5 장 . 불확실성

1. 5장. 불확실성

2. 불확실성의 원인 • 부분정보만을 가지고 있다. • 정보에 대한 신뢰성이 부족하다. • 지식표현언어에 한계가 있다. • 다중정보원에서 습득한 정보들간에 충돌이 있다.

3. 5.2 확률 • 확률은 특정 사건이 일어날(또는 일어나지 않을) 기회의 정도를 나타내고 다음 식 (5.1)과 같이 계산된다. • P(X) = 특정사건 X가 일어난 횟수 전체사건이 일어난 횟수

4. A 또는 B가 일어날 확률 • 여러 사건들로 구성된 공간에서 복수개의 사건에 대해 어떤 사건 A 또는 B가 일어날 확률은 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A ∩ B) • 예를 들어 카드놀이에 사용되는 52장의 카드 중에서 한 장의 카드를 뽑았을 때 그 카드가 Ace이고 Heart일 확률은 • P(Ace ∪ Heart) = P(Ace) + P(Heart) – P(Ace ∩ Heart) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 가 된다.

5. 여러 사건이 동시에 일어날 확률 • 동시에 일어나는 사건들이 서로 독립적일 때는 P(A ∩ B)=P(A)P(B)로 계산가능 • 예를 들어 카드놀이에 사용되는 52장의 카드 중에서 한 장의 카드를 뽑았을 때 그 카드가 Ace이고 Heart일 확률은 1/52 이고 다음과 같이 계산된다. P(Ace ∩ Heart)=4/52 * 13/52 = 1/52

6. 5.2.1 조건확률과 Bayes 정리 • 한 사건 B가 일어난 상태에서 A가 일어날 확률은 P(A |B)로 표시하고 식(5.2)처럼 계산 할 수 있다. P(A|B) = P(A ∩ B) (5.2) P(B) P(B|A) = P(A ∩ B) P(A) 대입 P(A ∩ B) = P(A|B) P(B) => 식 (5.3)

7. Bayes 정리(사후확률을 구할 수 있음) • P(B|A) = P(A|B)P(B) (5.4) P(A) • 식(5.3)을 n개의 사건으로 확장하면 식(5.5)을 얻을 수 있다. P(Bi|A)= P(A|Bi)P(Bi) P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) +…+ P(A|Bn)P(Bn) 식 (5.4)는 두 개의 사건만을 고려, 실세계의 문제에는 두 개 이상의 사건이 관련된 겨우가 많다.

8. (예제) • 어떤 공장에서 기계 3대가 같은 길이의 양초를 생산한다고 하자. 그리고 기계 I, II, III 이 전체 생산량의 35%, 25%, 40%를 생산하고 각각 2%, 1%, 3%의 불량품을 생산한다. 하나의 생산된 양초를 선택했을 때 이양초가 불량품일 확률을 구하시오. • 풀이: P(D) = P(I)P(D|I) + P(II)P(D|II) + P(III)P(D|III) = (35/100)(2/100) + (25/100)(1/100) + (40/100)(3/100) = 215/10,000 P(D)는 불량품일 확률을 P(I), P(II), P(III)는 각각 기계 I, II, III에서 생산된 양초일 확률을 나타냄

9. 5.3 퍼지 집합 이론 • 확률론은 정보의 무작위성(Randomness)을 설명 하는데 효과적이지만 정보의 의미를 설명하는데는 부적당하다. • 예를 들어 ‘키가 큰 사람’ 과 같은 자연어 문장의 의미를 파악하는 데는 어려움을 주는 것은 무작위성 보다는 모호성이다. • 1965년 Zadeh가 소개한 퍼지 집합 이론은 이러한 모호정보를 집합소속함수(Set Membership Function)를 이용하여 수치적으로 다루는 이론이다

10. 5.3.1 퍼지집합 • 보통집합은 다음과 같은 소속함수를 갖는다. μA(x) = 0 if x  A 1 if x  A • 어떤 원소가 퍼지집합 A에 속하는 정도는 다음과 같은 소속함수로 나타낸다. μA(x) = [0,1]

11. 예 • 집합 A= { a₁,a₂,….,an}일때 집합 A가 보통집합 이라면 μA (a1) = 1, μA (a2)=1,…, μA (an)=1. • 하지만 집합 A가 퍼지집합 이라면 μA (a1) = 0.3, μA (a2)=0.1, μA (an)=0.7 등으로 소속함수 값이 각각 다를 수 있다. • 따라서 퍼지집합 A는 다음과 같이 나타낼 수 있다. • A= {a1/μA(a1), a2/ μA (a2),……, an/ μA (an)} = { a₁/0.3, a₂/0.1,…, an/0.7}

12. 합집합(Union), 교집합(Intersection) 그리고 여집합(Complement) • μA∪B(x) = max{μA(x), μB(x)}, for x∈X • μA∩B(x) = min{μA(x), μB(x)}, for x∈X • μAC (x) = 1 – μA(x), for x∈X • A = { x₁/0.3, x₂/0.5, x3/0.7} • B = { x2 /0.4, x3 /0.6, x4/0.2} • A∪B = { x₁/0.3, x₂/0.5, x3/0.7, x4/0.2} • A ∩ B = { x₂/0.4, x3/0.6} • AC = { x1/0.7, x2/0.5, x3/0.3}

13. 5.3.2 퍼지 수 퍼지 수를 나타내는 퍼지집합은 일반적으로 정규 분포 형태를 갖으며 다음과 같이 여러 가지 모양이 가능하다. 1 1 1 0 0 0 종형 삼각형 사다리꼴 퍼지수 : 사과 두세 개, 키 약 170cm 등과 같은 모호한 수치를 의미함

14. (예) ‘약 두 스푼’은 ‘두 스푼’일 가능성은 1 ‘한 스푼’일 가능성은 0.5 ‘세 스푼’일 가능성은 0.5 약 두 스푼 = { 1/0.5, 2/1, 3/0.5}

15. 5.3.3 퍼지 논리 • 퍼지 논리에서는 논리식의 값이 0과 1사이의 값을 갖을 수 있다. • 퍼지 논리는 여러 가지 형태가 있으나 본 장에서는 Lukasiewicz의 논리 연산자를 이용하여 퍼지 논리에서 사용하는 연산자를 다음과 같이 정의한다. (여기서 a, b는 구간[0,1] 사이의 값을 갖는 퍼지수식이다.) 1) 부정(Negation) ￢a = 1 - a 2) 논리곱(Conjunction) a ∧ b = minimum(a, b) 3) 논리합(Disjunction) a ∨ b = maximum(a, b) 4) 내포(Implication) a⇒b = maximum(1-a, b)

16. a = 0.3, b = 0.8 이라면 각각의 연산 결과는 다음과 같다. • ￢a = 1 - a = 1 – 0.3 = 0.7 • a ∧ b = minimum(a, b) = minimum(0.3, 0.8) = 0.3 • a ∨ b = maximum(a, b) = maximum(0.3, 0.8) = 0.8 • a ⇒ b = maximum(1-a, b) = maximum(1-0.3, 0.8) = 0.8