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Presentation Transcript

  1. “Piano” Lab 1 – Fattorizzazione LU + pivoting Esercizi (+Sistemi sovradeterminati - Cholesky?) Lab 2 – Metodi iterativi: Gauss Seidel e Jacobi. Esercizi. Definizione di pseudoinversa Lab 3 – Soluzione classica e ai minimi quadrati. Esercizi. Calcolo degli autovalori.

  2. 1 1 1 1 Fattorizzazione LU A=LU L= U= Ax=b equivale a risolvere: Il vantaggio: si risolvono facilmente per sostituzione in avanti/indietro

  3. Sostituzione in avanti NON NULLI!!!

  4. Sostituzione indietro NON NULLI!!!

  5. ESERCIZIO 1 Risolviamo Ax=b con: utilizzando la fattorizzazione LU (La soluzione esatta è x=[1 1 1 1]’)

  6. “Qualità” della soluzione Se conosciamo la soluzione esatta xe possiamo valutare la norma dell’errore: Anche il residuo è un’indice della bontà della soluzione:

  7. Condizionamento Consideriamo un sistema perturbato: Condizionamento: Stima errore relativo:

  8. ESEMPIO 2 Usiamo la matrice di Hilbert: H=hilb(n); b=H*ones(n,1) Calcoliamo (sapendo che la sol esatta è [1 1 ..1]’):

  9. Errore e condizionamento

  10. Quando LU non funziona

  11. Condizioni per la fattorizzazione LU Tutte le sottomatrici principali di A devono essere non singolari:

  12. Pivoting (per righe) Scambio le righe di A per non avere pivot (ukk) nullo; lo scelgo in modo che sia il più grande possibile. K=1) Scambio le righe 1 e 3; aggiorno U

  13. Pivoting (per righe) K=2) La riga due rimane al suo posto; K=3) La 4 va al posto della 3

  14. Pivoting (per righe)

  15. ESERCIZIO 2 • Siano dati A e b: • Effettuare la fattorizzazione LU con pivoting: quali righe vengono scambiate? • Risolvere il sistema. • Valutare errore e residuo relativo (sol. esatta [1 1 1 1]’)

  16. ESERCIZIO 3 • Risolvere il sistema dell’esercizio 1 eseguendo la fattorizzazione LU con pivoting. • Calcolare errore e residuo relativo con e senza pivoting. • Quale soluzione è più accurata? Perché?

  17. Sistemi sovradeterminati • Ho più equazioni che incognite • Sistema di equazioni normali:

  18. Fattorizzazione di Cholesky • D’D è simmetrica definita positiva • Posso fare la fattorizzazione di Cholesky cioè scomporre in: H’H (comando Matlab: chol) con H triangolare superiore. Si risolve come una normale LU