Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano

1. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano Por que utilizar vetores? deslocamento velocidade força aceleração torque comprimento massa tempo temperatura pressão Existem grandezas físicas perfeitamente definidas por seu tamanho e sua unidade. Para determinar outras grandezas, entretanto, são necessárias mais informações, como sua direção e sentido. Inúmeras leis da física são expressas em termos de operações vetoriais.

2. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano O que são vetores? Antes de definir vetores, vamos falar sobre SEGMENTOS ORIENTADOS B Dois pontos no espaço definem: A) Um segmento de reta, onde estão contidos os extremos A e B, bem como todos os pontos entre A e B; B A B) Um segmento de reta orientado de origem no ponto A e extremidade no ponto B, indicado por AB e representado por uma flecha de A para B; A B • C) Um segmento de reta orientado de origem no ponto B e extremidade no ponto A, indicado por BA e representado por uma flecha de B para A. A

3. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano SEGMENTOS ORIENTADOS Os segmentos orientados são caracterizados e diferenciam-se uns dos outros por apresentarem: u.m. Comprimento: é a sua medida em relação a uma unidade de medida pré-fixada. A B Direção e sentido: dois segmentos orientados tem a mesma direção se forem paralelos. Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados se eles tiverem a mesma direção L N Y C X A Q P K Mesma direção Sentidos contrários B D M Direções diferentes Não podemos comparar sentidos Mesma direção Mesmo sentido

4. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientados são eqüipolentes quando tiverem a mesma medida, mesma direção e mesmo sentido. C Podemos escrever: A OBS: não são IGUAIS, pois os pontos formadores de cada segmento são diferentes. B D AB CD Propriedades: 1) Se AB CD então AC BD D C B C D A B A

5. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades: 2) Se AB CD e CD EF então AB EF B A AB CD CD EF AB EF C D E F 3) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe e é único, um ponto D tal que AB CD AB CD B A C D

6. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano VETORES: Definição Consideremos um conjunto de n segmentos orientados eqüipolentes entre si. B = outro vetor A = 1 vetor A este conjunto denominamos de 1 vetor, o qual será indicado por um representante do conjunto. Nomenclatura: AB ou v ou (B-A) Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. Desta forma, o vetor fica caracterizado como sendo um vetor livre.

7. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano VETORES Vetores iguais • |AB|=|CD|; • AB e CD tem mesma direção; • AB e CD tem mesmo sentido. Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB CD Vetor nulo Os segmentos nulos (extremidade coincide com a origem), por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por 0 . Vetores opostos Dado um vetor v = AB , o vetor BA é um vetor oposto a AB, indicado por – AB ou –v . Vetores unitários ou versores É um vetor cujo módulo (ou comprimento) é igual a 1. • O versor de um vetor v é indicado por v , e apresenta mesma direção e sentido de v . v v

8. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano OPERAÇÕES ELEMENTARES COM VETORES 1) Produto de um número real por um vetor Dado um vetor v e um número “a” qualquer, o produto a v resulta num outro vetor p com as seguintes características : • A direção do vetor p é a mesmado vetor v ; • O módulo (comprimento) do vetor p é o módulo do vetor v vezes o módulo do número real “a” ; • se a > 0, p e v tem mesmo sentido • O sentido do vetor p depende do sinal do número real “a”: Exemplos: p = 2 v u.m. r = -3 w d = - 4,5 e • se a < 0, p e v tem sentidos contrários d w p v r e

9. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano 2) Soma de vetores Uma das maneiras de se somar dois vetores é através do método gráfico. Cada vetor a ser somado é transladado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante é obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último. s = v + p s p v

10. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades v + p = p + v (propriedade comutativa) a) s • s = v + p = p + v p v

11. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades a) • s = v + p + w = v + w + p = w + p + v (propriedade comutativa) s w p v

12. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades b) • s = ( v + p )+ w = v + ( p + w ) (propriedade associativa) • p + w • v + p s w p v

13. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano 2) “Subtração” de vetores Não se define a “subtração” para vetores. Ao invés disso, realiza-se a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo • d = v – p = v + ( – p ) • – p d d p v

14. Universidade Estadual de Mato Grosso do SulCurso: Licenciatura em Física - NoturnoDisciplina: Mecânica – 1° ano 2) “Subtração” de vetores • d = r – u = r + ( – u ) r d  u u

15. DESVANTAGENS DO MÉTODO GRÁFICO Qual o módulo (intensidade), direção e sentido do vetor soma? É necessário uma construção geométrica, medida de ângulos....

16. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES h • A = v + h A v v   h Podemos escrever que: E também que: • | v |=| A| cos  • | h |=| A| sen  • | v |=| A| sen  • | h |=| A| cos 

17. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES • A = ax + ay • ax = Acos  • ay = Asen  B by A • B = bx + by ay • bx = Bcos  • by = Bsen    ax bx • S = A +B • S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) • S = ( ax + bx ) + ( ay + by )

18. DECOMPOSIÇÃO DE VETORES • S • Sy B Quem é o vetor S ? • módulo • direção • sentido by A  ay  • Sx ax bx Direção e Sentido: Módulo: •  = tg – 1(Sy / Sx) •  = tg – 1(Sx / Sy) • S = Sx + Sy • S = A +B • S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) • S = ( ax + bx ) + ( ay + by ) • Sx = ax + bx • Sy = ay + by •  • S = ( Sx )2 + ( Sy )2

19. Definindo os versores das direções horizontal e vertical: DECOMPOSIÇÃO DE VETORES i Sx Sy B S j A Vamos determinar:   bx i ax i • S = ( ax + bx ) i + (ay + by ) j • S = Sx i + Sy j  by j ay j • S = ( ax i + ay j ) + ( bx i + by j ) • S = A +B • S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) •  = tg – 1(Sy / Sx) •  • S = ( Sx )2 + ( Sy )2

20. EXEMPLO 1: Vamos determinar Sx Lembrando que: Sy B S j 60° 30° A i • ax= 12 cos(60°) = 6 cm • ay= 12 sen(60°) = 10,4 cm ax i bx ( -i ) • S= A + B = ax i + ay j + bx (-i ) + by j • bx= 6cos(30°) = 5,2 cm • by= 6sen(30°) = 3 cm •  • S = ( Sx )2 + ( Sy )2 • S= 6 i + 10,4j + 5,2 ( i ) + 3j •  • S = (0,8)2 + (13,4)2 • | A |= A= 12 cm • | B |= B= 6 cm ay j by j • S= (6 5,2) i + (10,4+3)j • S= 0,8 i + 13,4j • S = A +B • S =13,42 cm  • = tg –1( 13,4 / 0,8 )= 86,6° • S= 6 i + 10,4j 5,2 i + 3j

21. EXEMPLO 2: Um avião percorre 209 Km em linha reta, fazendo um ângulo de 22,5° a nordeste. A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida? • N • | D |= D= 209 Km • Dxé a distância que o avião viajou ao leste • Dyé a distância que o avião viajou ao norte 22,5° • O • L • Dx= 209 sen(22,5°) = 80 Km • Dy= 209 cos(22,5°) = 193 Km • S • D • Dy • Dx RESPOSTA: • O avião viajou 193 Km ao norte e 80 Km ao leste desde seu ponto de partida. • D = Dx + Dy

22. EXEMPLO 3: Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 Km. A partir de então ele passa a viajar para o norte, andando 47 Km até parar. Encontre o vetor que indica a localização do carro • N • | Dx|= Dx= 32 Km • | Dy|= Dy= 47 Km Quem é o vetor D ? • D é o vetor que indica a localização do carro  • módulo • direção • sentido • O • L •  • S • D = ( Dx )2 + ( Dy )2 • Dy • Dx • D •  • D = (32)2 + (47)2 • tg = ( Dx / Dy )= ( 32 / 54 ) = 0,593 • = tg –1(0,593)= 30,7° • D = 56,9 Km • D = Dx + Dy

23. Em três dimensões z j i k y ay j az k ax i • A x • A = ax i + ay j + ay k Podemos dizer que: