Machten en logaritmen

1. Een stukje geschiedenis Machten en logaritmen • Eerst was er het bepalen van de som. • Om een som ongedaan te maken kwam er het verschil. • Om sneller een herhaalde som te bepalen kwam er het product. • Dat vroeg om het principe van verdeel. • Vervolgens ging het om de macht. • Die riep de wortel over zich uit. • Maar moest ook zijn gelijke vinden in de logaritme.

2. Rekenregels voor machten en logaritmen 9.1

3. Vergelijkingen van de vorm glog(A) = glog(B) • glog(A) = B geeft A = gB • gA = B geeft A = glog(B) • glog(A) = glog(B) geeft A = B • gA = gB geeft A = B • AB = AC geeft A = 0 ⋁B = C of een substitutie. • Controleer bij logaritmische vergelijkingen of de logaritmen van de oorspronkelijke vergelijking gedefinieerd zijn voor de gevonden waarden. 9.1

4. Voorbeeldopgaven

5. Opgave 5

6. opgave 9a 5log(x) = 2 + ½ · 5log(3) 5log(x) = 5log(52) + 5log(3½) 5log(x) = 5log(25) + 5log(√3) 5log(x) = 5log(25√3) x = 25√3 voldoet

7. opgave 9b 3log(x + 4) + 1 = 2 · 3log(x - 2) 3log(x + 4) + 3log(3) = 3log((x – 2)2) 3log(3(x + 4)) = 3log((x – 2)2) 3log(3x + 12) = 3log((x - 2)2) 3x + 12 = x2 – 4x + 4 x2 – 7x – 8 = 0 (x – 8)(x + 1) = 0 x = 8 ⋁ x = -1 voldoet voldoet niet

8. Vergelijkingen met logaritmen 9.1

9. opgave 14a 3x· 2log(x + 1) = ½log(x + 1) 3x · 2log(x + 1) = -2log(x + 1) 3x = -1 ⋁ 2log(x + 1) x = -⅓ ⋁ x + 1 = 1 x = -⅓ ⋁ x = 0 voldoet voldoet

10. opgave 19a 3x+2 + 3x = 600 32· 3x + 3x = 600 9 · 3x + 3x = 600 10 · 3x = 600 3x = 60 x = 3log(60)

11. De standaardgrafiek y = gx g > 1 0 < g < 1 y y Asymptoot is een lijn waar de grafiek op den duur mee samenvalt. 1 1 x x O O domein ℝ bereik 〈0,〉 de x-as is asymptoot 9.2

12. De standaardgrafiek y = glog(x) 0 < g < 1 g > 1 y y 1 1 x x O O 1 1 stijgend domein 〈0, 〉 bereik ℝ de y-as is asymptoot dalend 9.2

13. Transformaties toepassen op exponentiele en logaritmische standaardfuncties. Opgave 23 9.2

14. opgave 27 f(x) = 3x - 1 – 2 en g(x) = 4 – 3x af(x) = g(x) 3x - 1 – 2 = 4 – 3x 3x· 3-1 – 2 = 4 – 3x ⅓ · 3x – 2 = 4 – 3x 1⅓ · 3x = 6 3x = 4½ x = 3log(4½) yA = g(3log(4½)) = 4 – 4½ = -½ Dus A(3log(4½)), -½). bf(p) – g(p) = 6 3p - 1 – 2 – (4 – 3p) = 6 3p · 3-1 – 2 – 4 + 3p = 6 1⅓ · 3p = 12 3p = 9 p = 2 9.2

15. opgave 31 en ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ ⋁ voldoet voldoet ⋁ geeft geeft

16. opgave 37a f(x) = 2log(x) en g(x) = 2log(x – 3) Stel xB = p, dan is xC = 3p. f(p) = g(3p) = q geeft 2log(p) = 2log(3p – 3) p = 3p – 3 -2p = -3 p = 1½ q = f(p) = f(1½) = 2log(1½)

17. opgave 37b yB = 2 · yE , dus f(r) = 2 · g(r) f(r) = 2 · g(r) geeft 2log(r) = 2 · 2log(r – 3) 2log(r) = 2log((r – 3)2) r = (r – 3)2 r = r2 – 6r + 9 r2 – 7r + 9 = 0 D = 49 – 4 · 1 · 9 = 13 voldoet voldoet niet

18. De afgeleide van f(x) = ax • f(x) = ax geeft f’(x) = f’(0) · ax Het getal e In opgave 42 heb je gezien dat dus voor a≈ 2,718 geldt [ax]’ = 1 · ax. f(x) = ex geeft f’(x) = ex Zo gelden voor e ook de rekenregels voor machten 9.3

19. Functies met e-machten differentiëren 9.3

20. opgave 51 f(x) = (x2 – 3)ex a f(x) = 0 geeft (x2 – 3)ex = 0 x2 – 3 = 0 ⋁ ex = 0 x2 = 3 ⋁ geen opl. x = √3 ⋁ x = -√3 De nulpunten zijn √3 en -√3. bf(x) = (x2 – 3)ex geeft f’(x) = 2xex + (x2 – 3)ex = (x2 + 2x – 3)ex f’(x) = 0 geeft (x2 + 2x – 3)ex = 0 x2 + 2x – 3 = 0 ⋁ ex = 0 (x + 3)(x – 1) = 0 x = -3 ⋁ x = 1 max. is f(-3) = 6e-3 = min. is f(1) = -2e c Als x heel klein is, dan is ex ≈ 0, dus is de functiewaarde vrijwel 0, dus y = 0 is horizontale asymptoot. df(x) = p heeft precies twee oplossingen voor p = ⋁ -2e < p ≤ 0.

21. opgave 56a f(x) = y = = eu met u = ¼x2 – 2x + 2 f’(x) = = eu· (½x – 2) = (½x – 2) f’(x) = 0 geeft (½x – 2) = 0 ½x – 2 = 0 ⋁ = 0 x = 4 geen opl. min. is f(4) = e4 – 8 + 2 = e-2 = Bf = 9.3

22. opgave 56b O = OP· PQ = p · f(p) = ½p2 – 2p + 1 = 0 D = 4 – 4 · ½ · 1 = 2 De oppervlakte is maximaal voor geeft

23. Logaritmen met grondtal e • De natuurlijke logaritme van een getal a is de logaritme van a met grondtal e, • dus ln(a) = elog(a) • Voor de natuurlijke logaritme gelden de rekenregels voor logaritmen. 9.4

24. opgave 64 a 3x ln(x) = 2 ln(x) 3x = 2 ⋁ ln(x) = 0 x = ⋁ x = 1 vold. vold. b ln2(x) – ln(x) = 0 Stel ln(x) = p p2 – p = 0 p(p – 1) = 0 p = 0 ⋁ p = 1 ln(x) = 0 ⋁ ln(x) = 1 x = 1 ⋁ x = e cx2 ln(x + 1) = 4 ln(x + 1) x2 = 4 ⋁ ln(x + 1) = 0 x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x + 1 = 1 x = 2 ⋁ x = -2 ⋁ x = 0 vold. vold.niet vold.

25. Exponentiële en logaritmische functies differentiëren 9.4

26. opgave 66a f(x) = 22x– 2x f’(x) = 2 · 22x · ln(2) – 2x · ln(2) = (2 · 22x – 2x)ln(2) = (22x + 1 – 2x)ln(2) f’(x) = 0 geeft (22x + 1 – 2x)ln(2) = 0 22x + 1 – 2x = 0 22x+ 1 = 2x 2x + 1 = x x = -1 f(-1) = 2-2 – 2-1 = ¼ - ½ = - ¼ Bf = [- ¼ ,  〉 9.4

27. opgave 66b f’(0) = (20 + 1 – 20) · ln(2) = (2 – 1)ln(2) = ln(2) Kijkend naar de grafiek wordt het antwoord 0 < a < ln(2) ⋁ a > ln(2)

28. opgave 75a geeft f(x) = 0 geeft 10 ln(x) = 0 ln(x) = 0 x = 1 Dus A(1, 0). Stel k: y = ax + b met a = f’(1) = k: y = 10x + b door A(1, 0) Dus k: y = 10x - 10 0 = 10 + b -10 = b 9.4

29. opgave 75b f’(x) = 0 geeft 10 – 10ln(x) = 0 ln(x) = 1 x = e max. is f(e) =

30. opgave 75c Stel xB = p, dan is xC = 2p. f(p) = f(2p) = q geeft 10ln(p) = 5ln(2p) 2ln(p) = ln(2p) ln(p2) = ln(2p) p2 = 2p p2 – 2p = 0 p(p – 2) = 0 p = 0 ⋁ p = 2 vold.niet vold. q = f(p) = f(2) =