Introduction à la physique du son

1. Introductionà la physique du son Un peu de physique pour les musiciens, un peu de musique pour les physiciens Jérôme Joubert CRR de Saint-Maur-des-Fossés - 2013

2. Organisation des exposés • De la nature des sons et de leur organisation 22 février 2013 – 17h • Des instruments à vents 22 mars 2013 – 17h • Des instruments à cordes et à membranes 19 avril 2013 – 17h

3. Des instruments à vent

4. Rappel : nature physique du son - surpression • Vibration d’un matériau (fluide en général) • Oscillation de pression au sein de tranches de fluide Évolution spatiale : Évolution temporelle : exemple d’une onde sinusoïdale Source : http://www.energieplus-lesite.be Patm ≈ 100000 Pa P ≈ 0,01 Pa

5. v Rappel : nature physique du son - vitesse • L’intensité dépend de la vitesse de déplacement des tranches de fluide • I = p.ven Watt par m² (flux de puissance sonore à travers une surface d’un m²)

6. La hauteur du son dépend de sa fréquence f = 1/T f en Hz, c’est le nombre de vibrations identiques en une seconde Plus la vibration est rapide, plus le son est ressenti aigu La réalité n’est pas si simple : un son de basse fréquence et de très forte intensité est parfois ressenti plus aigu qu’un son de plus haute fréquence : c’est le domaine de la psycho-acoustique Rappel : nature physique du son - fréquence

7. Propagation du son et longueur d’onde • La transmission n’est pas instantanée • Longueur d’onde et fréquence sont liés par la vitesse de propagation, notée c l = c/f

8. Sons complexes : notion de timbre • Un son est rarement constitué par une vibration à une seule fréquence • On peut décomposer un son en une série de partiels, i.e. d’ondes sinusoïdales chacune caractérisée par • une fréquence (éventuellement variable) • une intensité (éventuellement variable) • une phase (= décalage à l’origine de l’émission du son) • Le timbre se définit par l’ensemble de ces paramètres et sans doute aussi par beaucoup de ressenti psycho-acoustique… Décomposition en somme de Fourier Joseph Fourier (1768-1830), mathématicien et physicien français

9. Représentation du contenu fréquentiel • Représentation graphique de la décomposition en somme de Fourier • Gain de lisibilité + = Onde sonore Spectre

10. Harmoniques & partiels Pour des partiels harmoniques : Partiel trop haut par rapport à la note « juste » fn = n.ffondamental Partiel trop bas par rapport à la note « juste » n° du partiel La série harmonique sonne « faux »

11. Décomposition modèle d’un instrument à vent • On peut décomposer un instrument à vent en 3 parties principales : • Un système d’excitation (génération d’énergie et entretien de l’onde) : embouchure, anche(s) • Un système résonnant : le tube • Un système de rayonnement (pavillon ou trous latéraux) • On peut étudier séparément chaque partie et effectuer ensuite des raccordements en respectant des propriétés de continuité de certaines grandeurs (pression, débit, etc.)

12. Tube résonnant : un sélectionneur de fréquences • La longueur du tube L induit l’amplification d’ondes sonores dont la longueur d’onde (l) est reliée simplement à L • Le lien entre l et L dépend de la géométrie du tube • Pourquoi ? Les extrémités du tube impose des valeurs de pression et de vitesse d’air : tube ouvert ou fermé

13. Comportement d’une extrémité ouverte • Effet d’une ouverture terminale : continuité de la pression avec la pression atmosphérique (peu de rayonnement) • L’amplitude de la surpression acoustique diminue nécessairement à l’approche de l’extrémité ouverte

14. Tuyau cylindrique : comportement d’une extrémité A B C D Propagation d’une surpression Évolution temporelle aux différents points : Point A : Point B : Point C : Point D :

15. Tuyau cylindrique : comportement d’une extrémité A B C D extrémité ouverte Évolution temporelle de la surpression aux différents points : Point A : Point B : Point C : Point D : Évolution de l’amplitude de l’onde dans le tuyau à proximité de l’ouverture : A B C D extrémité ouverte

16. Tuyaux cylindriques ouverts • L’ouverture à chaque extrémité impose une surpression nulle aux deux extrémités du tube • L’onde fait des allers-retours dans le tube et la résultante est une onde stationnaire : l’onde se stabilise dans le tube et il n’y a plus de propagation d’un front d’onde • Plusieurs ondes stationnaires de différentes longueurs d’onde sont possibles

17. Modes de l’onde de pression : Modes de l’onde de vitesse : Modes stationnaires d’un tuyau ouvert 2L n = 1 n = 2 n = 3 etc. Quand P est maximum, v est minimum : quadrature des deux ondes ventre nœud Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_stationnaire_dans_un_tuyau

18. Modes propres et série harmonique • Les fréquences de résonance du tube sont données par • Pour f(n=1) = 220 Hz • f(n=2) = 440 Hz • f(n=3) = 660 Hz, • f(n=4) = 880Hz, etc. • On retrouve la série harmonique • Pour obtenir un son une octave plus haut, il faut diviser la longueur du tube par deux

19. 878 Hz série quasi-harmonique 1751 Hz 2633 Hz 5261 Hz 4380 Hz 3504 Hz 6133 Hz 7003 Hz • Valeurs de la série harmonique pour ffondamental= 878 Hz, La4 : • 1756 Hz (n = 2), La5 • 2634 Hz (n = 3), Mi6 • 3512 Hz (n = 4), La6 • 4390 Hz (n = 5), Do#7 • 5268 Hz (n = 6), Mi7 • 6146 Hz (n = 7), Sol7 • 7024 Hz (n = 8), La7 fn = n.ffondamental bruit de fond Source sonore : http://www.findsounds.com/ISAPI/search.dll Exemple de tuyau ouvert • La flûte traversière est presque cylindrique (rétrécissement au niveau de l’embouchure). Ses extrémités sont ouvertes. • Analyse du son d’une flûte traversière :

20. Effet d’une extrémité fermée • La vitesse d’air doit nécessairement s’annuler sur la paroi qui obstrue l’extrémité • La pression oscille avec la plus grande amplitude à cette extrémité fermée. • Les tubes présentent une quadrature entre pression et vitesse : les nœuds d’une grandeur correspondent aux ventres de l’autre.

21. Modes de l’onde de pression Modes de l’onde de vitesse Modes propres d’un tuyau semi-fermé l = 4.L n = 1 l = 4.L/3 n = 2 l = 4.L/5 n = 3 Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_stationnaire_dans_un_tuyau

22. Tuyaux semi-fermés et fréquences de résonance • La fréquence fondamentale d’un tuyau semi-fermé (f = 4.L) est deux fois plus basse que pour un tuyau ouvert (f = 2.L) de même longueur : l’onde doit parcourir une longueur de tuyau supplémentaire pour sortir • Pour un tuyau semi-fermé tel que f(n=1) = 220Hz • f(n=2) = 660Hz • f(n=3) = 1100Hz • f(n=4) = 1540Hz, etc. • Les harmoniques pairs (440Hz, 880Hz, 1320Hz, etc.) sont détruits complètement si le système est idéal • On ne peut pas créer de nœud de pression au milieu du tube : on ne peut pas faire sonner une octave Ceci explique en partie le comportement de la clarinette

23. série quasi-harmonique 453 Hz 881 Hz 1330 Hz 1767 Hz 2211 Hz 2654 Hz 3109 Hz 3554 Hz 3987 Hz Source sonore : http://www.findsounds.com/ISAPI/search.dll Exemple de tuyau semi-fermé • La clarinette est quasi-cylindrique sur toute sa longueur et se comporte comme un tuyau semi-fermé (vide infra) • Analyse du son d’une clarinette : • Valeurs de la série harmonique pour ffondamental= 440,5 Hz, La3 : • 881 Hz (n = 2), La4 • 1321 Hz (n = 3), Mi5 • 1762 Hz (n = 4), La5 • 2202 Hz (n = 5), Do#6 • 2643 Hz (n = 6), Mi6 • 3083 Hz (n = 7), Sol6 • 3524 Hz (n = 8), La6 • 3987 Hz (n = 9), Si6 Il y a des harmoniques pairs et après le 7e partiel, l’atténuation des harmoniques pairs n’est plus respectée : le tube n’est pas parfait fn = n.ffondamental ffondamentalest trop haut par rapport à toute la série de partiels qui suit

24. Autres formes de tuyaux • Quand la section du tube est variable, les fronts d’ondes ne sont pas perpendiculaires à l’axe moyen du tube • Les effets aux extrémités suivent les mêmes principes que pour un tube semi-fermé • Les propriétés de l’onde ne sont pas les mêmes donc les fréquences des partiels sont affectées par rapport au tuyau cylindrique

25. Cas d’un tuyau conique Nœud de pression Ventre de vitesse 0 L A priori, le comportement est le même que pour un tuyau semi-fermé : il ne devrait pas y avoir de fréquence 2, 4 ou 6 fois plus grande que la fréquence fondamentale Ventre de pression Nœud de vitesse Et pourtant, un hautbois émet des partiels harmoniques pairs !

26. L’ouverture progressive de la perce impose une diminution progressive de l’amplitude de la surpression acoustique pour aboutir à un nœud à l’extrémité ouverte On peut montrer que le produit x.p d’un tuyau conique a les mêmes propriétés que p pour un tuyau cylindrique ouvert : on retrouve des harmoniques pairs même si le tuyau est semi-fermé Cas d’un tuyau conique Source : cours de Licence UPMC, E. Kierlik – Physique des instruments à vent L’amplitude de la variation de surpression n’est pas la même pour tous les ventres

27. Pour une longueur quasi identique, la clarinette descend presque une octave plus bas que le hautbois ou la flûte Fréquence du fondamental : Tuyau conique semi-fermé (hautbois) ou cylindrique ouvert (flûte) : f = c/(2.L) Tuyau cylindrique semi-fermé (clarinette) : f = c/(4.L) Comparaison de deux tuyaux Source : http://www.phys.unsw.edu.au/jw/woodwind.html

28. Effet de longueur effective • La petite colonne d’air à l’extrémité un tube droit se comporte dans la continuité du tube avant de rayonner l’onde sonore dans le reste de l’espace • Les longueurs d’onde possibles pour les modes sont un peu plus grandes que celles données par la longueur réelle du tube Petite zone qui se comporte dans la continuité du tube

29. Largeur du tube • La viscosité de l’air crée des frottement au sein du fluide : il y a des pertes • Les frottements de l’air sur les parois créent aussi des pertes • Si le tube est trop étroit, les pertes deviennent très importantes et le tube ne peut plus entrer en résonance Vitesse nulle sur les parois (frottement) Allure du profil de vitesse dans une section de tube Vitesse homogène loin des parois

30. Largeur de tube • Dans un tube cylindrique, la quasi-planéité du front d’onde est maintenue par des réflexions de l’onde sur les parois • Si le tube est trop large, on observe une perte de cohérence des réflexions et une dispersion de l’onde : l’onde stationnaire ne peut plus exister • La largeur du tube est un compromis entre les pertes par frottement et les pertes par dispersions. • Les pertes dépendent de la fréquence et conditionnent la répartition énergétique des partiels qui sont émis, donc le timbre • Lorsqu’on double la longueur du tube, il faut environ doubler la surface de sa section

31. Les systèmes d’excitation • Il existe deux familles d’excitateurs • Les excitateurs soumis au tube résonnant : la fréquence de l’onde que l’excitateur peut envoyer dans le tube est conditionnée par le tube • Les excitateurs dont la vibration impose la fréquence de l’onde sonore ; celle-ci dépend de la géométrie et de la constitution matérielle de l’excitateur (ex : lames vibrante dans un harmonica, un accordéon ou un harmonium) Source : http://fr.wikipedia.org/wiki/Instrument_%C3%A0_anche_libre

32. Anches doubles • Composées de 2 lames vibrantes (roseau) quasi-symétriques • Lorsqu’on souffle, la pression à l’intérieur de la bouche tend à fermer l’anche double : l’anche tend à se comporter comme une extrémité fermée pour le tube sur lequel on l’adapte

33. Anches doubles • Lorsqu’une surpression arrive sur l’anche à l’intérieur du tube, celle-ci tend à s’ouvrir • quand la pression s’équilibre entre la bouche du musicien et le tube, elle tend à se refermer. • La fréquence de vibration de l’anche est conditionnée par les modes de vibration du tube Source : Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset

34. Le timbre n’est pas complètement déterminé par le tube résonnant, sinon les hautboïstes et les bassonistes n’auraient pas des collections d’anches L’anche accepte plus ou moins bien de vibrer à la fréquence que veut lui imposer le tube : elle conditionne le timbre. La courbure du roseau impose une contrainte mécanique forte, ce qui entraîne une détérioration rapide des propriétés vibratoires Anches doubles Source : http://annie.batalla.over-blog.com/article-mais-qu-est-ce-qu-un-hautbois-61390202.html

35. Pincement fort : fréquences aigües favorisées Pincement faible : fréquences graves favorisées Pincement proche du bord : fréquences aigües favorisées Pincement loin du bord : fréquences grave favorisées Anches doubles • Les lèvres du musicien permette d’assurer une homogénéité de timbre sur une large plage de fréquence en jouant sur la raideur de l’anche : • Par un pincement plus ou moins fort • Par un pincement plus ou moins loin de l’extrémité

36. Anches simples • Lame vibrante fixée sur un support rigide (bec) : • Comme pour les anches doubles, lorsqu’on souffle, la pression à l’intérieur de la bouche tend à fermer l’anche double • L’anche tend à se comporter comme une extrémité fermée pour le tube sur lequel on l’adapte

37. Anches simples • Lorsqu’une surpression arrive sur l’anche à l’intérieur du tube, celle-ci tend à s’ouvrir • quand la pression s’équilibre entre la bouche du musicien et le tube, elle tend à se refermer. • La fréquence de vibration de l’anche est conditionnée par les modes de vibration du tube Source : Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset

38. Les anches simples sont moins contraintes que les anches doubles : elles vieillissent un peu moins vite Elles sont souvent plus larges et épaisses que les anches doubles : elles peuvent imposer leur fonctionnement à l’instrument : c’est le canard L’anche a une influence directe sur le timbre : elle ne supporte pas de la même façon toutes les fréquences que lui impose le tube résonnant Anches simples Anche non contrainte par les lèvres Anche pincée Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne

39. Embouchures de cuivres • Les lèvres du musicien posées sur l’embouchure vibre à la manière d’une anche double • Différence fondamentale : plus la pression dans la bouche du musicien est grande, plus « l’anche » s’ouvre • Une embouchure de cuivre se comporte comme une extrémité ouverte Source : http://www.medecine-des-arts.com/Classe-A-des-instruments-a-vent.html Source : http://musique.nikkojazz.fr/2012/10/les-embouchures.html Source : http://www.poperepair.com/product/visualizer_horn

40. Embouchures de cuivres • Le tube résonnant n’impose pas forcément sa fréquence aux lèvres du musicien • les notes qui ne correspondent pas à la fréquence propre du tube ne sonnent pas bien : l’onde stationnaire ne peut pas se mettre en place et le tube atténue le son au lieu de l’amplifier Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne Amplitude de vibration des lèvres d’un tromboniste autour des fréquences propres du tube

41. Embouchures de flûtes • Formé par un jet d’air arrivant sur un biseau à l’entrée du tube résonnant : • L’air peut entrer ou sortir : les embouchures de flûtes sont des extrémités ouvertes Source : http://fr.academic.ru/dic.nsf/frwiki/636276 Source : http://www.flute-a-bec.com

42. Embouchure de flûtes • L’excitation se fait par l’installation d’une turbulence au voisinage du biseau pour un débit d’air suffisant • Les entrées/sorties périodiques sont commandées par la résonnance du tube : l’embouchure elle-même n’a pas de fréquence propre contrairement aux anches Source : http://www.flute-a-bec.com

43. Embouchures de flûtes • Même en l’absence de fréquence propre, le son dépend évidemment de la façon de souffler : le débit d’air peut perturber les oscillations périodiques (il y a du souffle dans le son) • La forme du biseau affecte la forme de l’écoulement : il joue sur le timbre • La vitesse d’air permet de favoriser un partiel ou un autre

44. Embouchures de flûtes • La vitesse d’air influe sur la hauteur pour un partiel donné Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne

45. Rayonnement du son et pavillon • Le pavillon évite une discontinuité entre la fin du tube, de section bornée, et l’immensité de l’espace libre autour • Il permet d’assurer une transmission progressive de la surpression et donc un meilleur transfert énergétique entre l’onde stationnaire créée dans le tube et le milieu extérieur, surtout pour les hautes fréquences • Il est responsable d’inharmonicité dans les basses fréquences • Il n’est efficace que si l’onde qui s’établit dans le tube arrive jusqu’au pavillon • C’est toujours le cas pour les cuivres • Ça dépend des trous pour les bois

46. Effet des trous et longueur effective • Un trou ouvert le long d’un tube affecte l’onde qui peut s’y établir • Une partie de l’énergie peut être rayonnée par le trou : pour les bois, une grande partie du son provient des trous, parfois plus que du pavillon

47. Effet des trous et longueur effective Source : Les instruments de l’orchestre, Jean-Claude Risset

48. Mode favorisé par un petit trou placé au tiers de la longueur Effet des trous et longueur effective • Un petit trou affecte peu la longueur effective • Si un petit trou est placé à une distance telle qu’un nœud de pression peut s’établir, alors on favorise l’émission du mode dont le nœud est situé à cet endroit • Ceci explique le principe des petits trous d’octaviation (flûte, hautbois) ou de quintoiement (clarinette) ; combinaison entre placement et diamètre du trou

49. Effet des trous : timbre • Les trous ouverts affectent la forme et la longueur effective du tube : ils influencent le timbre • Les trous fermés affectent aussi la forme (interne) du tube : il modifient le timbre également ! fréquences atténuées par les trous latéraux fermés ayant des grands conduits Source : Acoustique des instruments de musique, A. Chaigne Sonogramme d’une gamme chromatique de basson

50. Instruments réels : influence des matériaux • Les matériaux influent sur la qualité des réflexions d’onde dans le tube • Ils agissent sur les pertes par frottement des couches d’air contre les parois • La qualité de la surface peut perturber les ondes qui s’établissent dans le tube et créer des inharmonicités