nyquist. • Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai pemetaan titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z / bidang F(s). • Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’ pasangannya pada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P. • Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva halus s=s(), yang melalui suatu titik ordiner.

  23. Jika kita tulis zo=F(so), maka: • Dengan demikian, s - so adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari so ke s. • Jika s mendekati so sepanjang kurva halus s(), maka s - so adalah sudut 1 antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebut pada so. • Dengan cara sama, jika z mendekati zo, maka z - zo mendekati sudut 1 yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garis singgung dari F(s) pada z0. Dengan demikian diperoleh 1 - 1 = F’(so)

  24. Dengan kurva halus yang lain s=s2(), yang melalui titik so, kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh 2 - 2 = F’(so) • Oleh karena itu 1 - 1 = 2 - 2 atau 2 - 1 = 2 - 1 • Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap dijaga. • Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan F’(s)  0.

  25. Definisi Transformasi Laplace • Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai dengan: f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0 s = variabel kompleks

  26. f(t) t f(t) t Contoh fungsi Dirac

  27. f(t) A t Contoh • Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A untuk t > 0 Jawab:

  28. f(t) t • Transformasi Laplace dari fungsi Ramp

  29. e-at A t • Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = Ae-at untuk t > 0 Jawab:

  30. Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A sint untuk t > 0 Jawab: ejwt = cos wt + j sin wt e-jwt = cos wt - j sin wt

  31. f(t) F(s) Step function, u(t) e-at te-at sin(wt ) cos(wt ) t n 1/s 1/(s+a) 1/(s+a)2 w / ( s2 + w 2) • / ( s2 + w 2) n!/sn+1

  32. f(t) F(s)=L[f(t)]

  33. SIFAT LINIERITAS

  34. Contoh SIFAT TRANSLASI a) Jika F(s)=L[f(t)]

  35. f(t) g(t) t Contoh • Translasi [time] b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a = 0 for t<a a

  36. Contoh •Perubahan skala waktu

  37. TEOREMA DIFERENSIASI Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai Integrasi bagian demi bagian memberikan Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan aljabar sederhana.

  38. f(t) t Turunan Pertama [Derivative first order]

  39. •Jika discontinuity pada a Turunan orde tinggi (Derivatives of higher order)

  40. Contoh Turunan

  41. Persamaan rangkaian Transformasi Laplace: Aplikasi Rangkaian RC R v(t) e(t) C

  42. INTEGRASI

  43. Rumus umum Perkalian dengan faktor t Leibnitz’s rule

  44. Pembagian dengan faktor t

  45. FUNGSI PERIODIK

  46. Fungsi periodik Sinus & Cosinus

  47. Exponential order Perilaku Batas Limit : Nilai Inisial

  48. Impulse response FUNGSI IMPULSIONAL

  49. e0 FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL NOL

  50. FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL Step function dan initial conditions v(0)  0

More Related