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数字信号处理基础 第 7 章 FIR 数字滤波器的理论和设计. 主讲教师：常 军 联系方式： thinkbank@hotmail.com 武汉大学计算机学院 计算机应用系. FIR 数字滤波器的特点. 单位抽样响应 h(n) 是有限长的，因此 FIR 数字滤波器一定是 稳定 的。 经延时， h(n) 总可变成因果序列，所以 FIR 数字滤波器总可以由因果系统实现。 h(n) 为有限长，可以用 FFT 实现 FIR 数字滤波器。 FIR 的系统函数是 Z -1 的多项式，故 IIR 的方法不适用。 FIR 的相位特性可以是 线性 的，因此，它有更广泛的应用。.
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数字信号处理基础第7章 FIR数字滤波器的理论和设计 主讲教师：常 军 联系方式：thinkbank@hotmail.com 武汉大学计算机学院 计算机应用系
FIR数字滤波器的特点 • 单位抽样响应h(n)是有限长的，因此FIR数字滤波器一定是稳定的。 • 经延时，h(n)总可变成因果序列，所以FIR数字滤波器总可以由因果系统实现。 • h(n)为有限长，可以用FFT实现FIR数字滤波器。 • FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。 • FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的应用。
FIR滤波器的设计方法： (1)以窗函数为基础的窗函数截取法：以传统的窗函数为基础，利用已有的窗函数特性曲线和设计数据进行FIR滤波器的设计。具有设计简单，工程实用价值高的优点。是本课程主要介绍的方法。 (2)局部优化设计法：(等波纹逼近法)以理想滤波器特性为基础，设定一、二个过渡带逼近点，然后对FIR滤波器差分方程系数进行优化计算得H(z)。由于需要部分优化计算，所以计算量较大。局部优化设计法主要是针对过渡带进行优化，而通带波动，阻带特性等不一定很好。 (3)最优化设计法：(计算机辅助设计)在某种最小化误差准则下，建立差分方程系数 b i 对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程组得到最佳逼近系统。由于此方法计算量大，需要借助于计算机进行设计。
7.1 FIR滤波器的线性相位特性： 在一些实际应用中，要求滤波器具有线性相位特性。对于IIR滤波器其相位特性一般都是非线性的，并且很难于实现线性相位特性。而对于FIR滤波器就比较容易实现线性相位特性。 • 7.1.1 滤波器的线性相位特性 • 1、系统的时延特性：
可以证明，在其他几种对称情况下(冲击响应h(n)为偶/奇对称， 无论N为偶数或奇数)，FIR滤波器相位特性也都满足线性相位特性。(P149~150)
FIR 数字滤波器的系统函数只在 Z=0处有N-1 阶极点。在Z平面有 N-1 个零点，如系统具有线性相位特性，则系统零点有一些规律。 具有线性相位特性的FIR数字滤波器的系统函数零点具有对称和共轭对称特性(互为倒数的共轭对)。 7.1.3 线性相位特性FIR 滤波器的零、极点：
7.2 FIR滤波器的窗函数截取设计方法： 窗函数截取法以传统的窗函数为基础，利用已有的窗函数特性曲线和设计数据进行FIR滤波器的设计。具有设计简单，工程实用价值高的优点。 • 7.2.1 理想滤波特性的傅立叶级数逼近：
截断后的h(n)作为FIR滤波器的冲击响应(也是差分方程系数),与理想滤波器的差别主要有：截断后的h(n)作为FIR滤波器的冲击响应(也是差分方程系数),与理想滤波器的差别主要有： • (1)存在误差； • (2)非因果特性； • (3)如何保证线性相位特性(恒时延特性)。
h(n) hd(n) N-1 0 |Hd(e jω)| n |W(e jω)|
N=8 N=16 N=32 • 吉布斯效应及改善：这种由于截断而产生的理想滤波器的幅度特性的波动现象称为吉布斯效应。它使得截断后产生的FIR滤波器特性与理想特性之间有误差，分析误差产生的原因和影响误差的因素可以设计出特性更加好的FIR滤波器。
讨论： 结论： 为了改善逼近效果，需要选用主瓣狭窄，旁瓣相对低的窗函数。但这两项要求往往不能同时满足。因为过渡带宽可以用提高阶数N来满足设计要求，所以工程上主要是选取旁瓣相对低的窗函数来对理想冲击响应序列进行截断。
汉宁窗 N=8 矩形窗 N=8 哈明窗 N=8 3阶Blackman窗 N=8
窗函数幅度频率特性 矩形窗 N=8 汉宁窗 N=8 哈明窗 N=8 3阶Blackman窗 N=8
矩形窗 N=64 汉宁窗 N=64 哈明窗 N=64 3阶Blackman窗 N=64
对理想低通特性的逼近 矩形窗 N=8 汉宁窗 N=8 哈明窗 N=8 3阶Blackman窗 N=8
矩形窗 N=16 汉宁窗 N=16 哈明窗 N=16 3阶Blackman窗 N=16
矩形窗 N=64 汉宁窗 N=64 哈明窗 N=64 3阶Blackman窗 N=64
矩形窗 N=8 汉宁窗 N=8 哈明窗 N=8 3阶Blackman窗 N=8
矩形窗 N=64 汉宁窗 N=64 哈明窗 N=64 3阶Blackman窗 N=64
哈明窗 N=8 哈明窗 N=16 哈明窗 N=32 哈明窗 N=64 N增大时可以改变主瓣的宽度，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例
矩形窗 N=64 汉宁窗 N=64 3阶Blackman窗 N=64 哈明窗 N=64 主瓣与旁瓣的相对比例只由窗函数形状决定
说明： • 要取得好的逼近效果，除阶数N外，选择适合的窗函数也是必要的。 • 通带的波动幅度与窗函数的旁瓣有关，所以选用哈明窗、布拉克曼窗等窗函数可以有较平直的通带特性。 • 阻带衰耗特性主要取决于窗函数的旁瓣特性，所以为了得到较大的阻带衰耗应选择旁瓣幅度低的窗函数，如哈明窗、布拉克曼窗等。这一点与通带平直特性要求是一致的。 • 因为特性比较好的窗函数：哈明窗、布拉克曼窗等过渡带都比较宽。所以要采用较高的阶数N来满足过渡带宽要求。 • 其他还有一些较复杂的窗函数，如凯塞窗、高斯窗等，可以满足较高的设计指标要求(主要是主瓣能量集中，旁瓣幅度低)。但因为计算较复杂，所以一般只用于特殊要求的情况。
说明： • 以上方法设计的FIR滤波器一般可以满足实际应用需要。如果系统设计指标要求较高，则可能需要复核技术指标，通过调整窗函数和阶数N进一步优化系统设计。或考虑采用计算机辅助设计等优化设计方法达到高指标要求。 • FIR滤波器的窗函数设计方法不仅可以设计低通滤波器，而且可以设计非低通滤波器。甚至其它非基本类型的滤波特性的系统，只要其频率特性可以进行分段积分，也可以直接使用窗函数设计方法得到相应的FIR滤波系统。 • 为了得到因果线性相位特性的滤波系统，在窗函数设计方法中一个是使系统频率特性为偶对称，另一个是对理想系统冲击响应序列进行移位再截断。(FIR滤波系统始终是稳定系统)
例： • 某数字信号处理系统采样频率为1KHz。设计一FIR滤波器其截止频率为125Hz。要求滤波器的冲击响应延时不大于20ms，阻带峰值小于－50dB。
（3）选定滤波器阶数N： • 根据冲击响应延时要求t=(N-1)T，取N-1=20，N=21
（6）序列向右平移（N-1)/2 个时间点，成为因果序列：
例： • （3）选定滤波器阶数N：根据要求取N=51。
（6）序列向右平移（N-1)/2 个时间点，成为因果序列：
7.3 FIR滤波器的频率取样设计法 7.3.1 设计原理：通过有限的频率特性取样值去逼近理想滤波特性，然后由有限的频率特性取样值（如系统冲击响应的DFT）取得系统函数 。
N=64,无过渡点 N=64,过渡点=0.5 N=64,过渡点=0.3904 N=64,过渡点=0.6
N=512,无过渡点 N=64,无过渡点 N=64,过渡点=0.6 N=64,过渡点=0.3904
N=64,过渡点1=0.5886,过渡点2=0.1065 说明： 频率取样法所得FIR滤波器通带和阻带波动主要是由于过渡带的突变引起的。通过在过渡带优化过渡样点可以得到较好的通带和阻带特性，缺点是过渡带加宽，但可以通过增加样点数N来克服。一般一个过渡样点可以使最小阻带衰耗达-40dB，而2个过渡样点可以使最小阻带衰耗达-60dB。所以频率取样法设计FIR滤波器主要是确定样点数N和过渡样点。
