§2. 여러 가지 사각형

1. 1. 평행사변형 직사각형 2. 평행사변형 마름모 §2. 여러 가지 사각형 (1) 한 내각이 직각일 때 (2) 두 대각선의 길이가 같을 때 (1) 이웃하는 두 변의 길이가 같을 때 (2) 두 대각선이 직교할 때 (3) 대각선이 한 내각을 이등분할 때

2. 직사각형 평행사변형 마름모 여러 가지 사각형 한 내각이 90 대각선의 길이가 같다 두 대각선이 직교 이웃하는 두 변의 길이가 같다 대각선이 한 내각을 이등분

3. (1) A  B  C  D (2) A  B  D C (3) D  B  A C (4) B  A C  D (5) B  A D C 사다리꼴 평행사변형 직사각형 마름모 문제. 직사각형의 집합을 A, 정사각형의 집합을 B, 사다리꼴의 집합을 C, 평행사변형의 집합을 D라 할 때, 다음 중 포함관계가 옳은 것은? 정사 각형

4. M A D = = P Q B = = C N 문제, 오름  ABCD는 평행사변형이고 M,N은 두 변 AD, BC의 중점일 때, MPNQ의 넓이가 10cm2라면  ABCD의 넓이는 얼마인가?

5. F 오른쪽 그림의 평행 사변형 ABCD에서 = H A D G = B C 일 때 의 크기를 구하여라. I = E 문제, 탐구

6. 직사각형의 성질 네 내각의 크기가 모두 같다. = = = = 직사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.

7. ┑ ┑ A D ┑ ┑ B C 공통 따라서 직사각형의 두 대각선의 길이는 서로 같음을 증명하여라. ABCD에서 가정 A=B=C=D 결론 증명 직사각형은 평행 사변형이므로 ABC와 DCB에서  ABC DCB (SAS합동)

8. 문제 A D O B C 그러므로 ABCD 는 직사각형이다. €ABCD에서 대각선AC, BD의 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 이등분하면 직사각형임을 증명. 증명 AOD와 COB에서 . . = = AOD  COB이고 = = . . AOD 와 COB는 이등변 삼각형  DAO = ADO =  OBC =  OCB 이고,  OAB와  COB도 마찬가지로 하여  OAD = OBA = OCD = ODC이다.   A =  B = C = D

9. 문제 A D > ┛ ^ ^ B C > 평행사변형 ABCD에서  A = 90°이면 이 평행사변형은 직사각형임을 증명하여라. 증명  A + B = 180°  A =90°이므로  B = 90° ┏ 또  A = C,  B = D이므로  A = B =  C = D =90° 따라서 ABCD 는 직사각형이다.

10. A B D 는 공통, C 즉 마름모의 성질 마름모의 두 대각선은 서로 수직임을 증명 가정 €ABCD에서 결론 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라 하면 증명 = = _ _ O OAB와 OAD에서 = = OAB  OAD (SSS합동)  AOB =AOD = 90°

11. A \ \ B D O \ \ C  마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직 이등분한다. 문제 두 대각선이 서로 다른 것을 수직 이등분하는 사각형은 마름모임을 증명 증명 가정에 의하여 ABO  ADO  CBO  CDO 따라서 ABCD는 마름모이다.

12. 평행사변형 ABCD에서 이면 이 평행사변형은 마름모임을 증명 A D    C B 그런데  문제 증명 □ABCD는 평행 사변형이므로 = = 따라서 □ABCD는 마름모이다.

13. A B D O C 문제,오름 마름모의 두 대각선은 서로 수직임을 증명하여라. D

14. S A D P R B C Q 문제,탐구 직사각형의 네 변의 중점을 연결한 사각형은 어떤 사각형인지를 설명 하여라.

15. 정사각형 1) 정의 : 네 변의 길이가 모두 같고, 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 2) 성질 : 두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 수직이등분한다.

16. 마름모 정사각형 직사각형 정사각형의 성질 정사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 수직 이등분한다. 네 변의 길이가 같다 네 각의 크기가 같다

17. A D B C 문제 사각형에서 두 대각선길이가 같고 서로 다른 것을 수직이등분하면 정사각형 됨을 증명 가정 = ┓ = 결론 □ABCD는 정사각형 O = = 증명 또 AOD,AOB,BOC,COD는 직각이등변삼각형 즉 ADO =DAO =ABO =BAO =BCO =CBO =CDO =DCO =45 A =B =C =D =90 따라서 □ABCD는 정사각형

18. A D > 임을 증명 B C > 변AB에 평행하게 를 그으면 인 사다리꼴 ABCD에서 이면 가정에서 이므로   사다리꼴의 정의 가정 □ABCD에서 = 결론 = = . . . A E 증명 DEC는 이등변 삼각형이므로 □ABED는 평행 사변형이므로 ,에서

19. 인 사다리꼴 ABCD에서 이면 두 대각선 AC, DB의 길이는 같다. 즉 임을 증명 A  D :가정 C B  :등변사다리꼴의 성질 는 공통인 변 문제 증명 ABC와 DCB에서   ABC  DCB (SAS합동) 참고 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴을 등변 사다리꼴이라 한다

20. 문제, 오름. 인 사다리꼴 ABCD 의 두 대각선 AC, BD의 교점을 O라 할 때, 임을 증명하여라. A D [가정] ABCD에서 O [결론] C B [증명]

21. A D     B C 문제, 탐구 평행사변형 ABCD에서 대각선 BD가 B를 이등분하면 ABCD는 어떤 사각형이 되는 지를 설명하여라.

22. 사다리꼴 평행사변형 마름모 직사각형 여러 가지 사각형의 집합 사이의 포함 관계 정사 각형

23. 여러 가지 사각형의 대각선의 성질 1) 평행사변형의 두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다. 2) 직사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 이등분한다. 3) 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직 이등분한다. 4) 정사각형의 두 대각선은 길이가 서로 같고 서로 다른 것을 수직 이등분한다.

24. 문제, 오름. 다음 중 두 대각선이 서로 이등분하는 사각형이 아닌 것은? (1) 등변사다리꼴 (2) 평행사변형 (3) 직사각형 (4) 마름모 (5) 정사각형

25. 문제. 탐구. 다음 사각형 중에서 두 대각선의 길이가 같은 것을 모두 골라라. (1) 등변사다리꼴 (2) 평행사변형 (3) 직사각형 (4) 마름모 (5) 정사각형

26. 일 때, 밑변이 인 두 삼각형 ABC와 DBC의 넓이가 같다. A l D 직선l위의 두 점 A, D 에서 m에 내린 수선의 발을 P,Q라하면 m B C 평행선과 넓이 ┓ ┓ p Q 따라서 삼각형 ABC와 DBC는 밑변이 공통 높이가 같으므로 그 넓이이가 서로 같다. 그러므로 ABC = DBC

27. 인 사다리꼴ABCD의 두 대각선AC, BD의 교점을 O라 할 때. AOB=DOC 임을 증명 A D B C 두 선분 AD와 BC가 평행하므로 의 높이는 같고 밑변은 공통 ABC와 DBC  ABC = DBC  AOB = ABC - OBC  DOC = DBC - OBC 문제 가정 ABCD에서 O 결론 AOB = DOC 증명 ,,에서 AOB = DOC

28. D A B C E 문제, 오름 오른쪽 그림과 같은 ABCD의 변 BC의 연장선 위에 점 E를 잡아 ABCD=ABE 가 되도록 하려면 점 E를 어떻게 정하여야 하는가?

29. 문제, 탐구. 오른쪽 그림에서 ABCD는 평행 사변형이고 D A = O 30cm2 이고, AOB의 넓이가 30cm2일 때 다음 중 옳은 것은? E C B = F  

30. A D 이므로  35 y x 55  C  B  즉, 이므로 ABD는 이등변 삼각형이다. 연습문제 1.평행사변형 ABCD에서 ADB=35, ACD=55 일 때, x,y의 크기를 구하여라. 55 ADB = DBC = 35 0 DAC = ACB = 55 35 두 대각선 AC와 BD의 교점을 O라 하면 OBC에서 BOC = 180-(OBC + OCB) = 180-( 35 + 55)= 90 , □ABCD는 마름모 마찬가지로 y = 55  x = 35

31. 2. 평행사변형ABCD에서B,D의 이등분선이 변AD,BC와 각각 점 E,F에서 만날 때 는 의 이등분선이므로 , A E D 이므로   (2) BFDE는 평행사변형이다. C B F 는 의 이등분선이므로 이므로 즉, 동위각의 크기가 같으므로 또, 이므로 BFDE는 평행사변형 (1) ABE는 이등변 삼각형이다. ABE는 이등변삼각형이다.

32. A . B D . . C . 3. 직사각형의 각 변의 중점을 차례로 이어서 만든 사각형은 마름모임을 증명하여라.

33. A D B C 4.등변사다리꼴 ABCD의 두 대각선의 교점을 O 라 하면, △OBC는 이등변 삼각형임을 증명 하여라. O