Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: IX Liceum Ogólnokształcące w Poznaniu • ID grupy: 97/44_mf_g1 • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: • Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa. • Semestr/rok szkolny: V / 2011/2012

SPIS TREŚCI Spis treści • Elementy kombinatoryki • Symbol n! • Permutacje • Wariacje bez powtórzeń • Wariacje z powtórzeniami • Kombinacje • Klasyczna definicja prawdopodobieństwa • Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa • Własności prawododobieństwa • Bibliografia

Elementy kombinatoryki • Kombinatoryką nazywamy dziedzinę matematyki, której zadaniem jest obliczanie ilości zbiorów, w jakie można łączyć w określony sposób przedmioty (elementy) należące do danego zbioru skończonego. • Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza między innymi rachunkowi prawdopodobieństwa. • Kombinatoryka posługuje się terminologią nie występującą w innych działach matematyki, stąd pozorna jej odrębność.

Symbol n! • Symbol n! (czytaj: n silnia) oznacza liczbę 1, gdy n=0 lub n=1, natomiast gdy n≥2, oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n włącznie. • np.

Zadanie. • Rozwiąż równanie : • Rozwiązanie: • Rozwiązaniem równania jest liczba 5.

PERMUTAcje • Permutacją zbioru n – elementowego nazywamy każdy n - wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego zbioru. • Liczba permutacji zbioru złożonego z n różnych elementów wyraża się wzorem: • Dwie permutacje tego samego zbioru elementów różnią się między sobą kolejnością elementów.

Permutacje - zadania • Zad.1. Ile różnych permutacji można utworzyć z elementów zbioru {a,b,c}? • Rozwiązanie: • Z trzech liter można utworzyć sześć różnych ciągów: (a,b,c), (b,a,c), (c,a,b), (a,c,b), (b,c,a), (c,b,a). • Zatem: • Zad.2. Na ile sposobów można ustawić w kolejce do kasy biletowej 6 osób? • Rozwiązanie: • Tworzymy sześciowyrazowe ciągi, czyli otrzymujemy permutacji. • Zad.3. Ile wyrazów dziesięcioliterowych (mających sens lub nie) można utworzyć z wyrazu MATEMATYKA? • Rozwiązanie: Tworzymy ciągi dziesięciowyrazowe, przy czym litera M występuje 2 razy, A – 3 razy, T - 2 razy zatem liczba różnych permutacji wynosi:

Symbol Newtona • Symbolem Newtona (czytamy „n po k”) nazywamy wyrażenie: • np.:

Warto zapamiętać, że: • 1. • 2. • 3. • 4. • 5. • 6.

Zadanie: • Rozwiąż równanie: • Rozwiązanie: kolejne liczby naturalne

KoMbinacje • Kombinacją k-elementowązbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k–elementowy tego zbioru, gdzie 0≤k≤n. • Liczba różnych kombinacji k-elementowych spośród n elementów wyraża się wzorem:

Kombinacje - zadania • Zad.1. Na ile sposobów można wybrać trzy osobową delegację spośród 10 osób? • Rozwiązanie: Tworzymy 3 elementowe podzbiory zbioru 10 elementowego zatem: • Zad.2. W pudełku jest 50 długopisów, w tym 8 wadliwych. Na ile sposobów można wyjąć z pudełka 4 długopisy, tak aby wśród nich były co najmniej 3 wadliwe? • Rozwiązanie:

Wariacje bez powtórzeń • Ciąg k-wyrazowy, którego wszystkie wyrazy są różne i należą do n–elementowego zbioru Z (0≤k≤n), nazywamy k-elementową wariacją bez powtórzeńn-elementowego zbioru. • Liczba wszystkich k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Wariacje bez powtórzeń - zadania • Zad. 1. Ile jest możliwości posadzenia 6 osób na 10 krzesłach ustawionych w rzędzie? • Rozwiązanie: • Zad.2. Ile jest liczb pięciocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach? • Rozwiązanie:

Wariacje z powtórzeniami • Każdy k-wyrazowy ciąg o wyrazach należących do n – elementowego zbioru Z nazywamy k – elementową wariacją z powtórzeniamin-elementowego zbioru. • Liczba wszystkich k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

Wariacje z powtórzeniami - zadania • Zad.1. Rzucamy 3 razy sześcienną kostką do gry. Liczbę wyrzuconych oczek zapisujemy jako kolejną cyfrę liczby trzycyfrowej. Ile można otrzymać takich licz? • Rozwiązanie: • tworzymy 3 wyrazowe ciągi wybierając wyrazy z 6-elementowego zbioru, zatem: • Zad.2. Ile jest możliwych wyników w rzucie 3 monetami? • Rozwiązanie: tworzymy 3 wyrazowe ciągi z elementów zbioru {O,R}, zatem:

Doświadczenie losowe, zdarzenie losowe • Doświadczeniem losowym nazywamy takie doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w warunkach identycznych i którego wynik nie daje się przewidzieć jednoznacznie. • Wynik doświadczenia nazywamy zdarzeniem losowym, np.: • wypadnięcie orła w rzucie monetą, • uzyskanie parzystej liczby oczek przy rzucie kostką do gry, • wytypowanie dokładnie 5 liczb przy losowaniu w Lotto

Zbiór zdarzeń elementarnych • Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu lodowym nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnychi oznaczamy . • Np. Doświadczenie polega na rzucie symetryczną kostką do gry. Zbiór zdarzeń elementarnych ={1,2,3,4,5,6} • Liczba zdarzeń elementarnych wynosi:

Zdarzenie losowe jako podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych • O zdarzeniach elementarnych, które są elementami ustalonego zdarzenia mówimy, sprzyjają zdarzeniu A. • Zdarzenie nazywamy pewnym, jeżeli zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór , np. „wyrzucenie liczby oczek mniejszej od 7 w rzucie kostką do gry” • Zdarzenie nazywamy niemożliwym, jeżeli zbiorem zdarzeń sprzyjających jest zbiór pusty, np. „wyrzucenie liczby oczek większej od 6 w rzucie kostką do gry”

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa • Jeżeli każdemu zdarzeniu jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba P(A) taka, że: • 1. • 2. Dla każdej pary wykluczających się zdarzeń zachodzi • 3. • to mówimy, że w zbiorze  określone jest prawdopodobieństwo, a liczbę P(A) nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa • Jeżeli  jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych A, to prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy liczbę:

Własności prawdopodobieństwa • Niech  będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych, zaś P prawdopodobieństwem określonym w zbiorze  i A,B. Wówczas: • P()=0 • Jeżeli AB, to P(A)≤P(B), • Dla każdego A  zachodzi nierówność P(A)≤1, • P(A)+P(A’)=1 • P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

Przykłady obliczania prawdopodobieństw • Zad.1. Z talii 52 kart wyciągamy losowo jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to: • As • Trefl lub walet? • Rozwiązanie:

Przykłady - c.d. • Zad.2. Rzucamy dwukrotnie symetryczna monetą. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: • Dokładnie jednego orła, • Co najwyżej jednego orła. • Rozwiązanie: • ={(O,O), (O,R), (R,O), (R,R)},

Przykłady – c.d. • Zad. 3. Z urny zawierającej 3 kule białe i 4 czarne losujemy kolejno 2 kule (bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kul różnokolorowych. • Rozwiązania (metoda drzewa) b c c b c b

Bibliografia • „Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa”, S.Słowikowski • „Matematyka dla klasy III liceum i technikum”, R. Kalina, T. Szymański • Encyklopedia Szkolna Matematyka • http://www.askompetencji.eduportal.pl/ • http://www.math.edu.pl

Dziękujemy za uwagę!

Dane INFORMACYJNE