Matematyka finansowa - PowerPoint PPT Presentation

matematyka finansowa n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Matematyka finansowa PowerPoint Presentation
Download Presentation
Matematyka finansowa

play fullscreen
1 / 69
Matematyka finansowa
263 Views
Download Presentation
alize
Download Presentation

Matematyka finansowa

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Matematyka finansowa Marcin Krzywda, 21.11.2007

  2. Procent

  3. Procent 1 % =

  4. Procent (2) Zad. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiła 200zł i w ciągu roku wzrosła o 25%. Ile wynosi cena tego towaru obecnie?

  5. Procent (3) Zad. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiła 200zł i w ciągu roku wzrosła o 25%. Ile wynosi cena tego towaru obecnie? 200zł + 200zł x 25% = 250zł

  6. Procent (4) Zad. Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę promocyjną równą 1449 zł. Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika.

  7. Procent (5) X ·1,05 · 0,92 = 1449 X · 0,966 = 1499 X = 1500

  8. Procent (6)

  9. Procent (7) Dochód bez uwzględnienia prowizji: 530 ·(45-25) = 10600 zł Prowizja I: 530·25·1% + 60 = 13250·1% + 60 = 192,5zł Prowizja II: 530·45·0,7% + 105 = 23850·1% + 105 = 271,95zł Dochód – prowizja: 10600 - 192,5 - 271,95 = 10379,55zł

  10. Oprocentowanie proste

  11. Oprocentowanie proste Oznaczenia: P – kapitał r – stopa procentowa (roczna !!!) t – okres oprocentowania (jako ułamek roku)

  12. Oprocentowanie proste (2) ZASADA. Odsetki rosną liniowo w stosunku do upływu czasu. I = P·t·r F = P + I = P + P·t·r = P(1 + t·r)

  13. Oprocentowanie proste (3) Zad. Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 10 000 PLN oprocentowany na 12% (kap. prosta) po: • 4 latach • 180 dniach (rok = 360 dni) ?

  14. Oprocentowanie proste (4) P = 10 000 PLN r = 12% t = 4 F = 10 000 · (1 + 4 ·12%) = = 10 000 · 1,48 = 14 800 PLN

  15. Oprocentowanie proste (5) P = 10 000 PLN r = 12% t = 180/360 = 1/2 F = 10 000 · (1 + 1/2·12%) = = 10 000 · 1,06 = 10 600 PLN

  16. Oprocentowanie proste (6) Zad. Właścicielowi 18-miesięcznej lokaty (kap. prosta) na sumę 20 000 PLN wypłacono przy jej likwidacji 23 450 PLN. Jaka była roczna stopa procentowa?

  17. Oprocentowanie proste (7) P = 20 000 PLN P = 23 450 PLN t = 1,5 r = ? F = P + P·t·r P·t·r = F – P r = r = 3 450 / 30 000 = 11,5 %

  18. Oprocentowanie składane

  19. Oprocentowanie składane ZASADA. Odsetki oblicza się za każdy okres (kapitalizacji) i dopisuje do kapitału na koniec okresu. Zatem, w kolejnym okresie liczy się odsetki od wyższej kwoty! Def. Kapitalizacja = doliczenie odsetek!

  20. Oprocentowanie składane Oznaczenia: P – kapitał r – stopa procentowa (roczna, nominalna !!!) t – okres oprocentowania (jako ułamek roku)

  21. Oprocentowanie składane (2) Zad. Policzmy ile wyniosą odsetki od kwoty 1000 PLN z lokaty 2 letniej, przy 10 % stopie, jeśli odsetki są obliczane: • raz na końcu (procent prosty) • po upływie każdego roku (procent składany).

  22. Oprocentowanie składane (3) • I = 1000 · 2 · 10% = 200 PLN • I1 = 1000 · 10 % = 100 PLN I2 = 1100 · 10 % = 110 PLN I = 210 PLN

  23. Oprocentowanie składane (4) Wariant I. Kapitalizacja roczna • Odsetki dopisujemy na koniec roku

  24. Oprocentowanie składane (5) • Jak powiększa się kapitał w kolejnych latach? F = P(1+r)n (dowód: indukcja)

  25. Oprocentowanie składane (6) OBSERWACJA. Przy oprocentowaniu składanym wartość kapitału rośnie w postępie geometrycznym. Fn+1 = Fn(1+r)

  26. Oprocentowanie składane (7) Jak w ciągu 10 lat stać się milionerem? F0 = 1 000 PLN F5 = 16 000 · 2 = 32 000 PLN F1 = 1 000 · 2 = 2 000 PLN F6 = 32 000 · 2 = 64 000 PLN F2 = 2 000 · 2 = 4 000 PLN F7 = 64 000 · 2 = 128 000 PLN F3 = 4 000 · 2 = 8 000 PLN F8 = 128 000 · 2 = 256 000 PLN F4 = 8 000 · 2 = 16 000 PLN F9 = 256 000 · 2 = 512 000 PLN F10 = 512 000 · 2 = 1 024 000 PLN 

  27. Oprocentowanie składane (7) Zad*. Po ilu latach wartość kapitału wzrośnie dwukrotnie, zakładając kapitalizację roczną, stopę r=20%?

  28. Oprocentowanie składane (8) Szukamy n takiego, aby: P(1+r)n = 2P czyli: (1+r)n = 2 (1+0,2)n = (1,2)n = 2

  29. Rozważmy ogólniejszy problem. Mamy liczby: a € R+\{1}, b € R+. Pytanie: Do jakiej potęgi c podnieść a, aby otrzymać b? ac = b, c=?

  30. ac = b, c=? Przykład. a = 2 b = 4 c = ?

  31. ac = b, c=? Przykład (2). a = 3 b = 81 c = ?

  32. ac = b, c=? Przykład (3). a = 1/16 b = 1/2 c = ?

  33. Logarytm Def. Logarytmem przy podstawie a z liczby b nazywamy taką liczbę c, że ac = b Piszemy wtedy c = logab Uwaga! Obowiązują wcześniejsze założenia!

  34. Logarytm (2) UWAGA. Istnienie oraz jedyność logarytmu nie jest oczywista. Dowód tych faktów można znaleźć np. tutaj: http://math.uni.lodz.pl/~kfairr/analiza/rozdzial3.pdf

  35. Wróćmy do zadania  Dla przypomnienia, szukamy n takiego, aby: (1+r)n = 2

  36. Wróćmy do zadania  (2) (1+r)n = 2, n=? Teraz znamy już odpowiedź: n = log(1+r)2

  37. Logarytm (3) Fajną podstawą logarytmu jest liczba e (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174...

  38. Logarytm (4) Dlaczego akurat e? Z pewnych względów (<naturalności> obliczeń) jest ona ważna w matematyce. Dla nas powodem jest to, że wartości logarytmu o podstawie e (log. naturalnego) można znaleźć w tablicach (lub obliczyć na kalkulatorze). Ozn. ln x := logex

  39. Logarytm (4) Twierdzenie. Każdy logarytm (o dowolnej podstawie) można wyrazić za pomocą logarytmów naturalnych i działań arytmetycznych.

  40. Logarytm (5) Lemat. Własność logarytmu. (*) c – dowolne, spełniające założenia

  41. Logarytm (6) Dowód twierdzenia: Korzystając z (*) , c := e, mamy: ■

  42. Wróćmy do zadania  (3) Jako, że nie można wypłacić pieniędzy z lokaty przed upływem pełnego roku (traci się wtedy odsetki) musimy wziąć n naturalne. Zatem n = 4.

  43. Oprocentowanie składane (9) Dotychczas zajmowaliśmy się sytuacją, gdy odsetki do lokaty dopisywano raz do roku na koniec okresu kapitalizacji. F = P(1+r)n W tym wariancie okres kapitalizacji ( 1 rok) zgadza się ze skalą stopy procentowej ( 1 rok).

  44. Oprocentowanie składane (10) Wariant II. Kapitalizacja częstsza niż roczna • Odsetki dopisujemy na koniec podokresu. • Stopa procentowa w każdym podokresie to r/m, gdzie m – liczba podokresów w roku. • Długość podokresu to 1/m.

  45. Oprocentowanie składane (11) Przez analogię: F = P(1+r/m)mn n – liczba lat (ewentualnie możemy dopuścić ułamki postaci k/m)

  46. Oprocentowanie składane (12) Zad. Porównajmy zysk z lokat rocznej, oraz kwartalnej, ale odnawianej przez rok o tej samej stopie procentowej (w skali rocznej) r = 12%.

  47. Lokata roczna. I = (1+0,12) – 1 = 0,12 = 12% Lokata kwartalna. I = (1+0,12/4)4 – 1 = (1+0,03)4 – 1 = 1,1255 – 1 = 12,55% Oprocentowanie składane (13)

  48. Oprocentowanie składane (14) Zad. Banki różnicują stopy procentowe dla lokat o różnych terminach. Która opcja lokaty będzie korzystniejsza, lokata roczna, czy lokata kwartalna odnawiana 4-krotnie?

  49. Oprocentowanie składane (14) Dla przykładu: P = 10 000 PLN rrok = 4,6% rkwartał = 3,9% Frok = 10 460 PLN F4xkwartał = 10 000 (1 + 0,039/4)4 = 10 395 PLN