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Carmen P. Cintra do Prado Universidade de São Paulo, Instituto de Física Depto de Física Geral

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Carmen P. Cintra do Prado Universidade de São Paulo, Instituto de Física Depto de Física Geral prado @ if.usp.br. Essa cozinha está um caos. No dia-a-dia, a palavra CAOS está associada com desordem. Em Física, tem um significado bem preciso.

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Carmen P. Cintra do Prado

Universidade de São Paulo, Instituto de Física

Depto de Física Geral

prado @ if.usp.br

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Essa cozinha está

um caos...

No dia-a-dia, a palavra CAOS está associada com desordem...

Em Física, tem um significado bem preciso.

Sistemas dinâmicos caóticos são sistemas que tem uma regra de evolução temporal bem definida e, ainda assim, se tornam imprevisíveis com o tempo.

Como é possível?

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Propriedades matemáticas das equações que governam a evolução temporal do sistema tem

“dependência sensível às condições iniciais”.

Mesmo equações muito simples podem ter “caos”

Mapa Logísticodinâmica de populações

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Por exemplo: suponha  = 3.9 e x0 = 0.75

x0 = 0.750x1 = 0.73 x2 = 0.77

x3 = 0.70 x4 = 0.82 x5 = 0.57

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et

B

A

B

A

C

C

A

B

Mecanismo de “dobra” que mistura as trajetórias

Divergência exponencial das trajetórias

Estiramento + dobra (dissipativos) = caos

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Mapa do gato de Arnold’s

http://math.gmu.edu/~sander/movies/arnold.html

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Como descrever?

Retrato no espaço de fase

Oscilador harmônico (periódicas)

V

V(t)

V0

X

X0

X(t)

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Mesmo no mapa logístico, muitas situações diferentes podem ocorrer:

Ponto fixo: depois de um transiente, todas as trajetórias convergem para ele.

 = 2.5

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Órbita periódica: depois de um transiente, todas as trajetórias convergem para uma seqüência de n pontos x1, x2, ..., xn (período n).

Órbita de período 2

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Xn+1

xn

Para representar o atrator podemos fazer um MAPA DE PRIMEIRO RETORNO

( xn, xn+1)

( xn+1, xn+2)

( xn+2, xn+3)

Se xn+1 = xn (ponto fixo), o resultado é um único ponto na diagonal...

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No caso de uma órbita de período 2, depois de certo número de iterações (depois do transiente...)

... x1, x2, x1, x2, x1, x2, ...

Portanto teremos 2 pontos em nosso mapa de primeiro retorno:

Já sem o transiente...

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Qual é o atrator de um sistema caótico?

Como xn+1 = F ( xn),

o mapa de primeiro retorno nos dá uma idéia da função F(x).

Mas nem todos os pontos aparecem!

O atrator de um sistema caótico é um conjunto fractal (atrator estranho)

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= 0 = 2

= 1

= 3

????? = fracionária

O que é um conjunto fractal ?

  • Fractais são figuras geométricas, como retângulos ou triângulos
  • Dimensão não-inteira (fracionária)
  • Auto-similaridade

Se  é uma unidade de medida,

ponto   0

linha   1

superfície   2 e

volume   3

um fractal   d , onde d é a dimensão fractal...

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Conjunto de Cantor

Exemplo: Conjunto de Cantor

Como construir um objeto geométrico com dimensão fracionária ...

No limite, temos um objeto de dimensão fractal: “mais que um ponto” e “menos” que uma linha..

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Como calcular ....

N() = número de unidades de medida

 = tamanho linear da unidade de medida

1 unidade

N() = 1

L

4 unidades

N() = 4

L/2

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Para o conjunto de Cantor:

Para n = 0,  = 1 e N() =1

Para n = 1,  = 1/ 3 e N() =2

Para n = 2,  = 1/ 9 e N() =4

Para n ,  = 1/ 3 n e N() = 2 n

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Curva de Kock

Perímetro infinito, mas área finita!

Mesmo tipo de conta do conjunto de Cantor..

D0 = log 4 / log 3 ~1,26

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Estudando as propriedades estatísticas dos atratores fractais,
  • e/ou as propriedades matemáticas de estiramento e dobra das equações desses sistemas dinâmicos...
  • Podemos apreender muitas coisas sobre os sistemas caóticos
  • controle do caos
  • reconstrução de dinâmica
  • eliminação de ruídos
  • etc...

Caos, uma introdução

Nelson Fiedler-Ferrara & Carmen P. C do Prado, Ed Edgard Blucher, 1994 / 95

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