Circolo matematico “Martin Gardner” Castelveccana (Va)

1. Circolo matematico “Martin Gardner” Castelveccana (Va) Calde‘ 24/27 luglio 2014 Nando Geronimi 3402490330 fgeroni@tin.it

2. FIRENZE A CAVALLO DEL MILLENNIO Sognando Parigi Nando Geronimi – Centro Pristem

3. I GETTONI DELL’ANNO (finale 2010) Sergio possiede i quattro gettoni che compaiono in figura, con i quali ha formato il numero 2010. Disponendoli in altro modo, può naturalmente formare altri numeri. Quanti altri numeri di 2, di 3 e di 4 cifre può complessivamente formare ? Nota : un numero di 2, 3 o 4 cifre non può cominciare con 0.

4. I GETTONI DELL’ANNO MODIFICATO Sergio possiede i quattro gettoni che compaiono in figura, con i quali ha formato il numero 2013. Disponendoli in altro modo, può naturalmente formare altri numeri. 3 Quanti altri numeri di 2, di 3 e di 4 cifre può complessivamente formare ? Nota : un numero di 2, 3 o 4 cifre non può cominciare con 0.

5. I GETTONI DELL’ANNO MODIFICATO Sergio possiede i quattro gettoni che compaiono in figura, con i quali ha formato il numero 2013. Disponendoli in altro modo, può naturalmente formare altri numeri. 3 Numeri di due cifre: D3,1 x D3,1 = 9 (10,12,13, 20, 21, 23, 30, 31,32) Numeri di tre cifre: D3,1 x D3,2 = 18 (102, 103,120, 123,130, 132, 201, 203, 210, 213 , 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321) Numeri di quattro cifre: D3,1 x P3 = 18 (102, 103,120, 123,130, 132, 201, 203, 210, 213 , 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321) Complessivamente 45 numeri

6. I GETTONI DELL’ANNO (finale 2010) Numeri di due cifre: D2,1 x D2,1 = 4 (10,12, 20, 21) 100 10 - 102 1 - - 120 200 Numeri di tre cifre: 20 - 2 - - 201 210

7. I GETTONI DELL’ANNO (finale 2010) N.B. Il testo chiede quanti altri numeri Sergio può formare Soluzione: 15 1002 10-- 1020 1--- 1200 Numeri di quattro cifre: 2001 20 - 2--- 2010 2100 Numeri di 2 cifre: 4 Numeri di 3 cifre: 6 Numeri di 4 cifre: 6 Complessivamente 16 numeri

8. I GETTONI DELL’ANNO (finale 2010) Sergio possiede i quattro gettoni che compaiono in figura, con i quali ha formato il numero 2010. Disponendoli in altro modo, può naturalmente formare altri numeri. Quanti altri numeri di 2, di 3 e di 4 cifre può complessivamente formare ? Nota : un numero di 2, 3 o 4 cifre non può cominciare con 0. 2012 ? 2009? 2007 ? 2004 ? 2011 ? 2008 ? 2006 ? 2003 ?

9. I GETTONI DELL’ANNO (finale 2010) Sergio possiede i quattro gettoni che compaiono in figura, con i quali ha formato il numero 2010. Disponendoli in altro modo, può naturalmente formare altri numeri. Quanti altri numeri di 2, di 3 e di 4 cifre può complessivamente formare ? Nota : un numero di 2, 3 o 4 cifre non può cominciare con 0. 2002 ? 2000 ? 1997 ? 1995 ? 2001 ? 1999 ? 1996 ? 1994 ?

10. LA FONTANA DI CHAMPAGNE PARIGI 1 2001 Per il matrimonio della propria figlia il re ha fatto le cose in grande. Ha fatto realizzare una piramide di bicchieri sulla quale scenderà una cascata di champagne. La piramide è composta di 2 bicchieri (1x2) al suo culmine, ovvero al livello degli sposi. Al livello immediatamente inferiore vi sono 6 bicchieri(2x3). Poi scendendo ve ne sono 12 (3x4), 20 (4x5), etc, fino a quello più basso che ne conta 2000 x 2001. Di quanti bicchieri è composta la piramide? i+i2 = ix(i+1) Σi2 +Σi n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2 = n(n+1)(2n+4)/6 = n(n+1)(n+2)/3 = …….

11. SCEGLIETE E BARRATE (2010) Nello schema fianco, scegliete un numero, poi barrate tutti i numeri che si trovano nella stessa linea e nella stessa colonna. Poi continuate così, sapendo che un numero già scelto o barrato non può essere scelto una seconda volta. Qual è al minimo il prodotto dei cinque numeri scelti? 3024

12. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI? (il più piccolo)

13. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI? (il più piccolo)

14. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI? (il più piccolo)

15. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI?

16. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI?

17. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI?

18. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI? 9

19. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI? 4

20. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI? 134 non è divisibile per 4 834 non è divisibile per 4 314 non è divisibile per 4 814 non è divisibile per 4

21. INDOVINA IL NUMERO (Parigi 2 2013) (9) ABCDEFGHI è un numero di nove cifre che include tutte le cifre da 1 a 9. A è minore di B. I numeri di tre cifre ABC, BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, GHI, sono divisibili rispettivamente per 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9. Qual è il numero ABCDEFGHI?

22. SPESE PER L’INIZIO DELLA SCUOLA (1998) Chiara fa la spesa per l’inizio del nuovo anno scolastico ed acquista un quaderno, un temperamatite, un compasso, un goniometro e un diario. Non si ricorda più del prezzo di ogni oggetto, né del prezzo totale pagato. Abile calcolatrice, ha però notato che moltiplicando il prezzo del quaderno (in migliaia di lire) per quello del temperamatite, trova come risultato 36. Allo stesso modo, il prodotto del prezzo del temperamatite per quello del compasso dà 54; il prodotto del prezzo del compasso per quello del goniometro dà 72; il prodotto del prezzo del goniometro per quello del diario è 108 e il prodotto del prezzo del diario per quello del quaderno è 144. Qual è il prezzo del temperamatite?

23. SPESE PER L’INIZIO DELLA SCUOLA (1998) Chiara fa la spesa per l’inizio del nuovo anno scolastico ed acquista un quaderno, un temperamatite, un compasso, un goniometro e un diario. Non si ricorda più del prezzo di ogni oggetto, né del prezzo totale pagato. Abile calcolatrice, ha però notato che moltiplicando in prezzo del quaderno (in migliaia di lire) per quello del temperamatite, trova come risultato 36. Allo stesso modo, il prodotto del prezzo del temperamatite per quello del compasso dà 54; il prodotto del prezzo del compasso per quello del goniometro dà 72; il prodotto del prezzo del goniometro per quello del diario è 108 e il prodotto del prezzo del diario per quello del quaderno è 144. Qual è il prezzo del temperamatite? QxT=36 TxC=54 CxG=72 GxD=108 DxQ=144 9 3 3 QxT x TxC x GxD = 36 x 54 x 108 CxG x DxQ 72 x 144 4 4 T 2 = 81/4 T = 4,5 migliaia di lire Il temperamatite costa 4.500 lire

24. LA SERATA MONDANA Per la festa del suo compleanno Zinedine ha invitato 25 persone. Anna si annoia perché conosce una sola altra persona; a Battista va un po’ meglio perché ne conosce 2, Carla ne conosce tre, la quarta persona ne conosce 4, la quinta 5 così di seguito fino alla venticinquesima persona che conosce tutti gli invitati. Zinedine, la ventiseiesima persona del gruppo, quante altre persone conosce?

25. LA SERATA MONDANA Per la festa del suo compleanno Chiara ha invitato 5 persone. Anna si annoia perché conosce una sola altra persona; a Debora va un po’ meglio perché ne conosce 2, Carla ne conosce tre, Liliana ne conosce 4 e Milena 5. Chiara, la sesta persona del gruppo, quante altre persone conosce? Chiara Milena Anna Chiara conosce 3 persone: metà dei presenti Liliana Debora Carla

26. LA SERATA MONDANA Per la festa del suo compleanno Chiara ha invitato 4 persone. Anna si annoia perché conosce una sola altra persona; a Debora va un po’ meglio perché ne conosce 2, Carla ne conosce tre, Liliana ne conosce 4. Chiara, la quinta persona del gruppo, quante altre persone conosce? Chiara Anna Chiara conosce 2 delle persone presenti: 2= (5-1)/2 Liliana Debora Carla

27. LA SERATA MONDANA Per la festa del suo compleanno Zinedine ha invitato 25 persone. Anna si annoia perché conosce una sola altra persona; a Battista va un po’ meglio perché ne conosce 2, Carla ne conosce tre, la quarta persona ne conosce 4, la quinta 5 così di seguito fino alla venticinquesima persona che conosce tutti gli invitati. Zinedine, la ventiseiesima persona del gruppo, quante altre persone conosce? Sono presenti 26 persone. Zinedine ne conosce 13

28. GIOCHIAMO CON LE CROCETTE Su una grande pannello sono disegnate 93 crocette verdi e 94 crocette rosse. Regole del gioco: - si devono cancellare due crocette ogni volta; - quando si cancellano due crocette dello stesso colore, le si sostituisce con una crocetta rossa. - quando si cancellano due crocette di colore diverso, le si sostituisce con una crocetta verde. Dopo aver ripetuto un gran numero di volte queste operazioni, Mr. Erase constata che gli restano soltanto 4 crocette. Trovare il colore delle quattro crocette.

29. GIOCHIAMO CON LE CROCETTE • + 94 4 Ad ogni mossa, il numero complessivo di crocette diminuisce di 1 Dopo 183 mosse rimarranno 4 crocette. Dopo ogni mossa il numero di crocette verdi è dispari.

30. MULTIPLI DI 1989 Franco afferma che il numero ottenuto moltiplicando 1989 numeri interi consecutivi è sempre divisibile per 1989. Giulio risponde che non è necessario prenderne 1989, ed ha ragione. Qual è il più piccolo numero intero n tale che il prodotto di n numeri interi consecutivi è comunque un multiplo di 1989? 1989 = 9 x 13 x 17 n=17 17 interi consecutivi contengono comunque un multiplo di 9, uno di 13 e uno di 17

31. PESA NUMERI (2013) Robert Val utilizza nove masse pesanti , pesata in ettogrammi, tutti i numeri interi da 1 a 9. Li posiziona da sinistra a destra sui piatti della bilancia, a partire da 1, nell’ordine naturale. Il centro della bilancia e i sette piatti di ogni lato sono regolarmente distanziati Ogni piatto può contenere al massimo una sola massa. Il “momento” di una massa è uguale al prodotto tra il suo peso e la sua distanza dal centro della bilancia . La bilancia è in equilibrio quando la somma dei momenti è lo stesso su ogni lato. La figura mostra un esempio di un equilibrio che Robert Val ha ottenuto con le prime sette masse. Si può verificare che 1x7+2x6+3x5+4x4+5x1=6x1+7x7.Ricominciando, Robert Val è riuscito a equilibrare la stessa bilancia con le nove masse , ponendo sempre i numeri interi nell'ordine naturale da sinistra a destra . Scrivere i nove numeri sopra i rispettivi piatti 7 2 3 4 5 6

32. PESA NUMERI 5 masse a sinistra e 4 a destra è impossibile

33. PESA NUMERI 77 1x7+2x6+3x5+4x4+5x3+6x2 = 77 71 66 62 59 57 56 6 masse a sinistra e 3 masse a destra

34. PESA NUMERI 77 8 9 98 71 83 66 74 62 76 59 67 57 56 59 77 6 masse a sin8stra e 3 masse a destra

35. PESA NUMERI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 59 59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 77 77

36. I MUCCHI DI BIGLIE (Parigi 2 2013) Febo sistema delle biglie in linee orizzontali sovrapposte, in modo che tutte quelle di ogni riga si tocchino e che ogni biglia che non è nella riga più in basso, tocchi due biglie della riga al di sotto di essa. Vi sono 1, 1 , 2, 3, 5 e 8 modi di disporre, rispettivamente, 1, 2, 3, 4, 5, 6 biglie

37. I MUCCHI DI BIGLIE (Parigi 2 2013) Febo sistema delle biglie in linee orizzontali sovrapposte, in modo che tutte quelle di ogni riga si tocchino e che ogni biglia che non è nella riga più in basso tocchi due biglie della riga al di sotto di essa. Vi sono 1, 1 , 2, 3, 5 e 8 modi di disporre, rispettivamente, 1, 2, 3, 4, 5, 6 biglie (la figura illustra gli 8 modi in cui si possono disporre 6 biglie). Febo osserva che 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5 e 3+5=8. Ma resta prudente sulle relazioni fra ogni termine successivo della successione (dei modi in cui 7, 8, 9, … biglie possono essere disposte) e i due precedenti. Quanti modi ci sono di sistemare 9 biglie?

38. I MUCCHI DI BIGLIE (Parigi 2 2013) Tutte le 9 biglie sulla prima riga sottostante 6 biglie sulla prima riga, 2 sulla seconda riga e 1 sulla terza 1 8 biglie sulla prima riga e 1 sulla seconda riga 4 7 5 biglie sulla prima riga, 3 sulla seconda riga e 1 sulla terza 7 biglie sulla prima riga e 2 sulla seconda riga 5 4 6 biglie sulla prima riga e 3 sulla seconda riga 3 4 biglie sulla prima riga, 3 sulla seconda riga e 2 sulla terza 5 biglie sulla prima riga e 4 sulla seconda riga 1 1 26 configurazioni

39. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) Scrivete un numero in ogni casella della griglia in modo tale che ogni riga e ogni colonna contengano tutti i numeri da 1 a 4. I sedici numeri di quattro cifre che ne risulteranno, leggendo ogni riga e ogni colonna nelle due direzioni, dovranno essere tutti differenti gli uni dagli altri. Se questi numeri sono ordinati secondo il loro ordine crescente, in modo che al più piccolo sia associato il numero 1, al secondo più piccolo il 2, e così via fino al più grande a cui sia associato il 16, allora i due indici al di fuori della griglia dovranno dare il numero associato rispettivamente ai numeri risultanti nella colonna e nella riga corrispondente, letti a partire dal lato in cui si trova tale indice.

40. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) Scrivete un numero in ogni casella della griglia in modo tale che ogni riga e ogni colonna contengano tutti i numeri da 1 a 4. I sedici numeri di quattro cifre che ne risulteranno, leggendo ogni riga e ogni colonna nelle due direzioni, dovranno essere tutti differenti gli uni dagli altri. Se questi numeri sono ordinati secondo il loro ordine crescente, in modo che al più piccolo sia associato il numero 1, al secondo più piccolo il 2, e così via fino al più grande a cui sia associato il 16, allora i due indici al di fuori della griglia dovranno dare il numero associato rispettivamente ai numeri risultanti nella colonna e nella riga corrispondente, letti a partire dal lato in cui si trova tale indice. Quanti numeri diversi si possono scrivere con quattro cifre, ognuno presa una sola volta? Sono le permutazioni di quattro elementi: 4! = 24

41. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) Scrivete un numero in ogni casella della griglia in modo tale che ogni riga e ogni colonna contengano tutti i numeri da 1 a 4. I sedici numeri di quattro cifre che ne risulteranno, leggendo ogni riga e ogni colonna nelle due direzioni, dovranno essere tutti differenti gli uni dagli altri. Se questi numeri sono ordinati secondo il loro ordine crescente, in modo che al più piccolo sia associato il numero 1, al secondo più piccolo il 2, e così via fino al più grande a cui sia associato il 16, allora i due indici al di fuori della griglia dovranno dare il numero associato rispettivamente ai numeri risultanti nella colonna e nella riga corrispondente, letti a partire dal lato in cui si trova tale indice. I primi quattro numeri cominciano con la cifra 1 I numeri del quinto all’ottavo iniziano con la cifra 2 I numeri dal settimo al dodicesimo iniziano con la cifra 3 I numeri dal tredicesimo al sedicesimo iniziano con la cifra 4

42. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) Se il 7° fosse 2314, il 5° e il 6° sarebbero 2134 e 2143 che andrebbero scritti entrambi da destra a sinistra. IMPOSSIBILE. Allora il 7° numero è 2413 I primi quattro numeri cominciano con la cifra 1 I numeri del quinto all’ottavo iniziano con la cifra 2 I numeri dal settimo al dodicesimo iniziano con la cifra 3 I numeri dal tredicesimo al sedicesimo iniziano con la cifra 4

43. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) Impossibile

44. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) Impossibile

45. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) Impossibile

46. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) impossibile

47. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11)

48. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) impossibile

49. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) impossibile

50. L'ordine magico (Parigi 2 2013) (11) impossibile