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中国剰余定理 ~ 2000 年の歴史~

中国剰余定理 ~ 2000 年の歴史~. 大阪 大学 s.t.fake (@ st_fake ). 孫子算経. 3 ~ 5 世紀頃、中国の算術書「孫子算経」には 次の問題が描かれていた。 今有物、不知其数。 三・三数之、剰二。 五・五数之、剰三。 七・七数之、剰二。 問物幾何?. 意訳: 今ここに、個数 がわかっていない もの があります。 3 で割ると余りが2 5で割ると余りが3 7で割ると余りが2 さて、これは全部でいくつ?. まぁ皆さん考えてみましょう。. あと 30 秒くらい。. あと 10 秒くらい。. 1 分くらい。. そこまで~.

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中国剰余定理 ~ 2000 年の歴史~

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Presentation Transcript


  1. 中国剰余定理~2000年の歴史~ 大阪大学 s.t.fake (@st_fake)

  2. 孫子算経 3~5世紀頃、中国の算術書「孫子算経」には 次の問題が描かれていた。 今有物、不知其数。 三・三数之、剰二。 五・五数之、剰三。 七・七数之、剰二。 問物幾何? 意訳: 今ここに、個数がわかっていない ものがあります。 3で割ると余りが2 5で割ると余りが3 7で割ると余りが2 さて、これは全部でいくつ?

  3. まぁ皆さん考えてみましょう。 あと30秒くらい。 あと10秒くらい。 1分くらい。 そこまで~ 知ってるZE! という方は類題を…7 で割ると余り6 9 で割ると余り1 11 で割ると余り1

  4. 答えは。 23です。(類題:496) …気になるのは答えじゃなくて  求め方ですよねー?

  5. 孫子算経の解法 140 • 3で割ると2余る→ • 5で割ると3余る→ • 7で割ると2余る→   これらを全部足す。 210を引いて… 63 93 30 233 23 210

  6. 孫子算経の解法 • 一般に 3で割った時のあまり ×70 5で割った時のあまり ×21 7で割った時のあまり ×15 これらをすべて足しあわせて 105 を 可能な限り引けば良い。

  7. ポイントは、105を引くところ! 昔の人はなんとなく…でやっていたのかもしれ ませんが、これはとても重要なことなのれす! どういうこと? 105で余りの組み合わせが1周する!

  8. ちょこっと数学的に。 このことを数学的に記述しますとこうなります。 より一般に、次のようなことも成り立ちます。

  9. ここで注意! とりあえず素因数分解しても、 互いに素でなければこれは使えません。 例えば有名な例だと でしょうか。

  10. 更に発展。 これだけだと数学的なありがたみが殆ど 無いわけです。まぁ暗号とかにはこのまま 使われるらしいのですが。 数学(主に代数)で使われるときには、イデアル の概念を用いて先の定理が描かれます。

  11. 中国剰余定理(イデアル版) R:単位元を持つ可換環 I,J:Rのイデアル、互いに素( I+ J= R) a∈Rとする。この時次の環準同型写像φ は、次の同型を誘導する。

  12. 証明 先に補題として、 を示しておこう。ここでもイデアルが互いに素 であることが生きてくる。 は自明なので皆さんの練習問d(ry

  13. 証明

  14. 証明                 である証明。 補題:完

  15. 証明

  16. 証明

  17. 証明

  18. 証明

  19. 証明

  20. 証明

  21. 証明

  22. 証明

  23. 証明

  24. 証明

  25. 証明

  26. 証明

  27. 証明

  28. 証明

  29. 証明 証明:完

  30. 応用例

  31. 今日のまとめ。 3で割って◯余る 5で割って◯余る 7で割って◯余る… 中国剰余定理でいう の形となる。 ←このタイプは105で一週する。

  32. ご清聴、ありがとうございました。

  33. 計算用紙。いわゆる余白。

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