Fakultas Ilmu Komputer , Universitas Narotama narotama.ac.id

1. Di MATEMATIKA DISKRIT Semester II 2011/2012 FakultasIlmuKomputer, UniversitasNarotamawww.narotama.ac.id SELAMAT DATANG NATALIA .D / TONY . H. B

2. Pustaka RinaldiMunir, 2001, MatematikaDiskrit Siang Jong Jek, 2002, MatematikaDiskritdanAplikasinyapadaIlmuKomputer On the web FakultasIlmuKomputer, UniversitasNarotamawww.narotama.ac.id REFERENSI

3. Cabangmatematika yang mempelajaritentangobyek-obyekdiskrit. Berbagaimasalah yang dapatdipecahkandenganmenggunakanmatematikadiskrit: * Ada berapacarauntukmenentukan password yang valid untuksuatusistemkomputer? *Bagaimanamemetakangenetikmanusia? (Genome project) *Berapapeluanguntukmenangdalamsuatuundian? *Apakahadalinkantaraduakomputerdalamsuatujaringankomputer? *Bagaimanamengaturjadwal take-off/landing/parkirpesawat-pesawat di bandara? *Bagaimanamenentukanlintasanterpendekantaraduakotadenganmenggunakansistemangkutanumum? *Bagaimanamengurutkansuatukumpulan data? FakultasIlmuKomputer, UniversitasNarotamawww.narotama.ac.id MATEMATIKA DISKRIT

4. Dalam menentukan nilai akhir, akan digunakan pembobotan sebagai berikut: KegiatanBobot Nilai (%) Ujian Tengah Semester25 Ujian Akhir Semester35 Tugas 20 Absen 10 Quiz 10 FakultasIlmuKomputer, UniversitasNarotamawww.narotama.ac.id KONTRAK

5. LOGIKA PROPOSISI HIMPUNAN RELASI FUNGSI INDUKSI KOMBINATORIKA ALJABAR BOOLEAN TEORI GRAF TREE FakultasIlmuKomputer, UniversitasNarotamawww.narotama.ac.id SILABUS

6. Pentinguntukbernalarmatematis Logika: sistemygdidasarkanatasproposisi. Proposisi: pernyataan yang bernilaibenaratausalah, tapitidakkedua-duanya. Kita katakanbahwanilaikebenarandarisuatuproposisiadalahbenar (T) atausalah (F). Berkorespondensidengan1dan0dalamdunia digital. FakultasIlmuKomputer, UniversitasNarotamawww.narotama.ac.id LOGIKA

7. “Gajah lebihbesardaripadakucing.” FakultasIlmuKomputer, UniversitasNarotamawww.narotama.ac.id Inisuatupernyataan ? yes Ini suatu proposisi ? yes PROPOSISI Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? true

8. Contoh Proposisi (2) “1089 < 101” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? yes Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? false

9. Contoh proposisi (3) “y > 15” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? no Nilai kebenarannya bergantung pada nilai y, tapi nilai ini tidak spesifik. Kita katakan tipe pernyataan ini adalahfungsi proposisiataukalimat terbuka.

10. Contoh proposisi (4) “Bulan ini Februari dan 24 < 5.” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? yes Nilai kebenaran dari proposisi tersebut ? false

11. Contoh proposisi (5) “Jangan tidur di kelas.” Ini pernyataan ? no Ini permintaan. Ini proposisi ? no Hanya pernyataan yang dapat menjadi proposisi.

12. Contoh proposisi (7) “x < y jika dan hanya jika y > x.” Ini pernyataan ? yes Ini proposisi ? yes … sebab nilai kebenarannya tidak bergantung pada nilai x dan y. Apa nilai kebenaran dari proposisi tsb ? true

13. Menggabungkan proposisi Seperti dalam contoh sebelumnya, satu atau lebih proposisi dapat digabung membentuk sebuah proposisi majemuk (compound proposition). Selanjutnya, notasi proposisi diformalkan dengan menggunakan alfabet seperti p, q, r, s, dan dengan memperkenalkan beberapa operator logika.

14. Operator Logika Negasi (NOT) Konjungsi - Conjunction (AND) Disjungsi - Disjunction (OR) Eksklusif Or (XOR) Implikasi (JIKA – MAKA) Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA) Tabelkebenarandapatdigunakanuntukmenunjukkanbagaimana operator-operator tsbmenggabungkanproposisi-proposisi.

15. Negasi (NOT) Operator Uner, Simbol:  15

16. Conjunction (AND) Operator Biner, Simbol: 

17. Disjunction (OR) Operator Biner, Simbol: 

18. P Q PQ true true true true false false false true true false false true Implikasi (JIKA - MAKA) Implikasipq adalah proposisi yang bernilai salah jika p benar dan q salah, dan bernilai benar jika lainnya.

19. Implikasipq Jika p, maka q Jika p, q p mengakibatkan q p hanyajika q p cukupuntuk q Syaratperluuntuk p adalah q • q jika p • q ketika p • q diakibatkan p • q setiap kali p • q perlu untuk p • Syarat cukup untuk q adalah p

20. Bikondisional (JIKA DAN HANYA JIKA) Operator Biner, Simbol: 

21. Pernyataan dan Operasi Pernyataan-pernyataan dapat digabungkan dengan operasi untuk membentuk pernyataan baru.

22. Pernyataan yang Ekivalen Pernyataan (PQ) dan (P)(Q) ekivalen secara logika, karena (PQ)(P)(Q) selalu benar.

23. TautologidanKontradiksi Tautologiadalahpernyataan yang selalubenar. Contoh: R(R) (PQ)(P)(Q) Jika ST suatutautologi, kitatulis ST. Jika ST suatutautologi, kitatulis ST.

24. Tautologi dan Kontradiksi (2) Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu bernilai salah. Contoh: R(R) ((PQ)(P)(Q)) Negasi dari suatu tautologi adalah suatu kontradiksi, negasi dari kontradiksi adalah suatu tautologi.

25. Konversi, Kontrapositif, & Invers q  p disebut konversi dari p  q q  p disebut kontrapositif dari p  q p  q disebut invers dari p  q

26. Ekspresi Logika Contoh:Ubahkedalamekspresilogika: “Andamempunyaiakses internet hanyajikaandamahasiswaFasilkomNarotamaatauandabukanmahasiswa IPB” Solusi.Misala : “Andapunyaakses internet” m: “AndamhsFasilkomNarotama” f : “Andamhs IPB” a  (m  f)

27. Predikat & Kuantifier Pernyataan “x > 3” punya 2 bagian, yakni “x” sebagai subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P. Kita dpt simbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x). Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1). Subyek dari suatu pernyataan dapat berjumlah lebih dari satu. Misalkan Q(x,y): x - 2y > x + y

28. Kuantifikasi Universal “P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan” x P(x). Soal 2. Tentukan nilai kebenaran x (x2 x) jika: x bilangan real x bilangan bulat Untuk menunjukkan x P(x) salah, cukup dengan mencari satu nilai x dalam domain shg P(x) salah. Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter example) dari pernyataan x P(x).

29. Kuantifikasi Eksistensi “Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x) bernilai benar” x P(x). Soal 3. Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x) menyatakan “x2 > 12” dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan bulat positif tidak lebih dari 4.

30. Negasi “Setiap mhs dalam kelas ini telah mengambil Kalkulus I” [x P(x)] Apakah negasi dari pernyataan ini….? “Ada seorang mhs dalam kelas ini yang belum mengambil Kalkulus I” [ x  P(x)] Jadi, x P(x)x  P(x).

31. Negasi (2) Soal .Carilahnegasidaripernyataanberikut: “Ada politikus yang jujur” “Semua orang Indonesia makanpecellele” Soal .Tentukannegasidari: x(x2 > x) x (x2 = 2)

32. contoh K = Gayus orang kaya S = gayusbersukacita NYATAKAN DENGAN SIMBOL LOGIKA Gayus orang miskintetapibersukacita ¬ kɅs Gayus orang kaya atauiasedih K v ¬s Gayustidak kaya ataupunbersukacita ¬ k v s Gayus orang yang miskinatauia kaya tetapitidaksedih ¬ k V (k Ʌ ¬s)

34. Tidaklahbenarkalaurumahkunoselalubersaljuatauangker, dantidakjugabenarkalausebuah hotel selaluhangatataurumahkunoselalurusakPertanyaan : padakondisibagaimanakah agar kalimattersebutbernilaibenar !!!