Euklidove z klady
Download
1 / 21

- PowerPoint PPT Presentation


  • 99 Views
  • Uploaded on

Euklidove Základy. Monika Vrabcová Ma-Ge 2. ročník Mgr. Euklides z Alexandrie (365 – 280 pred n.l.). Euklides študoval v platónskej akadémii v Aténach a neskôr pôsobil v Alexandrii (starogrécky matematik)

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about '' - ariane


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Euklidove z klady

Euklidove Základy

Monika Vrabcová

Ma-Ge

2. ročník Mgr.


Euklides z alexandrie 365 280 pred n l
Euklides z Alexandrie(365 – 280 pred n.l.)

  • Euklides študoval v platónskej akadémii v Aténach a neskôr pôsobil v Alexandrii (starogrécky matematik)

  • Je autor diela Základy (Stoicheia, lat. Elementa), v ktorom spresnil deduktívne chápanie matematiky založené na definíciach, všeobecných pojmov, t.j. na súhrne princípov, ktoré dnes označujeme ako axiómy, a na vzájomne od seba nezávislých postulátoch.

  • Celé dielo Základy pojednáva o rovinnej geometrii, teórii čísiel a priestorovej geometrii (vrátane Platónových piatich pravidelných telies)


Preh ad z kladov
Prehľad Základov

Dielo Základy (Stoicheia) má 13 kníh, ak nepočítame 2, prepísané neskôr iným autorom. V knihách je 14 axióm, 113 vymedzení, 465 tvrdení, z nich 92 konštrukcií; 27 dôsledkov a 19 liem.

  • Nasledujúci prehľad uvádza číslo a nadpis knihy(vymyslený autormi použitej literatúry)


Euklidove z klady

  • Základné vety planimetrie

  • Obsahy trojuholníkov a štvoruholníkov. Zostrojiť zlatý rez; veta kosínusová; zostrojiť štvorec, ktorého obsah je rovnaký ako obsah daného obdĺžnika.

  • Kruh a kružnica. Veta o stredovom a obvodom uhle; Tálesova veta; veta o mocnosti bodu ku kružnici.

  • Konštrukcie pravidelných n-uholníkov. Do danej kružnice vpísať pravidelný 5-,6-,15-uholník

  • Veličiny a:xb:xa b; a:b=e:f, b:c=d:ea:c=d:f

  • Podobnosť a obsahy. Trojuholníky s úmernými stranami sú podobné; podobnosť trojuholníkov je relácia tranzitívna; zostrojiť útvar s daným útvarom a majúci daný obsah


Euklidove z klady

7. Prirodzené čísla, deliteľnosť. K daným a, b, c N nájdite D(a, b, c); ak a/b = c/d a D(c,d) =1, tak a/c N

8. Spojité úmery. Ak sú a1, a2, …, an spojité úmerne a a1|an, tak a1|a2 ; a2|b2  a|b;ak sú a, b, c spojité úmerne a aN, tak aj c N

9. Teória parity a prvočísla. Prvočísel je ako ľubovoľné dané číslo; veta o súčte geometrického radu; ak p=1+2+4+…+2n je prvočíslo, tak p.2n je číslo dokonalé. (prirodzené číslo sa volá dokonalé,ak je súčtom všetkých svojich deliteľov menších od neho;napr. 6=3+2+1)

10. Teória kvadratických iracionalít. a/b Q. c/b Q  a/ Q: a, b N, a; b Q  (b + b )2 Q

11. Základné vety stereometrie. Dve rôznobežné roviny sa pretínajú v priamke; z bodu viesť kolmicu k rovine; protiľahlé steny rovnobežnostena sú zhodné


Euklidove z klady

12. Objemy. Pomer obsahov podobných mnohouholníkov vpísaných do 2 rôznych kružníc sa rovná pomeru obsahov štvorcov nad priemermi týchto kružníc; objem kužeľa je tretina objemu valca s tou istou základňou a výškou.

13. Platónske telesá. Do danej guľovej plochy s priemerom d vpísať tetraéder a dokázať, že dĺžka jeho hrany je d. (2/3) ; analogické tvrdenie o oktaédri, kocke, ikosaédri a dodekaédri.


Z kladn pojmy
Základné pojmy vpísaných do 2 rôznych kružníc sa rovná pomeru obsahov štvorcov nad priemermi týchto kružníc; objem kužeľa je tretina objemu valca s tou istou základňou a výškou.

Napr.

  • Bod je, čo nemá časti.

  • Čiara je dĺžka bez šírky.

  • Koncami čiary sú body.

  • Priama čiara je tá, ktorá je rovnaká ku svojím bodom.

    Čiara sa nevymedzuje ako „dráha pohybujúceho sa bodu“, lebo pohyb do sveta nemenných ideií nepatrí. Preto sa ani v celých Základoch nevymedzuje iná čiara ako priamka, kružnica a ich časti.


Axi my z sady
Axiómy vpísaných do 2 rôznych kružníc sa rovná pomeru obsahov štvorcov nad priemermi týchto kružníc; objem kužeľa je tretina objemu valca s tou istou základňou a výškou.(zásady)

  • Čo sa navzájom kryje, navzájom rovné je.

  • Všetky pravé uhly sú sebe rovné.

  • Celok je väčší než jeho časť.

  • Veličiny tomu rovné i navzájom rovné sú.

  • Keď sa pridávajú veličiny rovné k rovným, i celky sú rovné.

  • Odoberieme od rovných rovné, zostávajúce časti sú rovné.

  • Keď sa pridajú k nerovným rovné, celky sú nerovné.

  • Dvojnásobok toho istého rovný je.

  • Polovičky toho istého rovné sú.

    (Dve samotné úsečky žiadne miesto neohraničujú)


Postul ty lohy prvotn
Postuláty vpísaných do 2 rôznych kružníc sa rovná pomeru obsahov štvorcov nad priemermi týchto kružníc; objem kužeľa je tretina objemu valca s tou istou základňou a výškou.(úlohy prvotné)

  • Vytvoriť úsečku, ktorá spája dva dané body.

  • Danú úsečku na jednej i druhej strane predĺžiť tak ďaleko, ako potrebujeme

  • (a pochopiteľne v súlade s prvým princípom zachytávajúcim Euklidove poňatie geometrie len tak ďaleko, kam dovidíme)

  • Vytvoriť kruh o danom strede, na jeho obvode leží daný bod (rozumie sa rôzny od daného stredu).


Iii dan s dve se ky nerovn odober od v ej se ky rovn se ke men ej kniha prv
III. Dané sú dve úsečky nerovné, odober od väčšej úsečky rovnú úsečke menšej. (Kniha prvá)


Euklidove z klady
VI. Keď sú si v trojuholníku dva uhly rovné, tiež strany proti tým istým ležiacim uhlom budú si rovné. (Kniha prvá)


Zostrojenie rovnostrann ho mnohouholn ka
Zostrojenie rovnostranného mnohouholníka strany proti tým istým ležiacim uhlom budú si rovné

  • 5-uholník rovnostranný a rovnouhlý

  • 15-uholník rovnostranný a rovnouhlý


Euklidova veta
Euklidova veta strany proti tým istým ležiacim uhlom budú si rovné


D kaz euklidovej vety
Dôkaz Euklidovej vety strany proti tým istým ležiacim uhlom budú si rovné


Pr loha pappova loha
Príloha - Pappova úloha strany proti tým istým ležiacim uhlom budú si rovné

  • „Sú dané tri rôzne prvky (kružnice, priamky, body), z nich aspoň jedna je kruhová krivka a aspoň jeden je bod, pričom ten bod leží na danej kruhovej krivke. Zostrojte kružnicu, ktorá sa dotýka zadanej kruhovej krivky v danom bode a ďalej sa dotýka ďalšej kruhovej krivky alebo prechádza ďalším zadaným bodom.“

  • uvedomením si, že jedným zo zadaných prvkov je vždy bod a druhým priamka alebo kružnica, môžeme ľahko určiť počet možných variant úloh – 6 podúloh.


Loha typu bp t
Úloha typu Bp strany proti tým istým ležiacim uhlom budú si rovnéT

  • Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka danej priamky p v danom bode T a prechádza ďalším daným bodom B.


Euklidove z klady

Ak bod B leží na priamke p, úloha nemá riešenie. V ostatných prípadoch má úloha práve jedno riešenie.


Loha typu kk t
Úloha typu kk ostatných prípadoch má úloha práve jedno riešenie.T

  • Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka dvoch daných kružníc k1(S1,r1), k2(S2,r2) a prechádza bodom T, ktorý leží na jednej z kružníc.


Euklidove z klady

Ku kružnici k ostatných prípadoch má úloha práve jedno riešenie.2 možno viesť 2 dotyčnice, vzniknú 2 body dotyku,zostrojíme dve priamky TP, každá priamka TP pretne kružnicu k2 v jednom bode, vznikú 2 stredy rovnnoľahlosti. Úloha má 2 riešenia.


Pou it literat ra
Použitá literatúra: ostatných prípadoch má úloha práve jedno riešenie.

  • Eukleides, Základy (Knihy I – IV), komentované Petrom Vopěnkou, NYMBURK, 2008

  • Štefan Znám, Lev Bukovský, Milan Hejný, Jozef Hvorecký, Beloslav Riečan: Pohľad do dejín Matematiky, Alfa, Bratislava, 1986

  • http://sk.wikipedia.org/wiki/Euklides

  • http://sk.wikipedia.org/wiki/Euklidova_veta

  • http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp.html

  • http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp_bpt.html

  • http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp_kkt.html

  • www.gamca.sk/~madm/download/m/Dokazy.doc


Euklidove z klady