Variables aleatòries

Variables aleatòries Curs 2013-14 URV

Qualsevol variable aleatòria X que representi el nombre d'èxits en n proves idèntiques i independents, amb probabilitat d'èxit p constant d'una prova a l'altre, se'n diu una variable aleatòria binomial amb paràmetres n i p. Variable aleatòria binomial X~B(n,p) Curs 2013-14 URV

Variable aleatoria binomial • Funció de probabilitat • Esperança o mitjana • Variància Curs 2013-14 URV

Exercici 3 Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4) X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9) • Funció de probabilitat TAULES Curs 2013-14 URV 4

Curs 2013-14 URV Curs 2012-13 URV 5 Bioestadística FMCS Reus

Exercici 3 Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4) X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9) • Funció de probabilitat NO EXISTEIX TAULA: X~B(4,0’9) Curs 2013-14 URV

Exercici 3 Efectiu 90% de les vegades (p=0.90) S’experimenta en 4 individus (n=4) X: Nombre de pacients amb millora X~B(4,0’9) Y: Nombre de pacients que no milloren Y~B(4,0’1) X=4-Y Curs 2013-14 URV

Curs 2013-14 URV Curs 2012-13 URV 8 Bioestadística FMCS Reus

Exercici 3 Curs 2013-14 URV 9

Exercici 3 • Esperança o mitjana • Variància X: B(4,0,9) E(X) = np = 4*0,9 = 3,6 V(X) = np(1-p) = 4*0,9*0,1 = 0,36 DE(X) = √V(X) = √ 0.36 = 0,6 CV(X) = DE(X)/E(X) = 0,6/3,6 = 0.1667 Curs 2013-14 URV

Exercici 4 Meningitis: Mortalitat 30% Supervivència 70% 9 nens amb meningitis (n=9) X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitis X~B(9,0’7) NO EXISTEIX TAULA: X~B(9,0’7) Y: Nombre de nens que moren de meningitis Y~B(9,0’3) X=9-Y Curs 2013-14 URV

Exercici 4 X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitis Y: Nombre de nens que moren de meningitis Y~B(9,0’3) Curs 2013-14 URV 12

Exercici 4 Y~B(9,0’3) Curs 2013-14 URV 13

Exercici 4 X: Nombre de nens que sobreviuen de meningitis Y: Nombre de nens que moren de meningitis Y~B(9,0’3) a) P(X≥5) = P(Y≤4) = P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3)+P(Y=4) = 0,0404 + 0,1556 + 0,2668 + 0,2668 + 0,1715 = 0,9011 b) P(X=9) = P(Y=0) = 0,0404 c) P(6≤X≤8) = P(1≤Y≤3)= P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3) = 0,1556 + 0,2668 + 0,2668 = 0,6892 Curs 2013-14 URV 14

El nombre de successos que ocurreixen en un interval de temps, de longitud, de espai segueix una distribució de Poisson si La probabilitat de un succés es la mateixa en tot l’interval La probabilitat de un succés no depèn dels successos ocorreguts amb anterioritat Variable aleatòria de Poisson Curs 2013-14 URV

Variable aleatòria de Poisson X~P(λ) • La variable X de Poisson queda caracteritzada amb un únic paràmetre λ (Nombre mig de successos en un interval) • E(X)=λ • V(X)=λ • La seva funció de probabilitat és: Curs 2013-14 URV

Exercici 6 X: Nombre de casos en una hora X~Poisson(λ=2) 24 hores 48 1 hora 2 Curs 2013-14 URV Curs 2012-13 URV 17 Bioestadística FMCS Reus

Exercici 6 X~Poisson(λ=2) Curs 2013-14 URV Curs 2012-13 URV 18 Bioestadística FMCS Reus

Exercici 6 X: Nombre de casos en una hora X~Poisson(2) b) P(X=0) = 0,1353 c) P(X=3) = 0,1804 d) P(X≥5) = 1 - P(X<5)= 1 - (P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)) = 1 - (0,1353+0,2707+0,2707+0,1804+0,0902) = 1 - 0,9473 = 0,0527 Curs 2013-14 URV 19

Exemple en que la variable aleatòria generada es pot considerar com variable de Poisson • En les mateixes condicions que la variable binomial si • la característica és poc freqüent (p<0.05) • mostres grans (n≥30) La variable X segueix el model de distribució de Poisson • Una població amb una prevalença de diabetis d'un 2%. La probabilitat de trobar 0, 1, 2, 3, 4,... diabètics en una mostra de 100 individus : B(100, 0’02) Binomial (100,0’02) Poisson (2) Curs 2013-14 URV

Variables aleatòries