Sinais e Sistemas

1. Sinais e Sistemas Introdução 1. Definição 2. Classificação de Sinais 3. Operações Básicas em Sinais 4. Sinais Elementares 5. Propriedades dos Sistemas

2. 1. Definição

3. 2. Classificação de Sinais Sinais unidimensionais de valor único, ou seja há apenas um único valor da função para um único valor de tempo. O valor poderá ser real ou complexo. O tempo possui valor real. Pode-se identificar cinco métodos de classificação de sinais baseados em diferentes recursos.

4. 2. Classificação de Sinais a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto a1 Sinal de Tempo Contínuo É o sinal x(t) cujo a variável independente (t) faz parte do conjunto R. a2Sinal de Tempo Discreto É o sinal x[n] cujo a variável independente (n) faz parte do conjunto Z. n= ..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.... t=nT portanto x[n]=x(nT )

5. 2. Classificação de Sinais a) Sinais de Tempo Contínuo e Discreto Contínuo Discreto

6. 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares b1 Sinal Par Sendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se dizer que x(t) é par quando: x(-t)=x(t) Ou seja, quando x(t) é simétrico em relação à ordenada (eixo vertical).

7. 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares b2 Sinal Impar Sendo x(t) um sinal contínuo no tempo, pode-se dizer que x(t) é impar quando: x(-t)=-x(t) Ou seja, quando x(t) é antissimétrico em relação à ordenada (eixo vertical).

8. 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares Um sinal x(t) pode ser descrito pela soma de duas componentes: xp(t) – par e xi(t) impar Lembrando: xp(-t)=xp(t) e xi(-t)=-xi(t) Portanto: x(t)=xp(t)+xi(t) x(-t)=xp(t)-xi(t)

9. 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares A partir das duas expressões pode-se definir os sinais pares e impares com base em x(t) e x(-t). Fazendo-se: x(t)+x(-t) Obtém-se: Fazendo-se: x(t)-x(-t) Obtém-se:

10. 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares Exercício: Considere xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x). Monte as equações x(t) e x(-t) correspondente às componentes par e impar do sinal e prove que xp(t)=cos(x) e xi(t)=sen(x) utilizando o procedimento do parágrafo anterior.

11. 2. Classificação de Sinais b) Sinais Pares e Impares No caso em que x(t) seja complexo, ou seja: x(t)=a(t)+jb(t) Imaginário Real Se: x(-t)=x*(t) então x(t) é conjugado simétrico. x*(t)=a(t)-jb(t) a(t) é par b(t) é impar Comparando-se, verifica-se que x(t) é conjugado simétrico se:

12. 2. Classificação de Sinais c) Sinais Periódicos e não periódicos São sinais que se repetem de tempos em tempos. x(t) 0 1 2 t Período: duração de um ciclo completo T x(t)=x(t+T) para todo t O valor do sinal se repete para múltiplos de T0 T=T0, 2T0, 3T0 .......

13. 2. Classificação de Sinais c) Sinais Periódicos e não periódicos O recíproco do período é a frequência que corresponde à número de ciclos da onda em um determinado ponto do espaço em um segundo: [f]=s-1=Hz Há também a frequência angular: [w]=rad/s

14. 2. Classificação de Sinais c) Sinais Periódicos e não periódicos Para o caso dos sinais discretos: x[n]=x[n+N] para todos os números inteiros n É inteiro positivo [W]=rad N=25

15. 2. Classificação de Sinais c) Sinais Periódicos e não periódicos O sinal não periódico não se repete em períodos pré determinados. (aperiódicos)

16. 2. Classificação de Sinais c) Sinais Determinísticos e Sinais Aleatórios Determinísticos: Podem ser modelados como função do tempo completamente especificados. Aleatórios: Há incerteza da ocorrência real. Exemplo: Ruído, Eletroencefalograma, etc.

17. 2. Classificação de Sinais c) Sinais de Energia e Sinais de Potência São sinais relacionados à sistemas elétricos. Considerando-se a corrente e a tensão em um resistor R. Tensão v(t) Corrente i(t) A potência pode ser definida como: A potência é proporcional à amplitude elevada ao quadrado.

18. 2. Classificação de Sinais c) Sinais de Energia e Sinais de Potência Considerando: R= 1 ohm x(t) pode expressar v(t) ou i(t) A energia total, no tempo contínuo é definida como: A Potência média: Para um sinal periódico: A raiz quadrada da potência é o valor quadrático médio do sinal x(t) (RMS – root-mean-square)

19. 2. Classificação de Sinais c) Sinais de Energia e Sinais de Potência Para sinais discretos: x[n] Energia: Potência Média: Potência Média do sinal periódico x[n] com período N : Um sinal é chamado de sinal de energia: Por outro lado, ele é chamado de sinal de potência:

20. 2. Classificação de Sinais c) Sinais de Energia e Sinais de Potência • A classificação dos sinais de energia e potência são mutuamente exclusivas; • Um sinal de Energia tem potência média zero • Sinais não periódicos • Sinais determinísticos • Um sinal de Potência tem energia infinita • Sinais periódicos • Sinais aleatórios Exercícios

21. 3. Operações Básicas em Sinais • Constitui uma questão fundamental por se tratar da manipulação do sinal pelo sistema. • Há duas classes de operações: • Operações realizadas na variável dependente • Operações realizadas na variável independente

22. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável dependente • Mudança de escala de amplitude: • x(t) – sinal de tempo contínuo • y(t) – mudança de amplitude • y(t) = C x(t) y[n]=C y[n] • C é o fator de escala • Exemplo: Amplificador. Para sinal de corrente RLC. y(t) é a tensão de saída. x(t) y(t) C=2 2 1 -1 1 t -1 1 t

23. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável dependente • b) Adição • x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo • y(t) = x1(t)+x2(t) y[n]=x1[n]+x2[n] • Exemplo: Misturador de Audio: Música + Voz. • Exemplo: x1(t) x2(t) 1 1 y(t) 2 -1 t -1 1 t y(t) = x1(t)+x2(t) -1 1 t

24. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável dependente • c) Multiplicação • x1(t) e x2(t) – são sinais de tempo contínuo • y(t) = x1(t).x2(t) y[n]=x1[n].x2[n] • Exemplo: Sinal de rádio AM • x1(t) sinal de corrente contínua (cc) • x2(t) sinal senoidal. Onda portadora x1(t) x2(t) Exemplo: 1 1 -1 t -1 1 t y(t) 1 y(t) = x1(t).x2(t) -1 1 t

25. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável dependente • d) Diferenciação • x(t) - sinal de tempo contínuo • Exemplo: O indutor realiza diferenciação: • Indutor com v(t) nos seus terminais induzindo corrente i(t) • e) integração • x(t) - sinal de tempo contínuo • Exemplo: O capacitor realiza Integração: • Capacitor com corrente i(t) induzindo tensão v(t) em seus terminais.

26. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável independente • a) Mudança de escala de tempo • x(t) - sinal de tempo contínuo • y(t)=x(at) • Compressão • estenção • Caso discreto: • Y[n]=x[kn] k>0 e só inteiro • Neste caso alguns valores do sinal de tempo são perdidos

27. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável independente • b) Reflexão • x(t) - sinal de tempo contínuo • y(t)=x(-t) • Reflexão de x em relação ao eixo da amplitude • Para sinais pares obviamente não há mudanças

28. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável independente • c) Deslocamento no tempo • x(t) - sinal de tempo contínuo • y(t)=x(t-t0) x(t) y(t)=x(t-1) y(t)=x(t+1) t0=1 t0=-1 1 1 1 -1 1 t -1 1 2 t -1 -2 t • Para o caso do sinal discreto: • Y[n]=x[n-m] • m é inteiro positivo ou negativo

29. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável independente • Regra de precedência para deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo • y(t) – sinal de tempo contínuo derivado de outro sinal de tempo contínuo x(t) • Obtenção de y(t) deve respeitar a ordem: • 1. Deslocamento no tempo: t→t-b • 2. Mudança da escala de tempo: t→at

30. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável independente • 1. Deslocamento no tempo: t→t-b • Sinal intermediário: v(t)=x(t-b) • 2. Mudança da escala de tempo: t→at • Sinal de saída: y(t)=v(at)=x(at-b)

31. 3. Operações Básicas em Sinais • Operações realizadas na variável independente • Exemplo: Considere o pulso retangular x(y) de amplitude unitária e duração 2 unidades de tempo descrito na figura abaixo. Encontre y(t)=(2t+3). • Ordem correta: • Ordem incorreta:

32. O fim....O fim