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Inteligencia Artificial Búsqueda entre adversarios. Primavera 2009 profesor: Luigi Ceccaroni. Juegos. En los entornos multiagente ( cooperativos o competitivos ), cualquier agente tiene que considerar las acciones de otros agentes.
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Inteligencia Artificial Búsqueda entre adversarios Primavera 2009 profesor: Luigi Ceccaroni
Juegos • En los entornos multiagente (cooperativos o competitivos), cualquier agente tiene que considerar las acciones de otros agentes. • La imprevisibilidad de estos otros agentes puede introducir muchas contingencias en el proceso de resolución de problemas. • Los entornos competitivos, en los cuales los objetivos de los agentes están en conflicto, dan ocasión a problemas de búsqueda entre adversarios, a menudo conocidos como juegos.
Juegos • La teoría matemática de juegos, una rama de la economía, ve a cualquier entorno multiagente como un juego. • Los “juegos” que se tratan en IA son una clase más especializada: • de suma cero • de dos jugadores (jugador MAX, jugador MIN) • por turnos • de información perfecta (ajedrez, damas, tres en raya...) vs. información imperfecta (poker, stratego, bridge...) 3
Juegos • Los juegos son interesantes porque son demasiado difíciles de resolver. • El ajedrez, por ejemplo, tiene un factor de ramificación promedio de 35 y los juegos van a menudo a 50 movimientos por cada jugador: • grafo de búsqueda: aproximadamente 1040 nodos distintos • árbol de búsqueda: 35100 o 10154 nodos • Los juegos, como el mundo real, requieren la capacidad de tomar alguna decisión (la jugada) cuando es infactible calcular la decisión óptima. 4
Decisiones óptimas en juegos • Un juego puede definirse formalmente como una clase de problemas de búsqueda con los componentes siguientes: • El estado inicial • Una función sucesor, que devuelve una lista de pares (movimiento, estado) • Un test terminal, que determina cuándo termina el juego (por estructura o propiedades o función utilidad) • Una función utilidad 5
Búsqueda entre adversarios • Aproximación trivial: generar todo el árbol de jugadas. • Se etiquetan las jugadas terminales, dependiendo de si gana MAX o MIN, con un valor de utilidad de, por ejemplo, “+1” o “-1”. • El objetivo es encontrar un conjunto de movimientos accesible que dé como ganador a MAX. • Se propagan los valores de las jugadas terminales de las hojas hasta la raíz. • Incluso un juego simple como tic-tac-toe es demasiado complejo para dibujar el árbol de juegos entero.
Búsqueda entre adversarios • Aproximación heurística: definir una función que nos indique lo cerca que estamos de una jugada ganadora (o perdedora). • En esta función interviene información del dominio. • Esta función no representa ningún coste, ni es una distancia en pasos. • El algoritmo busca con profundidad limitada. • Cada nueva decisión por parte del adversario implicará repetir parte de la búsqueda.
Ejemplo: tic-tac-toe • e (función utilidad) = número de filas, columnas y diagonales completas disponibles para MAX - número de filas, columnas y diagonales completas disponibles para MIN • MAX juega con X y desea maximizar e • MIN juega con 0 y desea minimizar e • Valores absolutos altos de e: buena posición para el que tiene que mover • Controlar las simetrías • Utilizar una profundidad de parada (en el ejemplo: 2)
Ejemplo: tic-tac-toe • Por convención: • las jugadas ganadoras se evalúan a “+∞” • las jugadas perdedoras se evalúan a “-∞”
Minimax • Valor-Minimax(n): utilidad para MAX de estar en el estado n asumiendo que ambos jugadores jueguen óptimamente.
Minimax • Valor-Minimax(n): • Utilidad(n), si n es un estado terminal • maxs∈Sucesores(n) Valor-Minimax(s), si n es un estado MAX • mins∈Sucesores(n) Valor-Minimax(s), si n es un estado MIN
Algoritmo minimax • Calcula la decisión minimax del estado actual. • Usa un cálculo simple recurrente de los valores minimax de cada estado sucesor. • La recursión avanza hacia las hojas del árbol. • Los valores minimax retroceden por el árbol cuando la recursión se va deshaciendo.
Algoritmo minimax A • El algoritmo primero va hacia abajo a los tres nodos izquierdos y utiliza la función Utilidad para descubrir que sus valores son 3, 12 y 8. B
Algoritmo minimax A • Entonces el algoritmo toma el mínimo de estos valores, 3, y lo devuelve como el valor del nodo B. • … C D B
Algoritmo minimax • Realiza una exploración primero en profundidad completa del árbol de juegos. • Si la profundidad máxima del árbol es m, y hay b movimientos legales en cada punto, entonces la complejidad : • en tiempo es O(bm); • en espacio es • O(bm) si se generan todos los sucesores a la vez; • O(m) si se generan los sucesores uno por uno. • Juegos reales: los costos de tiempo son inaceptables, pero este algoritmo sirve como base para el primer análisis matemático y para algoritmos más prácticos.
Algoritmo minimax: versión alternativa función Decisión-Minimax(estado) devuelve una acción variables de entrada: estado, estado actual del juego v ← Max-Valor(estado) devolver la acción de Sucesores(estado) con valor v función Max-Valor(estado) devuelve un valor utilidad si Test-Terminal(estado) entonces devolver Utilidad (estado) v ← -∞ para un s en Sucesores(estado) hacer v ← Max(v, Min-Valor(s)) devolverv función Min-Valor(estado) devuelve un valor utilidad si Test-Terminal(estado) entonces devolver Utilidad (estado) v ← ∞ para un s en Sucesores(estado) hacer v ← Min(v, Max-Valor(s)) devolverv
Poda alfa-beta • Problema de la búsqueda minimax: el número de estados que tiene que examinar es exponencial con el número de movimientos. • El exponente no se puede eliminar, pero se puede dividir en la mitad. • Es posible calcular la decisión minimax correcta sin mirar todos los nodos en el árbol. • La poda alfa-beta permite eliminar partes grandes del árbol, sin influir en la decisión final.
g d b a e a c f b c Minimax con poda α-β e = min(-1, ?) = -1 0.03 e= max (-0.1, -0.05) = -0.05 -1 (gana MIN) ? No tiene sentido seguir buscando los otros descendientes de c. ? -0.1 -0.05 En c: e= min(-0.05, v(g)) por lo tanto en a: e = max(0.03, min(-0.05, v(g))) = 0.03 Se pueden pues podar los nodos bajo g; no aportan nada. El valor de la raíz y la decisión minimax son independientes de los valores de las hojas podadas.
d g a f i b h c e Minimax con poda α-β max min max min max e(e) = min(-0.1,v(g)) Como la rama b ya da un 0.03, Cualquier cosa peor no sirve => No hay que explorar g e(d) = max(e(e), h) => Sí hay que explorar h ... 0.03 La búsqueda minimax es primero en profundidad: en cualquier momento sólo se consideran los nodos a lo largo de un camino del árbol. -0.1
Poda alfa-beta • Los dos parámetros alfa y beta describen los límites sobre los valores que aparecen a lo largo del camino: • α = el valor de la mejor opción (el más alto) que se ha encontrado hasta el momento en cualquier punto del camino, para MAX • β = el valor de la mejor opción (el más bajo) que se ha encontrado hasta el momento en cualquier punto del camino, para MIN • La búsqueda alfa-beta actualiza el valor de α y β según se va recorriendo el árbol y termina la recursión cuando encuentra un nodo peor que el actual valor α o β correspondiente.
Vi Vi MIN MAX Poda alfa-beta {α, β} Si Vi ≥β poda β Si Vi > α modificar α Retornar α {α,β} Si Vi ≤α poda α Si Vi < β modificar β Retornar β Las cotas α y β se transmiten de padres a hijos de 1 en 1 y en el orden de visita de los nodos.
Algoritmo Minimax con poda α-β El recorrido se inicia llamando a la función valorMax con α=-∞ y β=+∞. En la función valorMax α es el valor que se actualiza. En la función valorMin β es el valor que se actualiza.
