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NÚMEROS REALES. Luis Figueroa S. NÚMEROS REALES. NÚMEROS REALES R. Formado por: I. Números Naturales : N = {1,2,3,..∞+} II . Números Enteros : z = {-∞,…,-2,-1,0,1,2,.., ∞+} III . Números Racionales : Q = { x / x = m / n; m y n son números enteros, donde m≠o }

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NÚMEROS REALES

Luis Figueroa S.

n meros reales r
NÚMEROS REALES R

Formado por:

I. Números Naturales:N= {1,2,3,..∞+}

II. Números Enteros: z={-∞,…,-2,-1,0,1,2,..,∞+}

III. Números Racionales: Q = {x/x= m/n; m y n sonnúmeros enteros, donde m≠o}

IV.Números Irracionales: I = {x/x es representado por undecimal no periódico}

V. Números Reales: R = {x/x Q óI}

VI. Números Complejos: C = {x/x a + bi; donde: a, b sonR yi =√-1}

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Definición:

Llamaremos sistema de números reales a un conjunto

R, consta de 2 operaciones: adición (a+b)

y multiplicación (a.b) “Leyes de composición interna”,

y una relación de orden denotado por “<” y el axioma

del supremo.

1 ley de composici n interna
1º Ley de Composición Interna

Además debe cumplir los siguientes

axiomas:

  • Cerradura: V a,b E R a+b E R
  • Conmutativa: a+b=b+a ; V a,b E R
  • Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) ; V a,b,c E R
  • Identidad Aditiva: a+0=0+a=a V a E R, 0 E R
  • Opuesto Aditivo: a+(-a)=(-a)+a=0, y es único

tal que V a E R , -a E R

T: R x R R

(a, b) + (a,b) = a+b

2 ley de composici n interna
2º Ley de Composición Interna

R x R R

(a,b) a.b

Además de los siguientes axiomas:

  • Cerradura: V a, b E R => a.bE R
  • Conmutativa: a.b = b.a V a, b E R
  • Asociativa: ( a. b) .c = a ( b . c) ;V a, b, c E R
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TEOREMAS

  • TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA ADCION
  • Si a=b entonces a+c=b+c, para todo a,b,c R
  • TEOREMA DE IGUALDAD PARA LA MULTIPLICACION
  • Si a=b entonces a.c=b.c, para todo a,b,cR
  • TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA ADICION
  • Sean a,b,c R; Si a+c=b+c entonces a=b
  • TEOREMA DE LA CANCELACION PARA LA MULTIPLICACION
  • Sean a,b,c R; Si a.c=b.c y c0, entonces a=b
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SUSTRACION DE NÚMEROS REALES

Para cualquier números reales a,b R, definiremos a la sustración de números reales por:

a-b=a+(-b)

DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Para cualquier números reales a,b R donde b  0, definiremos al cociente de números reales por:

a/b=a.b-1

desigualdades
DESIGUALDADES

La correspondencia entre los números reales y los puntos de un a recta pueden usarse para dar una interpretación geométrica de la relación de orden entre los números reales

La relación a<b significa que sobre una recta numérica el punto A corresponde al numero “a”, que se encuentra a la izquierda del punto B correspondiente al número “b”.

I) Un número real “a” es positivo si, a>0

II) Un número real “a” es negativo si, a<0

axiomas de la realcion orden a b c r se tiene
AXIOMAS DE LA REALCION ORDEN a,b,c  R, se tiene
  • O1.- Orden de tricotomia: una y solo una de las siguientes posibilidades se cumple: a=b  a<b  a>b
  • O2.- Orden transitivo: si a<b  b<c  a<c
  • O3.- Orden de adición: si a<b  a+c<b+c
  • O4.- Orden Multiplicativo: si a<b y c>0 a.c<b.c