Leonhard Euler in Verbindung mit Daniel Bernoulli und Christian Goldbach

1. Leonhard Eulerin Verbindung mitDaniel Bernoulli und Christian Goldbach präsentiert von Marion Pfeiffer hlw2a amstetten 2007

2. Leonhard Euler • wurde am 15. April 1707 in Basel geboren • ältester Sohn eines Pfarrers • besuchte das Gymnasium • nahm gleichzeitig Privatunterricht beim Mathematiker Johannes Burckhardt • ab 1720 studierte er an der Universität Basel • erlangte 1723 die Magisterwürde • 1727 berief ihn Daniel Bernoulli an die Universität Sankt Petersburg Euler

3. Daniel Bernoulli • wurde am 8. Februar 1700 in Groningen (NL) als Sohn von Johann Bernoulli geboren, 7 Jahre älter als Euler. • 1705 übersiedelte er mit Familie nach Basel • studierte ab 1716 Medizin in Basel, Heidelberg und Strassburg • erlangte 1721 den Dr. Med.

4. Bernoulli • Bernoulli wurde erst später als Mathematiker und Naturwissenschaftler bekannt. • Berühmt sind die Arbeiten über das Pharao-Spiel, den Wasserausfluss aus Behältern, die Riccatische Differentialgleichung sowie den Inhalt krummlinig begrenzter Figuren.

5. Bernoulli • 1725 wurde er an den Lehrstuhl für Mathematik in Petersburg berufen, • er gewann zehnmal den Preis der Pariser Akademie der Wissenschaften, • 1727 berief er Euler nach Petersburg.

6. Euler • Leonhard Euler erhielt 1730 in Petersburg die Professur für Physik • Er übernahm 1733 den Lehrstuhl von Bernoulli • am 27. Dezember 1733 heiratete er Katharina Gsell. Sie hatten 13 Kinder, von denen nur 5 das Kleinkindstadium überlebten.

7. Euler • 1740 erblindete Euler halbseitig • Friedrich der Große berief Euler an die Berliner Akademie • nach 25 Jahren in Berlin kehrt er 1766 zurück nach Sankt Petersburg • Euler diskutierte über Jahrzehnte seine Theorien mit Christian Goldbach aus.

8. Christian Goldbach • wurde am 18. März 1690 in Königsberg (Preußen) geboren • war Sohn eines Pfarrers • studierte Jura • nebenbei beschäftigte er sich mit Mathematik, insbesondere mit der Zahlentheorie

9. Christian Goldbach • verweilte von 1728-1732 in Moskau • unterrichtete zeitweilig den jungen Prinzen Peter (später Zar Peter II.) • ab 1742 Dienst im Auswärtigen Ministerium in Moskau • stellte am 7. Juni 1742 in einem Brief eine noch bis heute unbewiesene Vermutung auf:

10. Goldbach‘sche Vermutung Jede gerade Zahl größer oder gleich 4 ist als Summe zweier Primzahlen darstellbar.(Beispiel: 90 = 31+59) Brief an Leonhard Euler am 7. Juni 1742 Goldbach starb im November 1764 in Moskau

11. Euler • 1771 erblindete Euler vollständig • die Hälfte seines Lebenswerkes entstand in der zweiten Petersburger Zeit • 1773 starb seine Frau • er heiratete ihre Halbschwester Salome Abigail Gsell • am 18. September 1783 starb er an einer Hirnblutung

12. Die berühmte Euler‘sche Zahl: hat unendlich viele Stellen, wie die Zahl π

13. e wird verwendet: • für viele Wachstums – und Zerfallsprozesse in der Natur • insbesondere für „exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum“ • als „Basis des natürlichen Logarithmus“ • Zahl „e“ ist weitaus universeller als „pi“

14. Exponentielles Wachstum, Beispiele: Eine Bakterienkultur könnte sich auf der Oberfläche eines Subtrats nach begrenztem Wachstum ausbreiten A(t) = G + C e kt Der radioaktive Zerfall nimmt seinen Verlauf nach dem Gesetz von exponentiellem Wachstum: N(t) =C e kt

15. Die berühmte Euler‘sche Identität: Sie verbindet e mit π, 1, 0 und mit i 1 + e iπ = 0 - die Null, das neutrale Element der Addition; - die Eins, das neutrale Element der Multiplikation; - die Eulersche Zahl e; - die imaginäre Einheit i; - die Kreiszahl π . • Diese Formel ist besonders bemerkenswert, weil sie gewissermaßen die Einheit der Mathematik ausdrückt. Sie gilt als eine der ganz wichtigen Formeln überhaupt.

16. Genauer betrachtet: Die Potenz der Eulerzahl kann man in eine unendliche Reihe entwickeln:ez = 1 + z + z²/2! + z³/3! +….. 3! heißt 1.2.3=6 z.B e1= 1 + 1 + 1/2 + 1 / 6 + 1/24 + 1/120 + 1/720 = 2,718Der Grenzwert für unendliche viele Glieder ist dann genau e mit allen Stellen… Wichtig ist, dass z auch eine komplexe Zahl sein kann zB 1 + i, oder auch einfach nur i, die Reihenentwicklung gilt auch für sie. Auch andere Funktionen kann man in Reihen entwickeln: sin z = z - z³/3! + z5/5! - z7/7! usw (TR auf RAD, nachrechnen) cos z = 1 - z² / 2! + z4/4! usw Verwenden wir für z die komplexe Zahl ix, x reell, dann gilt:eix = cos x + i sin x, denn i² = - 1, i4 = +1, i³ = -i, i5= i und daher: eix = 1 + ix – x²/2! –i x³/3! + x4/4! +ix5/5! usw

17. noch etwas genauer : Aus eix = cos x + i sin x folgt für x = π ei π = cos π + i sin π = -1 + 0 und daher gilt eben die Euler‘sche Identität: 1 + ei π = 0