Euklidove Základy

1. Euklidove Základy Monika Vrabcová Ma-Ge 2. ročník Mgr.

2. Euklides z Alexandrie(365 – 280 pred n.l.) • Euklides študoval v platónskej akadémii v Aténach a neskôr pôsobil v Alexandrii (starogrécky matematik) • Je autor diela Základy (Stoicheia, lat. Elementa), v ktorom spresnil deduktívne chápanie matematiky založené na definíciach, všeobecných pojmov, t.j. na súhrne princípov, ktoré dnes označujeme ako axiómy, a na vzájomne od seba nezávislých postulátoch. • Celé dielo Základy pojednáva o rovinnej geometrii, teórii čísiel a priestorovej geometrii (vrátane Platónových piatich pravidelných telies)

3. Prehľad Základov Dielo Základy (Stoicheia) má 13 kníh, ak nepočítame 2, prepísané neskôr iným autorom. V knihách je 14 axióm, 113 vymedzení, 465 tvrdení, z nich 92 konštrukcií; 27 dôsledkov a 19 liem. • Nasledujúci prehľad uvádza číslo a nadpis knihy(vymyslený autormi použitej literatúry)

4. Základné vety planimetrie • Obsahy trojuholníkov a štvoruholníkov. Zostrojiť zlatý rez; veta kosínusová; zostrojiť štvorec, ktorého obsah je rovnaký ako obsah daného obdĺžnika. • Kruh a kružnica. Veta o stredovom a obvodom uhle; Tálesova veta; veta o mocnosti bodu ku kružnici. • Konštrukcie pravidelných n-uholníkov. Do danej kružnice vpísať pravidelný 5-,6-,15-uholník • Veličiny a:xb:xa b; a:b=e:f, b:c=d:ea:c=d:f • Podobnosť a obsahy. Trojuholníky s úmernými stranami sú podobné; podobnosť trojuholníkov je relácia tranzitívna; zostrojiť útvar s daným útvarom a majúci daný obsah

5. 7. Prirodzené čísla, deliteľnosť. K daným a, b, c N nájdite D(a, b, c); ak a/b = c/d a D(c,d) =1, tak a/c N 8. Spojité úmery. Ak sú a1, a2, …, an spojité úmerne a a1|an, tak a1|a2 ; a2|b2  a|b;ak sú a, b, c spojité úmerne a aN, tak aj c N 9. Teória parity a prvočísla. Prvočísel je ako ľubovoľné dané číslo; veta o súčte geometrického radu; ak p=1+2+4+…+2n je prvočíslo, tak p.2n je číslo dokonalé. (prirodzené číslo sa volá dokonalé,ak je súčtom všetkých svojich deliteľov menších od neho;napr. 6=3+2+1) 10. Teória kvadratických iracionalít. a/b Q. c/b Q  a/ Q: a, b N, a; b Q  (b + b )2 Q 11. Základné vety stereometrie. Dve rôznobežné roviny sa pretínajú v priamke; z bodu viesť kolmicu k rovine; protiľahlé steny rovnobežnostena sú zhodné

6. 12. Objemy. Pomer obsahov podobných mnohouholníkov vpísaných do 2 rôznych kružníc sa rovná pomeru obsahov štvorcov nad priemermi týchto kružníc; objem kužeľa je tretina objemu valca s tou istou základňou a výškou. 13. Platónske telesá. Do danej guľovej plochy s priemerom d vpísať tetraéder a dokázať, že dĺžka jeho hrany je d. (2/3) ; analogické tvrdenie o oktaédri, kocke, ikosaédri a dodekaédri.

7. Základné pojmy Napr. • Bod je, čo nemá časti. • Čiara je dĺžka bez šírky. • Koncami čiary sú body. • Priama čiara je tá, ktorá je rovnaká ku svojím bodom. Čiara sa nevymedzuje ako „dráha pohybujúceho sa bodu“, lebo pohyb do sveta nemenných ideií nepatrí. Preto sa ani v celých Základoch nevymedzuje iná čiara ako priamka, kružnica a ich časti.

8. Axiómy(zásady) • Čo sa navzájom kryje, navzájom rovné je. • Všetky pravé uhly sú sebe rovné. • Celok je väčší než jeho časť. • Veličiny tomu rovné i navzájom rovné sú. • Keď sa pridávajú veličiny rovné k rovným, i celky sú rovné. • Odoberieme od rovných rovné, zostávajúce časti sú rovné. • Keď sa pridajú k nerovným rovné, celky sú nerovné. • Dvojnásobok toho istého rovný je. • Polovičky toho istého rovné sú. (Dve samotné úsečky žiadne miesto neohraničujú)

9. Postuláty(úlohy prvotné) • Vytvoriť úsečku, ktorá spája dva dané body. • Danú úsečku na jednej i druhej strane predĺžiť tak ďaleko, ako potrebujeme • (a pochopiteľne v súlade s prvým princípom zachytávajúcim Euklidove poňatie geometrie len tak ďaleko, kam dovidíme) • Vytvoriť kruh o danom strede, na jeho obvode leží daný bod (rozumie sa rôzny od daného stredu).

10. III. Dané sú dve úsečky nerovné, odober od väčšej úsečky rovnú úsečke menšej. (Kniha prvá)

11. VI. Keď sú si v trojuholníku dva uhly rovné, tiež strany proti tým istým ležiacim uhlom budú si rovné. (Kniha prvá)

12. Zostrojenie rovnostranného mnohouholníka • 5-uholník rovnostranný a rovnouhlý • 15-uholník rovnostranný a rovnouhlý

13. Euklidova veta

14. Dôkaz Euklidovej vety

15. Príloha - Pappova úloha • „Sú dané tri rôzne prvky (kružnice, priamky, body), z nich aspoň jedna je kruhová krivka a aspoň jeden je bod, pričom ten bod leží na danej kruhovej krivke. Zostrojte kružnicu, ktorá sa dotýka zadanej kruhovej krivky v danom bode a ďalej sa dotýka ďalšej kruhovej krivky alebo prechádza ďalším zadaným bodom.“ • uvedomením si, že jedným zo zadaných prvkov je vždy bod a druhým priamka alebo kružnica, môžeme ľahko určiť počet možných variant úloh – 6 podúloh.

16. Úloha typu BpT • Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka danej priamky p v danom bode T a prechádza ďalším daným bodom B.

17. Ak bod B leží na priamke p, úloha nemá riešenie. V ostatných prípadoch má úloha práve jedno riešenie.

18. Úloha typu kkT • Zostrojte kružnicu l, ktorá sa dotýka dvoch daných kružníc k1(S1,r1), k2(S2,r2) a prechádza bodom T, ktorý leží na jednej z kružníc.

19. Ku kružnici k2 možno viesť 2 dotyčnice, vzniknú 2 body dotyku,zostrojíme dve priamky TP, každá priamka TP pretne kružnicu k2 v jednom bode, vznikú 2 stredy rovnnoľahlosti. Úloha má 2 riešenia.

20. Použitá literatúra: • Eukleides, Základy (Knihy I – IV), komentované Petrom Vopěnkou, NYMBURK, 2008 • Štefan Znám, Lev Bukovský, Milan Hejný, Jozef Hvorecký, Beloslav Riečan: Pohľad do dejín Matematiky, Alfa, Bratislava, 1986 • http://sk.wikipedia.org/wiki/Euklides • http://sk.wikipedia.org/wiki/Euklidova_veta • http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp.html • http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp_bpt.html • http://geometrie.kma.zcu.cz/work/AU/papp/papp_kkt.html • www.gamca.sk/~madm/download/m/Dokazy.doc

21. Ďakujem za pozornosť.