Séries chronologiques univariées (STT-6615)

1. Séries chronologiques univariées (STT-6615) Chapitre 1 Modèles statistiques de séries chronologiques

2. Objectif principal de l’analyse des séries chronologiques • Un objectif particulièrement important de l’analyse des séries chronologiques consiste à développer des modèles mathématiques qui procurent des descriptions plausibles des données. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

3. Définition d’une série chronologiques • On peut dire qu’une série chronologique se définit comme une collection de variables aléatoires indexées selon l’ordre qu’elles sont obtenues dans le temps. • Un exemple de série chronologique: STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

4. Processus stochastique • De manière générale, considérons une collection de variables aléatoires: • ou • On dit que c’est un processus stochastique. • De manière plus formelle, une série chronologique peut se définir comme une réalisation (finie) d’un processus stochastique. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

5. Caractéristiques visuelles des séries chronologiques • Visuellement, ce qui distinguait les exemples précédents était principalement le degré de lissage. • Une possible explication pour ce lissage est de présumer qu’il représente une conséquence que des points adjacents soient corrélés, de telle manière que la variable aléatoire Xt, soit fonction des valeurs passées Xt-1, Xt-2,…,. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

6. Bruit blanc • Un premier exemple est une collection de variables aléatoires non corrélées, wt, de moyenne 0 et de variance finie • Bruit blanc (faible): nom qui vient de l’ingénierie qui utilise ce modèle pour le bruit. • Blanc: comme la lumière blanche (toutes les oscillations périodiques possibles sont présentes avec une force égale). • Bruit blanc gaussien: Les variables aléatoires wt sont de chacune de loi normale. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

7. Bruit blanc fort et bruit blanc faible • Bruit blanc fort: est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de moyenne zéro et de variance finie. • Bruit blanc faible: est une suite de variables aléatoires non-corrélées de moyenne zéro et de variance finie. • Un bruit blanc Gaussien est un bruit blanc fort. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

8. Exemple: réalisation d’un bruit blanc gaussien • Série chronologique: 500 réalisations d’une N(0,1). • On note que cette série n’est pas très lisse. • Ceci est due au fait que les points adjacents ne sont pas corrélés. • Si le comportement stochastique des séries chronologiques pouvait être expliqué par le modèle du bruit blanc, les techniques statistiques classiques seraient suffisantes!  STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

9. Exemple: Log de rendements mensuels pour les titres IBM et S&P 500 • Séries chronologiques: Les rendements sont définis par Rt = Pt/Pt-1 – 1, où Pt dénote le prix. Les log rendements sont définis comme log(1+Rt) = log(Pt/Pt-1). • Période: données mensuelles, allant de janvier 1926 à décembre 1999. • Souvent les rendements sont des bruits blancs (compte tenu d’effets de microstructure on pourrait considérer que les rendements sont autocorrélés). • Pour S&P 500: une analyse révèle que cette série est compatible avec un bruit blanc faible, mais pas un bruit blanc fort. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

10. Exemple: moyenne mobile • On pourrait remplacer la série chronologique wt, t = 1,2,…,n par une moyenne mobile, qui aura pour effet de lisser la série chronologique. • Exemple: • Visuellement, il en résulte une version plus lisse: ceci reflète que les oscillations plus lentes sont mises de l’avant et que certaines oscillations plus rapides sont éliminées. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

11. Exemple: autorégression • Certaines série chronologiques (exemple: celles sur la parole et la syllabe Aaa…hhh), ne semblent pas compatibles avec des moyennes mobiles. • Un comportement oscillatoire d’un type particulier semble dominer: un comportement sinusoïdal. • Les autorégressions peuvent générer ce genre de phénomènes: ils consistent à régresser la valeur courante sur les valeurs passées. • Exemple: Xt = Xt-1 – 0.90 Xt-2 + wt. • On note le problème des valeurs initiales X0 et X-1. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1

12. Exemple: Signal plus un bruit • Plusieurs modèles de séries chronologiques supposent un signal avec une certaine variation périodique, contaminée par l’ajout d’un bruit. Exemple: • Exemple: (1) la série non contaminée; (2) la série contaminée par un bruit blanc gaussien formé de N(0,1); (3) la série contaminée par un bruit formé de N(0,25). • L’ajout du signal et du bruit obscurci le signal. • Analyse spectrale est une technique pour détecter des signaux réguliers ou périodiques. STT-6615; Séries chronologiques univariées; Chapitre 1