Matematyka Architektura i Urbanistyka Semestr 1

1. MatematykaArchitektura i UrbanistykaSemestr 1

2. Algebra liniowaII. Analiza matematyczna1. Rachunek różniczkowy 2. Rachunek całkowyIII. Geometria analitycznaIV. Logika matematyczna

3. III. Geometria analityczna • Geometria analityczna na płaszczyźnie (w przestrzeni dwuwymiarowej) • Geometria analityczna przestrzenna (w przestrzeni trójwymiarowej

4. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.1 Prostokątny układ współrzędnych Punkt O – początek współrzędnych Osie x i y – osie współrzędnych Oś x – oś odciętych Oś y – oś rzędnych Każdy punkt na płaszczyźnie ma dwie współrzędne, będące jego rzutami na dwie osie. Rzut punktu M na ośx nazywamy współrzędną x albo odciętą punktu M Rzut punktu M na ośy nazywamy współrzędną y albo rzędną punktu M Odciętą i rzędną nazywamy współrzędnymi prostokątnymi punktu M Punkt P o odciętej a i rzędnej b oznaczamy P(a, b)

5. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.1 Prostokątny układ współrzędnych Osie liczbowe dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki Każdemu punktowi płaszczyzny odpowiada uporządkowana para liczb i odwrotnie: Każdej parze liczb odpowiada punkt na płaszczyźnie

6. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.2 Wektory na płaszczyźnie III.1.2.1 Podstawowe definicje Odcinek z wyróżnionym zwrotem nazywamy wektorem. Punkt A nazywamy początkiem wektora, a punkt B – końcem wektora. Koniec wektora oznaczany jest grotem strzałki Wektor: v albo Długość wektora to długość odcinka AB. Długość wektora oznaczamy albo AB Wektor jest w pełni określony przez trzy cechy: Kierunek, wyznaczony przez prostą, na której leży (lub równoległą do niej) Zwrot, określony przez przyjęcie jednego z końców odcinka za koniec wektora Długość Wektor, którego długość jest równa 0 nazywamy wektorem zerowym 0. Wektory u i v są równe, jeżeli mają ten sam kierunek, zwrot i długość

7. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.2 Wektory na płaszczyźnie III.1.2.1 Podstawowe definicje Wektory, które mają ten sam kierunek są równoległe Jeżeli wektory równoległe mają ten sam zwrot nazywamy je zgodnie równoległymi Jeżeli wektory równoległe mają zwrot przeciwny nazywamy je niezgodnie równoległymi Wektory o tej samej długości zgodnie równoległe są równe, a niezgodnie równoległe – przeciwne Wektory przeciwne różnią się tylko zwrotem v=wv=w

8. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.2 Wektory na płaszczyźnie III.1.2.2 Suma wektorów Także Zatem dodawanie wektorów jest przemienne: u+v=v+u Wektor zerowy 0 jest elementem neutralnym dodawania wektorów: u+0=u Suma wektorów przeciwnych jest równa wektorowi zerowemu: u+( u)=0 W szczególności Podobnie można zdefiniować różnicę wektorów u v= u+( v)

9. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.2 Wektory na płaszczyźnie III.1.2.3 Iloczyn wektora przez liczbę Iloczyn niezerowego wektora vprzez niezerową liczbę m jest to wektor mv, który ma ten sam kierunek co wektor v ten sam zwrot, co wektor v, jeżeli m>0 i przeciwny, jeżeli m<0 długość będącą iloczynem długości wektora vprzez wartość bezwzględną m Tw: Mnożenie wektora przez liczbę jest rozdzielne względem dodawania. Dokładniej: m(u+v)=mu+mv (m+n)u=mu+nu

10. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.2 Wektory na płaszczyźnie III.1.2.4 Wektor w prostokątnym układzie współrzędnych to rzuty wektora odpowiednio na osie x i y. Długości tych wektorów vxi vynazywamy współrzędnymi wektora v na osiach x i y. vx= x2x1 vy= y2y1 Wektor v o współrzędnych vxi vyzapisujemy v(vx, vy) albo v = [vxvy] (patrz dział I – wektory) Tw: Współrzędne sumy wektorów równe są sumie współrzędnych tych wektorów. Inaczej: Jeżeli w=u+v, to wx= ux+vxi wy= uy+vy Tw: Jeżeli wektor v pomnożymy przez liczbę m, to współrzędne tego wektora zostaną pomnożone przez tę liczbę. Inaczej: Jeżeli w=mv, towx= mvxi wy= mvy

11. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.2 Wektory na płaszczyźnie III.1.2.4 Wektor w prostokątnym układzie współrzędnych Kąt wektora OM z osią x: Kąt między wektorami Kąt między wektorami AB i CD

12. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.2 Wektory na płaszczyźnie III.1.2.5 Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn skalarny (uv) wektorów u i v tworzących kąt  Tw. Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy wektory te są prostopadłe. Tw. Iloczyn skalarny wektorów jest przemienny (uv) = (vu) Tw. Iloczyn skalarny wektorów jest rozdzielny względem dodawania (u [v+w]) = (uv) + (uw) Tw. Mnożenie iloczynu skalarnego przez liczbę jest łączne ([mu]v) = m(uv)

13. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.3 Proste na płaszczyźnie Równanie prostej w postaci ogólnej:Ax+By+C=0, jeżeli A i B nie są oba równe zeru Szczególne przypadki: B=0  x=a gdzie a=C/A prosta równoległa do osi y A=0  y=b gdzie b=C/B prosta równoległa do osi x

14. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.3 Proste na płaszczyźnie Szczególne przypadki cd.: C=0  y=mx gdzie m=A/B prosta przechodząca przez środek układu współrzędnych B=0 i C=0  x=0oś y A=0 i C=0  y=0oś x Równanie prostej w postaci kierunkowejy=mx+b gdziem=tg  Równanie w postaci kierunkowej możemy otrzymać z równania w postaci ogólnej, jeżeli B ≠ 0. Wtedy m=A/B i b=C/B Bardzo wygodna postać, wystarczająca w większości przypadków z wyj. przypadków szczególnych 1 i 4.

15. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.3 Proste na płaszczyźnie Kąt między dwiema prostymi O równaniach w postaci ogólnej l1: A1x+B1y+C1=0 l2: A2x+B2y+C2=0 Proste l1 i l2: są prostopadłe, gdy cos =0 czyli gdy Proste l1 i l2: są równoległe (lub pokrywają się, gdy sin =0 czyli gdy Dodatkowo: Jeżeli to proste pokrywają się, a jeżeli proste są równoległe.

16. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.3 Proste na płaszczyźnie Kąt między dwiema prostymi 2. O równaniach w postaci kierunkowej l1: y=m1x+b1 l2: y=m2x+b2 Proste l1 i l2: są prostopadłe, gdy cos =0 czyli gdy Proste l1 i l2: są równoległe (lub pokrywają się), gdy sin =0 czyli gdy Dodatkowo : Jeżeli m1=m2 i b1=b2 to proste pokrywają się, a jeżeli m1=m2 i b1≠b2 to proste są równoległe

17. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.3 Proste na płaszczyźnie Prosta przechodząca przez dany punkt Jeżeli prosta o równaniu y=mx+b przechodzi przez punkt A(x1 , y1), to współrzędne punktu A spełniają równanie tej prostej czyli y1 =mx1 +b Odejmując te równania stronami otrzymujemy równanie prostej przechodzącej przez punkt A(x1,y1) yy1 =m(xx1) Prosta przechodząca przez dwa dane punkty A1(x1 , y1) i A2(x2 , y2) 1. Jeżeli punkty nie leżą na prostej równoległej do osi y (x1 ≠x2) albo nie leżą na prostej równoległej do osi x (y1 ≠y2) 2. Jeżeli punkty leżą na prostej równoległej do osi y (x1 =x2) xx1=0 Oba przypadki można objąć wspólnym wzorem

18. III.1 Geometria analityczna na płaszczyźnie III.1.4 Równania krzywych III.1.4.1 Okrąg Równanie normalne okręgu o środku w punkcie S(p, q) i promieniu r (xp)2+(yq)2 =r2

19. III.2 Geometria analityczna w przestrzeni 3D III.2.1 Prostokątny układ współrzędnych Prosta przechodząca przez dany punkt Prosta przechodząca przez dwa dane punkty A1(x1 , y1) i A2(x2 , y2)