Rappels de mécanique Plan des séances n°1 et 2

1. Rappels de mécanique Plan des séances n°1 et 2 1 - Notions d ’action mécanique et de force 2 - Notion de moment 3 - Principe fondamental de la statique 4 - Principe d ’action réciproque 5 - Les différents types de liaisons et d ’appuis

2. 1 - NOTIONS D’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (1/3) On désigne par action mécanique toute action capable de : - déformer un corps (fléchissement d’une poutre), - mettre en mouvement un objet, - modifier le mouvement d ’un objet (accélération, freinage, arrêt).

3. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (2/3) Toc! - les AM ponctuelles ou concentrées, 15 marbre Bang ! - les AM répartiessur une ligne, - les AM réparties sur une surface. Il existe deux types d ’actions mécaniques (AM) : Les AM decontact qui peuvent être déclinées en 3 catégories

4. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (3/3) - les AM magnétiques, - les AM électriques, Boum ! - les AM de GRAVITATION. Les AM à distance qui peuvent être déclinées en 3 catégories

5. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.1 - Définition d ’une force - son point d ’application (A) () - sa direction ou support (), A F x - son sens F mesure algébrique - son intensité (norme) C ’est une AM particulière que l ’on pourra représenter par un vecteur. Ce vecteur sera caractérisé par :

6. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.2 - Unité (1/3) Force exercée sur le crochet de la grue par la benne à béton ? Données complémentaires : - Masse volumique du béton 2500 kg/m3 - Volume de la benne 1,5 m3 - Masse de la benne 500 kg P =41,7 kN Newton (symbole N) Autres multiples utilisés (daN, kN, MN) Unité de mesure d ’une force : Exemple (calcul d ’une force de pesanteur):

7. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.2 - Unité (2/3) - point d ’application centre de gravité de la benne (G) verticale - direction G X - sens descendant P = m . g - intensité 9,81 m/s² P m = (2500 . 1,5 + 500 ) = 4250 kg P = 41 692,5 N # 41,7 kN Correction :

8. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.2 - Unité (3/3) ! ATTENTION G X Principales conséquences : 1 kg sera assimilé à 1 daN Surcharge d ’exploitation Q = 250 kg/m² 2,5 kN/m² P P = m . g = 42,5 kN De façon courante nous simplifierons les calculs en considérant que : g # 10 m/s²

9. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.3 - Décomposition d ’une force Y Avec : FY Norme de Fx = F . Cos () F Norme de FY = F . Sin () FY  FX A O X FX Dans un plan, en choisissant un repère orthonormé (oxy), il est possible de décomposer une force en deux vecteurs orthogonaux.

10. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.4 - Notion de résultante (1/6) F2 F3 ! F1 A X (S) Dans un premier temps, nous étudierons uniquement le cas particulier où toutes les directions des forces sont concourantes en même point sur le solide (S) .

11. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.4 - Notion de résultante (2/6) La résultante d ’un système de forces F1,F2,…,Fn, concourantes en un seul point est égale à la somme vectorielle des n forces considérées. Elle peut être obtenue en utilisant deux méthodes : La résultante R représente l ’équivalent de l ’action simultanée de plusieurs autres efforts, elle caractérise un effort global. Exemple : cargo en remorque 1 - La méthode graphique 2 - La méthode algébrique

12. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.4 - Notion de résultante (3/6) Étape n°1 : définir une échellegraphique (1 cm équivaut à x Newton) (1) F1 F3 F2 F1 F2 A Y X (2) A 1 X 3 2 R F3 (3) O X 1 - La méthode graphique : Étape n°2 : tracé du dynamique

13. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.4 - Notion de résultante (4/6) Pour connaître la résultante R, il faut : F1 F2 F3 1 - Déterminer sa composante Rx Rx =  Fi . Cos(i) Y n i = 1 1 RX 2 2 - Déterminer sa composante Ry Ry =  Fi . Sin(i) 3 A R n X RY i = 1 3 - Additionner Rx et Ry O X 2 - La méthode algébrique :

14. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.4 - Notion de résultante (5/6) T1 = 30 000 daN 5000 m T2 = 40 000 daN R1 T1 A 15 ° X Cargo 500 m 45 ° Port T2 R2 Exemple n°1 : Remorquage d ’un cargo Questions : 1 - Calculer l ’intensité de la force résultante qui entraîne le cargo 2 - En conservant ces conditions de remorquage, le cargo risque t ’il d ’arriver à bon port ?

15. 1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force1.2.4 - Notion de résultante (6/6) F1 = 300 daN F2 ? F1, F2 et F3 sont uniquement des efforts de traction ou compression 30 ° R = F1 + F2 + F3 = 0 60 ° F3 ? A Exemple n°2 : Équilibre d ’un nœud d  ’assemblage Hypothèses : La structure est au repos

16. 2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (1/4) F F 1er cas G X Mouvement rectiligne de translation d G X 2ème cas Translation + Rotation Les effets d ’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps

17. 2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (2/4) Le moment d ’une force F par rapport à un point O est par définition égal à : MoF = OF F z y MoF F O X OF  d X F MoF = OF . F . Sin() = F . d P x

18. 2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (3/4) Ce qu ’il faut retenir : A chaque vecteur-moment il sera associé : - un signe (+) ou (-) fonction du repère retenu - une intensité MoF = d . F (notée ultérieurement MoF = d . F) Unité : MoF = d . F [m] [N] [N.m] [kN.m],[MN.m]

19. 2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (4/4) G X Bras de levier (d) = 0 ou intensité F =0 Cas particulier : Vecteur-moment nul ?

20. 2 - NOTION DE MOMENT 2.2 Moment résultant d ’un système de forces (1/2) (1/4) Étape N°1: Définir un sens de rotation positif (exemple : M>0 dans le sens trigonométrique) F2 F1 P Le moment résultant par rapport à un point O, d ’un système de vecteurs-forces, correspond à la somme géométrique des vecteurs-moments de chacun des vecteurs forces par rapport à ce point. Exemple : Étape N°2: Calculer la norme du vecteur-moment de chaque force par rapport à O en lui affectant un signe O X Étape n°3: Sommer tous ces vecteurs

21. 2 - NOTION DE MOMENT 2.2 Moment résultant d ’un système de forces (2/2) (1/4) Brin tendu T = 120 daN Poulie 10° 15° Arbre t = 40 daN Exemple : Courroie de transmission Question: Calculer le couple disponible sur l ’arbre de transmission Rayon R d ’enroulement = 100 mm

22. 2 - NOTION DE MOMENT 2.3 Moment d ’un couple (1/2) d F  F ’ P Définition d ’un couple de forces : 2 forces égales en intensité mais de sens opposées ayant des supports parallèles. Le moment engendré par ce couple de forces est constant. Et ceci quelque soit le point du plan considéré, il est égal à : Mc = F . d ou (F ’. d) () ( ’)

23. 2 - NOTION DE MOMENT 2.3 Moment d ’un couple (2/2) Les forces F et F ’ schématisent les actions exercées par l ’opérateur sur la clé. F ’ = 150 N A A B F = 150 N B Exemple :Actions exercées sur une clé en croix Question : Calculer le moment résultant des deux forces aux points suivants : Largeur totale de la croix = 400 mm

24. 3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.1 Définition du PFS 1 - La résultante : R = F1 + F2 + … + Fn = O F1 F2 ET 2 - Le moment résultant : M/o = M/OF1 + M/OF2 + … + M/OFn = O O X (S) La deuxième équation est valable quelque soit le point considéré F3 Fn ! Un solide (S) soumis à plusieurs forces est en équilibre si et seulement si :

25. 3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.2 PFS dans l ’espace n n n Rx = O  Zi = O  Xi = O  Yi = O i=1 à n i=1 à n i=1 à n Ry = O z O R = O M/O = O Rz = O Xi, Yi, Zi (avec i = 1 à n) sont les projections des forces Fi sur les axes Ox, Oy, Oz. y n M/Ox = O  M/OXi = O i=1 à n n  M/OYi = O M/Oy = O x i=1 à n n  M/OZi = O M/Oz = O i=1 à n Dans le cadre de l ’étude d ’une structure tridimensionnelle, il sera possible d ’écrire 6 équations d ’équilibre

26. 3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.3 PFS dans le plan y Rx = O n n  Yi = O  Xi = O Ry = O i=1 à n i=1 à n O M/O = O R = O z x n  M/OZi = O i=1 à n M/OZ = O Dans le cadre de l ’étude d ’une structure plane, l ’application du PFS permet d ’écrire 3 équations d ’équilibre

27. 3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.4 Exemple F = 5 kN XA 45° YA YB L/2 L/2 Étude de l ’équilibre d ’une poutre : L = 6 m Déterminer les forces XA, YA et YB

28. 3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.5 Méthode de résolution M > 0 n n  Yi = O  Xi = O Y i=1 à n i=1 à n 1 - Définition du repère et du sens positif pour les moments 2 - Projection des forces sur l ’axe horizontal n  M/OZi = O 3 - Projection des forces sur l ’axe vertical i=1 à n O X 4 - Équation d ’équilibre en moment

29. 4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (1/3) Soit deux solides (S1) et (S2) jointifs en A soumis respectivement à un système de forces (F) et (F) : A F F (S2) (S1)

30. 4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (2/3) F F F 2/1 A A (S2) (S1) F 2/1 L ’effort F2/1 exercé par le solide (S2) sur le solide (S1) est égal en intensité mais de sens inverse à celui F1/2 exercé par (S1) sur (S2). Le seul point de contact entre ces deux solides étant le point A, nous pouvons en conclure, s ’il y a équilibre du système [(S1) + (S2)], que :

31. 4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (3/3) - F1/2 et F2/1 sont des efforts internes (ou intérieurs) au système [(S1) + (S2)], elles s ’annulent, - F1/2 et F2/1 sont également des efforts extérieurs pour chacun des solides pris séparément. - F et F sont des efforts externes, Remarques :

32. 5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.1 Généralités (1/2) B’’  B’ A’ Dans le plan, le solide (A,B) possède trois degrés de liberté de mouvement : - deux degrés en translation u et v B v A u - un degré en rotation  Dans l ’espace il existe six degrés de liberté de mouvement pour un solide quelconque (trois translations et trois rotations)

33. 5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.1 Généralités (2/2) Génération d ’une force de liaison (inconnue ) A chaque blocage d’un degré de liberté

34. 5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.2 L ’appui simple (appui à rouleau) La liaison appui simple bloque 1 degré de liberté y Introduction d ’une inconnue Intensité de la réaction verticale Y Y o x Modélisation :

35. 5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.3 L ’articulation y X Introduction de deux inconnues Intensité de la réaction verticale Y Intensité de la réaction horizontale X Y o x Modélisation : ou La liaison rotule bloque 2 degrés de liberté

36. 5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS 5.4 L ’encastrement X y Introduction de trois inconnues Intensité de la réaction verticale Y Intensité de la réaction horizontale X Intensité du moment empêchant la rotation M M Y o x Modélisation : ou La liaison encastrement bloque 3 degrés de liberté

37. 6 - EXEMPLES F = 3 kN B A 4,00 m L = 6,00 m 6.1 Équilibre d ’une poutre soumise à un chargement ponctuel Calculer les réactions aux appuis A et B

38. 6 - EXEMPLES 6.2 Équilibre d ’une console soumise à un chargement ponctuel F = 2 kN A L = 2,00 m Calculer les réactions au niveau de l ’appui

39. 6 - EXEMPLES 6.3 Équilibre d ’une poutre soumise à un chargement réparti P = 5 kN/m B A L = 6,00 m Calculer les réactions aux appuis A et B

40. 6 - EXEMPLES 6.4 Équilibre d ’un portique métallique F1 F2 F4 F3 F1 = 200 kN F2 = 150 kN F3 = 200 kN F4 = 250 kN H2 = 8,60 m H1 = 7,40 m L = 18,80 m A B Calculer les réactions au niveau des appuis A et B

41. 6 - EXEMPLES 6.6 Calculer les réactions au niveau des appuis