1 / 9

Matematyka

Matematyka. Ekonomia, sem I i II. I. Algebra liniowa. Rachunek macierzowy Pojęcia podstawowe Działania na macierzach Wyznaczniki Macierz odwrotna Operacje elementarne na macierzach Postać kanoniczna macierzy Układy równań liniowych Pojęcia wstępne Przypadek szczególny – metoda Cramera

bill
Download Presentation

Matematyka

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matematyka Ekonomia, sem I i II

  2. I. Algebra liniowa • Rachunek macierzowy • Pojęcia podstawowe • Działania na macierzach • Wyznaczniki • Macierz odwrotna • Operacje elementarne na macierzach • Postać kanoniczna macierzy • Układy równań liniowych • Pojęcia wstępne • Przypadek szczególny – metoda Cramera • Rozwiązywanie układu równań w przypadku ogólnym

  3. I.1. Rachunek macierzowy Def. 1 (macierzy) Macierzą nazywamy ciąg mn wyrażeń (np. liczb) aik, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m które zapisujemy w postaci prostokątnej tablicy I.1.1 Pojęcia podstawowe m x n – wymiar macierzy Jeżeli m=n – macierz kwadratowastopnia n

  4. Przykłady

  5. Def. 2 (równości macierzy) Jeżeli macierze A i Bmają te same wymiary, to A=B aik= bik, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m Def. 3 (macierzy zerowej) Macierz A=0 aik= 0, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m Def. 4 (sumy macierzy) Jeżeli macierze A i Bmają te same wymiary, to A+B=C cik=aik+ bik, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m czyli [aik]+[bik]=[aik+ bik] I.1.2 Działania na macierzach Tw. 1 (przemienność dodawania macierzy) A+B=B+Atzn. dodawanie macierzy jest przemienne Tw. 2 (element zerowy dodawania macierzy) A+0=A Tw. 3 (łączność dodawania macierzy) (A+B)+C=A+(B+C)tzn. dodawanie macierzy jest łączne Zatem przy dodawaniu można opuszczać nawiasy i pisać po prostu A+B+C

  6. Tw. 4 (macierz przeciwna) Dla każdej macierzyA istnieje macierz przeciwna–A taka, że A+(–A)=0 –A=[–aik] Def. 5 (skalara) Macierz stopnia 1 [a11]= a11 nazywamy skalarem i identyfikujemy z liczbą (wyrażeniem) a11 Def. 6 (macierzy symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeżeli aik =aki Def. 7 (macierzy antysymetrycznej albo skośnie symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną (skośnie symetryczną), jeżeli aik = –aki Wniosek:aii=0 Przykład:

  7. Tw. 5 (o rozkładzie macierzy kwadratowej) Każdą macierz kwadratowąAmożna jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej S i macierzy antysymetrycznej R A=S+R Dowód: aik =sik +rik aki =ski +rki ale ski =sik i rki = –rik, zatem aik =sik +rik aki =sik –rik Dodając ostatnie dwa wzory stronami dostajemy aki + aik =2sik a stąd sik = ski =½(aik + aki) Podobnie odejmując stronami otrzymamy rik = –rki =½(aik – aki) Def. 8 (wektora) Macierz o jednej kolumnie nazywamy wektorem kolumnowym, a o jednym wierszu – wektorem wierszowym Wektor kolumnowy Wektor wierszowy

  8. Def. 9 (podmacierzy) Jeżeli z macierzy usuniemy wiersz albo kolumnę albo kilka wierszy albo kilka kolumn, to pozostała macierz o mniejszych wymiarach nazywana jest podmacierzą macierzy wyjściowej Def. 10 (macierzy diagonalnej) Macierz kwadratową nazywamy diagonalną (przekątniową), jeżeli poza przekątną główną ma same zera czyli gdy aik=0 dla i≠k np. Def. 11 (symbolu Kroneckera) Def. 12 (macierzy jednostkowej) Macierz jednostkowa1 (albo U lub E) 1=[δik] np.

  9. Def. 13 (macierzy transponowanej) Macierz transponowana AT do macierzy A aTik =aki np. Def. 14 (mnożenia macierzy przez liczbę) cA=c[aik]=[c aik] np. Tw. 6 (rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę) (m+n)A=mA+nA n(A+B)=nA+nB Def. 15 (mnożenia macierzy) Niech A – macierz o wymiarach m x n niech B – macierz o wymiarach n x p AB=C gdzie C – macierz o wymiarach m x p cik = ai1 b1k +ai2 b2k +ai3 b3k + ...+ain bnk albo w skrócie

More Related