diferensial optimalisasi n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Diferensial & Optimalisasi PowerPoint Presentation
Download Presentation
Diferensial & Optimalisasi

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 50

Diferensial & Optimalisasi - PowerPoint PPT Presentation


  • 540 Views
  • Uploaded on

Diferensial & Optimalisasi. Diferensial Fungsi Majemuk Optimalisasi Penerapan dalam ekonomi. Parsial Diferensial. Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan Jika y = f (x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy / dx

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Diferensial & Optimalisasi' - chika


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
diferensial optimalisasi

Diferensial & Optimalisasi

DiferensialFungsiMajemuk

Optimalisasi

Penerapandalamekonomi

parsial diferensial
ParsialDiferensial
  • Sebuahfungsiyghanyamengandungsatuvariabelbebashanyaakanmemilikisatumacamturunan

Jika y = f(x) makaturunan y terhadap x: y’ = dy/dx

  • Sedangkanjikafungsiygbersangkutanmemilikilebihdarisatuvariabelbebas, makaturunannyaakanlebihdarisatumacam, tergantungjumlahvariabelbebasnya
parsial diferensial1
ParsialDiferensial
  • Jika y = f(x, z)

dandisebutderivatifparsial, dandisebutdiferensialparsial, sedangkandydisebutdiferensial total

  • Jika p = f(q, r, s)
parsial derivatif
ParsialDerivatif
  • y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalahvariabelygindependensatusamalainnya, tiapvariabeldapatberubahtanpamempengaruhivariabellainnya (variabellainnyakonstan)
  • Jikavariabel x1mengalamiperubahansebesar∆x1sedangkanvariabellainnya (x2, x3, …, xn) tetap, maka y akanberubahsebesar ∆y. Makakuosiendiferensidapatditulis:
parsial derivatif1
ParsialDerivatif
  • Derivative y terhadap x1sebagaimanacontohdiatasdisebutsebagaiderivatifparsialdandilambangkandengan:
  • Fungsiturunannya (derivative) adalah:
contoh 2 derivative parsial
Contoh (2): Derivative Parsial
  • Carilahturunanparsialterhadap x1dan x2darifungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x22

denganmenganggap x2 konstan, turunanterhadap x1adalah:

turunanterhadap x2:

contoh 3 derivative parsial
Contoh (3): Derivative Parsial
  • Carilahturunanparsialterhadap u dan v darifungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v)

denganmenganggap v konstan, turunanterhadap u adalah:

turunanterhadap v:

contoh 4 derivative parsial
Contoh (4): Derivative Parsial
  • Carilahturunanparsialterhadap u dan v darifungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v)

denganmenganggap v konstan, turunanterhadap u adalah:

turunanterhadap v:

derivatif dari parsial derivatif
DerivatifdariParsialDerivatif
  • Samasepertidiferensialfungsisederhana, derivatiffungsimajemukjugadapatditurunkankembali
  • Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, makaturunanpertama y terhadap x dan z:

turunan ke-2:

1

2

1a

2a

1b

2b

derivatif dari parsial derivatif1
DerivatifdariParsialDerivatif

turunan ke-3:

1aa

2aa

1ab

2ab

1ba

2ba

1bb

2bb

nilai ekstrim
NilaiEkstrim
  • Untuk y = f(x, z) maka y akanmencapaititikekstrimnyajika (necessary condition):
  • Untukmengetahuiapakahtitikekstrimygtercapaiadalahmaksimumatau minimum, maka (sufficient condition):

dan

dan

dan

Maksimum

Minimum

contoh 5 titik ekstrim
Contoh (5): TitikEkstrim
  • Carilahtitikekstrimdarifungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45

selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum!

1) Titikekstrim: yxdanyz = 0

y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16

letaktitikekstrimadalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

contoh 5 titik ekstrim1
Contoh (5): TitikEkstrim
  • Carilahtitikekstrimdarifungsi:

y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45

selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum!

2) Jenistitikekstrim: yxxdanyzz :

Makatitikekstrimadalahtitikmaksimumdenganymax = 16

latihan
Latihan
  • Carilahtitikekstrimdarifungsi:

p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50

selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum!

optimalisasi bersyarat
OptimalisasiBersyarat
  • Optimalisasisuatufungsiobjektif (fungsiygakandioptimalkan—baikmaksimumatau minimum) atassuatufungsikendaladapatdiselesaikandgn (1) metodesubstitusidan (2) metode Lagrange
  • Nilai optimum diperolehketikaturunanpertamadarifungsitersebutsamadengannol (necessary condition)
  • Sedangkanuntukmengetahuiapakahnilaitersebutadalahmaksimumatau minimum, dapatdiselidikidariturunankeduanya (sufficient condition):

Jikaturunankedua < 0, makamaksimum

Jikaturunankedua > 0, maka minimum

metode substitusi
MetodeSubstitusi
  • Jikafungsiobjektif:

z = f(x, y)

s.t. u = g(x, y) → fungsikendala

  • manipulasifungsikendalamenjadipersamaansalahsatuvariabel
  • Substitusipersamaantersebutkedalamfungsiobjektifitasnya
  • Cariturunanpertamadarifungsitersebut (untukmencarinilaiekstrim)
  • Selidikimaksimum/minimum denganmencariturunankeduasesuaidenganpersyaratan
contoh 6 metode substitusi
Contoh (6) MetodeSubstitusi
  • π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)
  • s.t. X + Y = 12 .......... (2)
  • Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3)
  • Substitusi (3) ke (1):

= 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y

– 3Y2 + 100Y

= 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y

+ Y2 – 3Y2 + 100Y

= –4Y2 + 56Y +672 ………. (4)

contoh 6 metode substitusi1
Contoh (6) MetodeSubstitusi
  • Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0

–8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7

  • Substitusinilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5
  • Profit (π):

π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7)

= $868

  • Jenistitikekstrim:

d2π/dY2 = -8 < 0 → titikekstrimmaksimum

metode lagrange
Metode Lagrange
  • Jikafungsiobjektif:

z = f(x, y)

s.t. u = g(x, y) → fungsikendala

maka:

L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u)

  • Nilai optimum terjadipadasaat Lxdan Ly = 0 (necessary condition)
  • Nilai optimum adalahmaksimumjikaLxxdanLyy < 0 dan minimum jikaLxxdanLyy > 0 (sufficient condition)
contoh 7 metode lagrange
Contoh (7) Metode Lagrange
  • π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1)
  • s.t. X + Y = 12 .......... (2)
  • FungsiLagrangian:

L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y

+ λ(X + Y – 12)

  • Denganmenggunakanderivatifparsial, solusiditemukanpadasaat f’(z) = 0:

………. (3)

contoh 7 metode lagrange1
Contoh (7) Metode Lagrange

………. (4)

  • Persamaan (3) dikurangi (4):

80 – 4X – Y + λ = 0

100 – X – 6Y + λ = 0

–20 – 3X + 5Y = 0

………. (5)

………. (6)

contoh 7 metode lagrange2
Contoh (7) Metode Lagrange
  • Kali (5) dengan 3 danjumlahkandengan (6):

3X + 3Y – 36 = 0

–3X + 5Y – 20 = 0

8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7

X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5

  • π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868
  • Jenistitikekstrim:

d2π/dX2 = -4 < 0

d2π/dY2 = -8 < 0

  • Masukkannilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilaiλ:

λ = –5 – 42 + 100 = –53

titikesktrimmaksimum

latihan1
Latihan
  • Carilahtitikekstrimdarifungsi:

z = 2x + 2y dengankendala (syarat) x2 + y2 = 8

Jelaskanjenistitikekstrimdantentukannilaiekstrimfungsitersebut!

permintaan marjinal
PermintaanMarjinal
  • Apabila 2 macambarangmempunyaihubungandalampenggunaannya, makapermintaanatasmasing-masingbarangakanfungsionalterhadaphargakeduabarangtersebut
  • JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb) maka:

Permintaanmarjinalakan A berkenaandengan Pa

Permintaanmarjinalakan A berkenaandenganPb

Permintaanmarjinalakan B berkenaandengan Pa

Permintaanmarjinalakan B berkenaandenganPb

elastisitas permintaan parsial
ElastisitasPermintaanParsial
  • Elastisitaspermintaan (price elasticity of demand)

JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb), makaelastisitaspermintaanatasperubahanhargabarangitusendiri:

  • Barang a
  • Barang b
elastisitas permintaan parsial1
ElastisitasPermintaanParsial
  • ElastisitasSilang (cross elasticity of demand)

JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb), makaelastisitassilang yang mengukurkepekaanperubahanpermintaansuatubarangberkenaandenganperubahanhargabaranglainnya:

  • Elastisitassilangbarang a denganbarang b
  • Elastisitassilangbarang b denganbarang a
elastisitas permintaan parsial2
ElastisitasPermintaanParsial
  • ElastisitasSilang (cross elasticity of demand)
  • Jikadan < 0 untuk PadanPbtertentu, makahubunganantarabarang a danbarang b adalahsalingmelengkapi (komplementer); karenakenaikanhargasalahsatubarangakandiikutipenurunanpermintaanataskeduanya
  • Jikadan > 0 untuk PadanPbtertentu, makahubunganantarabarang a danbarang b adalahsalingmenggantikan (substitusi); karenakenaikanhargasalahsatubarangakandiikutikenaikanpermintaanbaranglainnya
contoh 8 elastisitas 2 barang
Contoh (8) Elastisitas 2 Barang
  • Fungsipermintaanatas 2 barangditunjukkansbb:

Qda(Pa2)(Pb3) – 1 = 0

Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0

  • Hitunglahelastisitaspermintaanmasing-masingbarangdanbagaimanakahhubunganantarakeduabarangtersebut?
  • Elastisitaspermintaan:

manipulasibentukpersamaanpermintaan:

contoh 8 elastisitas 2 barang1
Contoh (8) Elastisitas 2 Barang
  • Elastisitaspermintaan:

cariQda’ danQdb’:

bentukpersamaanelastisitaspermintaannya:

Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

contoh 8 elastisitas 2 barang2
Contoh (8) Elastisitas 2 Barang
  • Elastisitassilang:

cariturunanpertamaatas a dan b:

bentukpersamaanelastisitassilangnya:

Hubungankeduabarangadalahkomplementer

fungsi biaya gabungan
FungsiBiayaGabungan
  • Andaikansebuahperusahaanmemproduksi 2 barang A dan B, dimanafungsipermintaanataskeduabarangdicerminkanoleh QAdan QBsedangkanfungsibiaya C = f(QA, QB)

maka:

Penerimaandaribarang A: RA = QA x PA = f(QA)

Penerimaandaribarang B: RB = QB x PB = f(QB)

Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB)

  • Fungsikeuntungannya:

П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)

fungsi biaya gabungan1
FungsiBiayaGabungan
  • Keuntunganakan optimum ketikaП’ = 0:
  • Titik optimum adalahmaksimumjikaП’’ < 0:
contoh 9 fungsi biaya gabungan
Contoh (9) FungsiBiayaGabungan
  • Biaya total ygdikeluarkansebuahperusahaanygmemproduksiduabarang, X dan Y, adalah:

C = QX2 + 3QY2 +QXQY

Hargajual per unit masing-masingbarangadalah PX = 7 dan PY = 20

  • Berapa unit tiapbarangharusdiproduksi agar keuntunganmaksimum?
  • Berapakahbesarnyakeuntunganmaksimum?
contoh 9 fungsi biaya gabungan1
Contoh (9) FungsiBiayaGabungan
  • Berapa unit tiapbarangharusdiproduksi agar keuntunganmaksimum?

RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY

R = 7QX + 20QY

П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY2 – QXQY

7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0

33 – 11QY = 0 → QY= 3

QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX= 2

contoh 9 fungsi biaya gabungan2
Contoh (9) FungsiBiayaGabungan

JikaПXXdanПYY < 0makatitikmaksimum:

  • Besarnyakeuntunganmaksimum:

П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3)

П = 37

  • Soalinijugadapatdiselesaikanmelaluipersamaanmarjinalnya, Пakanmaksimumketika MR = MC:

MRX = MCXdan MRY = MCY

mu dan keseimbangan konsumsi
MU danKeseimbanganKonsumsi
  • Jikakepuasankonsumen U danbarang-barangygdikonsumsinyaqi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka:

U = f(q1, q2, q3, …, qn )

  • Seandainyauntukpenyerderhanaan, diasumsikanbahwaseorangkonsumenhanyamengkonsumsi 2 macambarang, X dan Y, makafungsiutilitasnya:

U = f(x, y)

Fungsiutilitas U = f(x, y) merupakanpersamaankurvaindiferensi (indifference curve)—kurvaygmenunjukkanberbagaikombinasikonsumsi X dan Y yang memberikantingkatkepuasan yang sama

mu dan keseimbangan konsumsi1
MU danKeseimbanganKonsumsi
  • Derivatifpertamadari U terhadap X dan Y merupakanfungsiutilitasmarjinalparsialnya:
  • Budget Line (garisanggaran):

garis yang mencerminkankemampuankonsumenmembeliberbagaimacambarangberkenaandgnhargamasing-masingbarangdanpendapatankonsumen. Jika M adalahpendapatankonsumendanPxdanPyhargabarang X dan Y maka:

M = xPx + yPy

Utilitasmarjinalberkenaandenganbarang Y

Utilitasmarjinalberkenaandenganbarang X

mu dan keseimbangan konsumsi2
MU danKeseimbanganKonsumsi
  • Keseimbangankonsumsi—suatukeadaanatautingkatkombinasikonsumsibeberapabarang yang memberikantingkatkepuasan optimum—tercapaipadasaatkurvaindiferensibersinggungan (tangent) denganbudget linekonsumen
  • Optimalisasidptdiselesaikandenganmembentukpersamaan Lagrange danderivatifpertama = 0:

L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)

mu dan keseimbangan konsumsi3
MU danKeseimbanganKonsumsi
  • Manipulasi Lxdan Ly:
  • Utilitasmarjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka:

Keseimbangankonsumsitercapaiapabilahasilbagiutilitasmarjinaldarisetiapbarangatasharganyaadalahsama

contoh 10 utilitas optimum
Contoh (10) Utilitas Optimum
  • Kepuasanseorangkonsumendarimengkonsumsibarang X dan Y ditunjukkanolehpersamaan:

U = x2y3

JumlahpendapatankonsumenRp 1000 danhargabarang X dan Y adalahRp 25 danRp 50

  • Carilahfungsiutilitasmarjinaluntuksetiapbarang
  • Berapakahutilitasmarjinaljikakonsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
  • Apakahdenganmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumenmemaksimumkanutilitasnya?

Jikatidak, carilahkombinasibarang X dan Y akanmemberikantingkatkepuasan optimum

contoh 10 utilitas optimum1
Contoh (10) Utilitas Optimum
  • Carilahfungsiutilitasmarjinaluntuksetiapbarang
  • Berapakahutilitasmarjinaljikakonsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?
contoh 10 utilitas optimum2
Contoh (10) Utilitas Optimum
  • Apakahdenganmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumenmemaksimumkanutilitasnya?
  • Kombinasi X dan Y ygmemaksimumkanutilitas:
contoh 10 utilitas optimum3
Contoh (10) Utilitas Optimum
  • Kombinasi X dan Y ygmemaksimumkanutilitas:
  • Substitusinilai y = ¾ x kedalampersamaanλ:

x = 16, maka

Utilitasmaksimum:

mp dan keseimbangan produksi
MP danKeseimbanganProduksi
  • Jikajumlahkeluaran P dan input yang digunakanxj = (j = 1, 2, 3, …, n) makafungsiproduksinya:

P = f(x1, x2, x3, …, xn )

  • Seandainyadiasumsikanbahwaseorangprodusenhanyamenggunakan 2 macam input, K dan L, makafungsiproduksinya:

P = f(k, l)

Fungsiproduksi P = f(k, l) merupakanpersamaankurvaisoquant—kurvaygmenunjukkanberbagaikombinasipenggunaan input K dan L yang memberikantingkatproduksi yang sama

mp dan keseimbangan produksi1
MP danKeseimbanganProduksi
  • Derivatifpertamadari P terhadap K dan L merupakanfungsiprodukmarjinalparsialnya:
  • Isocost:

garis yang mencerminkankemampuanprodusenmembeliberbagaimacam input berkenaandgnhargamasing-masing input danjumlahdanaygdimiliki. Jika M adalahjumlahdanaygdianggarkan, PKdan PLharga input K dan L maka:

M = K x PK + L x PL

Produksimarjinalberkenaandengan input Y

Produksimarjinalberkenaandengan input K

mp dan keseimbangan produksi2
MP danKeseimbanganProduksi
  • Keseimbanganproduksi—suatukeadaanatautingkatpenggunaankombinasifaktor-faktorproduksisecara optimum, yaknitingkatproduksimaksimumdengankombinasibiayaterendah (least cost combination)—tercapaipadasaatkurvaisoquantbersinggungan (tangent) dgnisocost
  • Optimalisasidptdiselesaikandenganmembentukpersamaan Lagrange danderivatifpertama = 0:

Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)

mp dan keseimbangan produksi3
MP danKeseimbanganProduksi
  • Manipulasi Lxdan Ly:
  • Utilitasmarjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka:

Produksi optimum dgnkombinasibiayaterendahakantercapaijikahasibagiproduk marginal masing-masing input terhadapharganyaadalahsama

fungsi produksi cobb douglas
FungsiProduksi Cobb-Douglas
  • Dinyatakandengan:

dimana:

A : Total factor productivity

K : Capital

L : Labor

αdanβ : elastisitas output

  • Jika:

α + β = 1 → constant return to scale

α + β > 1 → increasing return to scale

α + β < 1 → decreasing return to scale

contoh 11 utilitas optimum
Contoh (11) Utilitas Optimum
  • SeorangprodusenmencadangkanRp 96 untukmembeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jikafungsiproduksiadalah P = 12KL, berapa unit tiap input harusdigunakan agar produksi optimum danberapakahproduksi optimum tersebut?