Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Zespół Szkół Publicznych Gimnazjum w Golczewie • ID grupy: 98/51_FM_g1 • Opiekun: Wiesława Trepkowska • Kompetencja: • matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Średnie liczb dodatnich • semestr V 2012 rok

3. Średnia arytmetyczna

4. Średnia arytmetyczna n elementów to suma tych elementów podzielona przez ich liczbę (ilość) W Z Ó R Aa=

5. przykład • Temperatura przez kolejne siedem dni wynosiła: • 8, 3, 0, 1, 2, 1, 6 • Aa=(8+3+0+1+2+1+6):7=3 • Średnia temperatura wynosi 3ºC.

6. Interpretacja geometryczna średniej arytmetycznej • Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka przechodzącego przez punkty C i D, które są środkami ramion trapezu jest średnią arytmetyczną długości podstaw.

7. zadanie • Z testu uczeń otrzymał: 10p, 12p, 9p, 7p, 10p. • Ile punktów musi otrzymać z kolejnego, aby średnia jego punktów wynosiła 11. • (10+12+9+7+10+x):6=11 • 48+x=66 • x=18 • Odp. Z kolejnego testu uczeń musi otrzymać 18 punktów.

8. Odpowiednik ważony średniej arytmetycznej • Jeśli wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej. Wartość średniej ważonej zależy od danych, którym przypisano określone wagi, większy udział w określeniu średniej ważonej mają dane o większej wadze niż te, którym przypisano mniejsze wagi.

9. Obliczmy uczniowi średnią jego ocen jako arytmetyczną i jako ważoną • Uczeń ma następujące oceny: • Z prac klasowych: 4, 3+,5- waga tych ocen to 9 • Z kartkówek i odpowiedzi ustnych: 4-, 1,5,3+ waga ocen to 5 • Prace domowe: 1, 5,5-,4, 3+1 waga tych ocen to 2 • Oceny są liczone: 3+=3,5 4-=3,8 • Średnia arytmetyczna takich ocen wynosi: • (4+3,5+4,8+3,8+1+5+3,5+1+5+4,8+4+3,5+1):13= 3,4

10. Średnia ważona tych ocen • = • = = 3,7 • Ten uczeń ze średniej arytmetycznej otrzymałby - dostateczny • ze średniej ważonej otrzymałby - dobry

11. Średnia geometryczna

12. Średnia geometryczna jest pierwiastkiem n-tego stopnia z iloczynu n wartości zmiennej: • Ag=

13. Interpretacja geometryczna średniej geometrycznej • Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne jest równa średniej geometrycznej.

14. Tak to można obliczyć • Średnia geometryczna dwóch liczb dodatnich to pierwiastek kwadratowy z iloczynu tych liczb np. • =6,928 • Średnia geometryczna z trzech liczb jest pierwiastkiem sześciennym z ich iloczynu np. • =5,544

15. Zastosowanie średniej geometrycznej • Za pomocą średniej geometrycznej można wyliczyć oprocentowanie odsetek. • Średnia geometryczna znajduje również zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk, których rozwój przedstawiony jest w postaci szeregów dynamicznych.

16. Średnia harmoniczna

17. Średnia harmoniczna to odwrotność średniej arytmetycznej odwrotności tych liczb. • Średnia harmoniczna jest to iloraz ilości pomiarów "n", dla których liczymy średnią przez sumę odwrotności tych liczb.

18. wzór

19. Średnia harmoniczna dwóch liczb • Ah = • np. dla liczb 4 i 5 ah = =4,444

20. Interpretacja geometryczna średniej harmonicznej • Jeżeli liczby a i b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, to długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu jest równa średniej harmonicznej.

21. Przykładowe zadanie • Pierwszą połowę drogi samochód przejechał z prędkością • V1 =90 km/h, drugą zaś z prędkością V2 =60 km/h. Jaka jest średnia prędkość samochodu na całej trasie? • Korzystamy tu ze wzoru na średnią harmoniczną: • Odp: Średnia prędkość wynosi 72 km/h.

22. Średnia kwadratowa

23. wzór • Średnią kwadratową n liczb nieujemnych a1, a2, …,an • nazywamy liczbę: • Np. Średnia kwadratowa liczb: 2, 5, 7 wynosi: • 5,416

24. . Jeśli liczby a, b potraktujemy jako długości odcinków i zbudujemy trapez o podstawach a i b, wówczas:- długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielącego trapez na dwa trapezy o równych polach powierzchni (linia czerwona) jest równa średniej kwadratowej, - długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i łączący środki ramion trapezu (linia niebieska) jest równa średniej arytmetycznej,- długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i dzielący trapez na dwa trapezy podobne (linia zielona) jest równa średniej geometrycznej,- długość odcinka równoległego do podstaw trapezu i przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych trapezu (linia żółta) jest równa średniej harmonicznej.

25. Obliczamy średnie trzech liczb • Z przykładu z trapezem wynika, że największa powinna być średnia kwadratowa, później arytmetyczna, następnie geometryczna i najmniejsza harmoniczna. • Sprawdźmy to dla dowolnie wybranych liczb np.5,8,10 • Średnia kwadratowa: • 7,937 • Średnia arytmetyczna: = 7,667

26. średnia geometryczna: 7,368 • Średnia harmoniczna: 7,059

27. Nasze wyniki • średnia kwadratowa średnia arytmetyczna • średnia geometryczna średnia harmoniczna

28. Nierówność cauchy'ego • Nierówność o średnich dla liczb dodatnich a1, a2, ..., anstwierdza, że ciąg: średnia kwadratowa, średnia arytmetyczna, średnia geometryczna, średnia harmoniczna liczb a1, a2, ..., anjest nierosnący. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Augustina Louisa Cauchy'ego.

29. bibliografia • Korzystaliśmy z internetowych zasobów: • www.math.edu.pl • www.wikipedia.pl • www.traugutt.edu.pl • www.gwo

31. Dziękujemyza uwagę Patrycja Natalia Amanda Jowita Agnieszka Piotr Jakub Daniel DAWID Miłosz Przemek