ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA

1. ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA SESION Nº 02

2. TIPOS DE REDONDEO Al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requiere debemos de redondear. Para redondear se emplea usualmente: • Redondeo truncado • Redondeo simétrico. • Redondeo truncado Consiste en truncar el resultado de una operación al número de cifras significativas que se estén utilizando. Ejemplo sí redondeamos  7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7777. Redondeo simétrico El redondeo simétrico consiste en aumentar en uno la última cifra retenida sí la primera cifra descartada esta entre 5 y 9, o dejarla igual sí la primera cifra descartada esta entre 0 y 4. Ejemplo sí redondeamos  7/9 a 4 cifras significativas tenemos 0.7778. Ejercicios: • 1/3 + 2/3 = 1 • 5/8 + 3/8 = 1 • = 12 • = 10

3. PROPAGACIÓN DE LOS ERRORES • Para obtener un resultado con cifras realmente significativas haremos uso de la aritmética de dígitos significativos. Sea x un número real que, en general, tiene una representación decimal infinita. Podemos decir que x ha sido adecuadamente redondeado a un número con d decimales, al que denominaremos x(d), si el error de redondeo, E es tal que: .

4. EJEMPLO DE DÍGITOS SIGNIFICATIVOS • Ejemplo: Exprese el número x = 35.47846 correctamente redondeado a cuatro y tres decimales. Calcular el error cometido. • En el primer caso, la aproximación correcta es: • En el segundo caso, nuevamente por redondeo simétrico: no es una aproximación correcta, entonces lo haremos por redondeo truncado.

5. ESTABILIDAD - CONVERGENCIA • La estabilidad puede definirse comúnmente de 2 maneras. Todo problema requiere datos de entrada y nos origina por lo menos una salida. Sí cambios pequeños en los datos de entrada producen cambios pequeños en la salida, se dice que el algoritmo es estable (también se le denomina problema bien condicionado) y en caso contrario inestable (o problema mal condicionado). • La convergencia se refiere al hecho de que los métodos numéricos obtienen n términos de una sucesión de valores. Comenzamos con un valor inicial que sea una aproximación de la solución de un problema x0. Aplicando un método numérico se obtiene otra aproximación x1. Se repite el procedimiento para obtener x2 y así sucesivamente, es decir, se generar la sucesión x0 , x1 ,...,xn (todos los términos son aproximaciones a la solución del problema). Sí la sucesión obtenida al cabo de n iteraciones tiende a un límite se dice que el método es convergente o divergente en caso contrario.

6. ORDEN DE CONVERGENCIA • En la práctica además de que un algoritmo sea convergente, interesa también que tan rápido es el algoritmo para llegar a la solución. Claramente mientras menor sea el número de iteraciones requerido para alcanzar una precisión dada, mayor será la velocidad de convergencia y viceversa. • Luego, a mayor orden de convergencia menor cantidad de iteraciones y, • A menor orden de convergencia mayor cantidad de iteraciones.

7. APLICACIONES • Exprese los siguientes números Mach redondeados correctamente a cinco, cuatro y tres decimales: • 2.3654896 • 5.3265412 • 3.0021325 • 1.2222325 • 7.9696969 • 2.3654787 • 0.6412548

8. PROGRAMACIÓN EN MATLAB %%Programa de Criterio de Convergencia n=input('ingrese el numero de cifsignif: '); vr=input('ingrese el valor real: '); va=input('ingrese el valor aproximado: '); er=abs(vr-va); cc=0.5*10^(n); ifer<=cc disp('Aproximación correcta') else disp('Aproximación incorrecta') end