Lógica de Proposiciones

1. Lógica de Proposiciones ¿Qué es una proposición? ¿Cuáles son los conectivos lógicos? ¿Cómo utilizar las tablas de verdad? ¿Qué es una tautología? ¿Qué es una contradicción?

2. La Lógica Es una ciencia que estudia métodos o procedimientos que aplican definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez o invalidez de las proposiciones. La lógica matemática es una variedad de la lógica filosófica. Se puede decir también, que la Lógica es el estudio de la inferencia: Inferir es extraer la conclusión a partir de sus premisas. Ejemplo “Si Cipriano quiere a Eloisa entonces le escribirá una carta. No le escribió la carta; por tanto, Cipriano, no quiere a Eloisa”

3. Losobjetivos principales de la lógica son esencialmente: Eliminar las ambigüedades propias del lenguaje ordinario. Dar rigor a aquello que se está estudiando. En la Lógica existen dos procesos fundamentales: 1. Conceptualización: consiste en definir los objetos matemáticos que se van a definir 2. Demostración: consiste en demostrar rigurosamente aquellas propiedades, proposiciones o teoremas que se estén estudiando

4. Proposiciones Es una expresión lingüística, libre de ambigüedades ,que tiene la propiedad de ser verdadera o falsa pero nunca ambas simultáneamente. Por ejemplo SON PROPOSICIONES • El 2 es un número primo. • 25 es divisible entre 3 . • 6 + 5 = 10 ”. • El aula A1-205 está en el 2do piso • El sol es una estrella • Manuel saco 20 en matemática • Los problemas de matemática son fáciles • NO SON PROPOSICIONES • Pare inmediatamente! • ¿15 y 18 tienen la misma • cantidad de divisores?. • En realidad, ¿a qué se refiere?. • Lávalo”. • ¡ Qué hermosos son tus ojos ! • ¿lloverá mañana? • Haz esto por favor

5. Proposiciones ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones? (Explica por qué lo son o no lo son) • “ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”. • “ 2 es divisor de 15”. • “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”. • “ El aula A1-205 de la Unimet tiene más de 50 mts. cuadrados”. • “ x + 3 es un entero positivo”. • “ Tranquilícese”. Respuestas: Sólo son proposiciones los enunciados dados en 2 y 4

6. Valor de verdad Toda proposición se califica como verdadera (V) o falsa (F). Ejemplos: • La tierra es un satélite (F) • El conjunto unitario tiene un solo elemento (V) • 9 es cuadrado perfecto (V) • 3 es múltiplo de 5 (F)

7. Variable Proposicional Es la representación de las proposiciones por medio de letras minúsculas: p, q, r, s, etc.. Lo que simplifica las operaciones p: El aula A1-204 está en el 2do piso q: El aula A1-204 es iluminada r: El 5 es un entero par” s: La Tierra es el único planeta con vida en el universo t: El aula A1-204 no está iluminada u: Un decenio tiene 10 años

8. Enunciado abierto Llamado también función proposicional, es toda expresión que se refiere a números; esta conformado por constantes y variables. • Goza de la propiedad de transformarse en proposición al sustituir la variable o variables por constantes. Ejemplos: Enunciado abierto Proposición para (V) Enunciado abierto Proposición para (F)

9. Además todo enunciado abierto se transforma en una proposición anteponiéndole“para todo”o“Existe” los que son llamados cuantificadores Ejemplos: Enunciado abierto Proposición (V) Enunciado abierto Proposición (F)

10. Clases de proposiciones 1) Simple Llamadas también atónica, o elementales, son remplazadas, por una sola variable proposicional Ejemplos: El río Rímac es llamado “El Hablador” p La tierra es un planeta del sistema solar 2) Compuesta : Llamadas también moleculares, son aquellas que niegan a las proposiciones simples o combinan dos o más proposiciones simples conectadas por partículas o conectivos lógicos. Ejemplos Las gallinas no tienen cuatro patas. No p Juan es médico y psicólogo q y r

11. Conectivos lógicos u operadores proposicionales: Llamados también “operadores”, “signos de enlace”, “conectores, etc. Son usados en las operaciones lógicas. Los mas importantes son: la negación, conjunción, disyunción ( fuerte débil) condicional y bicondicial. 1. Negación ( ) Puede afectar a una sola proposición o a un conjunto de ellas. Puede ser: 1.1 Simple : Usa la partícula: No, jamás, nunca, ni sub, infra, des, etc. Cambia el valor de verdad de una proposición simple. Ejemplos: El Rímac NO es llamado “El Hablador” La tierra NO es un planeta del sistema solar

12. 1.2 compuesta • Usa no es cierto que, no es el caso que , es falso que, , no es verdad que, es imposible que, no es que, etc. Niega al operador mas no a la variable proposicional. Ejemplo • Es imposible que Juan ni estudie ni trabaje • No es el caso que franco escriba o juegue • El General de San Martin no nació en el Perú. • No es cierto que la pizarra sea blanca y el plumón sea negro

13. Ejemplo p: Nuestro salón está en el 2do piso. p : Nuestro salón no está en el 2do piso. p:No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso. Si p es verdadera entonces p es falsa. En cambio, si p es falsa, p es verdadera. La tabla de verdad

14. Notación Las proposiciones se combinan mediante conectivos, por ejemplo, “y”, “o”, “pero”, “si ... entonces”… Ejemplo p: “El aula A1-204 está en el 2do piso”; q: “El aula A1-204 es iluminada”. pueden combinarse como: • “El aula A1-204 está iluminada y está en el 2do piso” • “Siel aula A1-204 está iluminada entoncesse encuentra en el 2do piso”

15. Conectivos La proposición resultante de conectar dos ó más proposiciones se denomina proposición compuesta. Ejemplo r : “El aula A1-205 está en el 2do piso peroes iluminada” res la proposición compuesta “p y q” s: “Si el aula A1-204 está iluminada entoncesse encuentra en el 2do piso” s es la proposición compuesta “Si q entoncesp” ”

16. 2. La Conjunción ( p  q ) Vincula (coordina) proposiciones referidas a un mismo sujeto o a sujetos diferentes mediante el conectivo y la conjunción de p y q es la proposición “p y q” que se denota por “p  q”. La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambas proposiciones que la componen son verdaderas. Ejemplo: • Juan es médico y deportista • Paco y Ronald son maestros • Sea p: “2 divide a 68” q: “2 divide a 25”. p  q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”. Valor de verdad: p  q es falsa

17. Obs. 1 Para que una conjunción tenga sentido debe cumplirse con las siguientes requisitos. • Que se puedan separar las proposiciones • Que se puedan conmutar las proposiciones • Que tenga el mismo contexto Ejemplo • No son proposiciones conjuntivas • Juan y María son paisanos (no se pueden separar) • Paco tomó arsénico y murió ( no se pueden conmutar) • La ex reina de belleza tomo somníferos y murió (no se puede conmutar)

18. Obs. 2 En el lenguaje coloquial se emplea como sinónimo de “y” las expresiones sino, además, mas, pero, no obstante, empero, también, a la vez, aun cuando, sin embargo, aunque, a pesar de, etc. Ejemplo: • Juan tiene diez años también Elizabeth • Benito perdió tanto dinero como Víctor. • 16 es múltiplo de 3, pero 5 es mayor que 3. • Fernando Belaunde fue un político pero honesto • A la vez sale el sol aun cuando llueve

19. Obs : 3 En algunos casos la conjunción está sobre entendida; es tácita Ejemplo: Algunos han sido grandes otros han conseguido la grandeza a otros les ha sido impuesta. Obs : 4 Una Coma puede hacer, también una conjunción. Ejemplo: En el anterior coloque las comas en el lugar apropiado.

20. María y Juan son novios.Tengo papel, pero no lápiz. Iremos a la playa si no llueve. • Tabla de Verdad

21. 3. LA DISYUNCIÓN ( p  q ) 3.1 Disyunción Débil () O inclusiva vincula dos o mas proposiciones mediante el conectivo “o” Ejemplo: • La solución de (x–2).(y+2) = 0 es x = 2 o y = -2”. • Sean p: “3 divide a 6” q: “3 divide a 7” p  q : “ 3 divide a 6 ó a 7” Valor de verdad: p  q es verdadera. • Juan arregla su cuarto o Rocío baila. • La historia describe o explica La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambas proposiciones son falsas.

22. Tabla de verdad

23. 3.2 Disyunción Fuerte ( ) O exclusiva vincula dos proposiciones mediante el conectivo “ o … o… “. Ejemplo : • O Juan arregla su cuarto o estudia p q • O estás sano o estás enfermos. P q En ambos ejemplos es imposible que simultáneamente ocurran ambas proposiciones. Tabla de verdad

24. 4. LA CONDICIONAL ( p  q ) Establece una relación de dependencia entre las proposiciones que se vinculan mediante el conectivo “ Si… entonces … “ p  q Hipótesis  Tesis Antecedente  Consecuente Premisa  Conclusión Ejemplo: • Si estudio entonces apruebo. p  q • Como baile mucho, me canse p  q

25. En el lenguaje coloquial son sinónimos del condicional las palabras: Siempre que p, q Dado que p , q p por lo tanto q p es suficiente para q p luego q p implica q P se concluye q P en consecuencia q p así que q Si p, q p sólo si q q es necesaria para p q se deduce de p

26. Ejemplo: p: Los polvos de jardín contienen veneno q: Los polvos de jardín son de colores brillantes. La proposición p  q puede estar expresada como: • Silos polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores brillantes; • Los polvos de jardín contienen veneno sólo sison de colores brillantes; • Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que contienen veneno; • Los polvos de jardín son de colores brillantes sicontienen veneno.

27. 5También tenemos proposiciones donde el orden no es normal, es decir la proposición condicional está invertida y por lo tanto hay necesidad de ordenarla. Ejemplo: • Apruebo el curso si estudio Ordenando Si estudio el curso entonces apruebo el curso • Me canse pues bailé mucho Ordenando Bailé mucho, entonces me canse

28. En este caso p ya que q p pues q Tienen sinónimos en el lenguaje coloquial “dado que”, “puesto que” “habida cuenta que”, “siempre que”, debido a que”, “porque” , etc. • “Si p entonces q ” es verdadera, cada vez que la condición p es verdadera obliga a que la condición q también sea verdadera. Es decir, con el cumplimiento de p, se promete el cumplimiento de q.

29. Tabla de verdad La implicación es falsa, únicamente, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En este caso, a pesar de “estar dadas las condiciones”, no se cumple la promesa. Tabla de verdad

30. Ejemplo: p: La respuesta automática se puede enviar. q: El sistema de archivos está lleno. • p  q : Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno. • q p : La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está lleno. • q p : La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno. • p  q : • Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno.

31. Ejercicio Si x = 1, ¿cuál es el valor de la variable x después de ejecutarse cada una de las siguientes instrucciones? a) If 2 + 2 = 4 then x:=x + 1 b) If (1+1=3) or (2+2=3) then x:=x + 1 c) If (2+3=5) and (4+3=7) then x:=x + 1 d) If x < 3 then x:=x + 1 ¿ x = ?? • Respuesta: • x = 2c)x = 2 • x = 1d)x = 2

32. 5. La Bicondicional ( p  q) Establece una relación de doble dependencia entre las proposiciones por lo mismo ellas deben poder conmutarse. Se vinculan mediante el conectivo “ si y solo si” Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad, es decir, es verdadera si ambas componentes son verdaderas o ambas son falsas. Ejemplo • Puedes titularte si y solo si estás expedito • N es par si y solo si es , múltiplo de dos.

33. También puede utilizarse “cuando y solo cuando” . “entonces y sólo entonces”, es una condición necesaria y suficiente”, “ es una condición necesaria y suficiente”. Una manera de abreviar “si y sólo si” es “sii”. “p si y sólo si q” se puede expresar como “p es condición necesaria y suficiente para q”. Ejemplo p : 24 es un número par. q : 24 es divisible por 2. p  q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”.

34. La naranja es agradable cuando y sólo cuando está madura. Decimos bicondicional porque el signo  puede ser descompuesto en dos signos condicionales En el ejemplo “Si la naranja es agradable, entonces está madura” y “Si la naranja está madura entonces es agradable Tabla de verdad

35. 6. La Binegación Que vincula a dos proposiciones mediante “ no … y no …” . “Ni … ni… , “ Ejemplo: • No ingrese a la UNI y no postule a la UNSA • Ni Alianza es campeón ni Perú va al mundial. Tabla de verdad

36. Evaluación de los esquemas moleculares mediante tablas de verdad Una vez formados los esquemas moleculares se aplican las tablas de valores para decidir su validez. La evaluación comienza con los conectivos de menor jerarquía, ascendiendo a los de mayor jerarquía, hasta culminar con el conectivo principal, que es donde va el resultado Ejemplos

38. Tautología y contradicción Una tautología es una proposición compuesta que es verdadera para todos los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Por ejemplo: p p “ Soy un hombre o no soy un hombre” Una contradicción es una proposición compuesta que es falsa para todos los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Por ejemplo: p p “Soy un hombre pero no soy un hombre”

39. Ejercicios 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p  q es falsa. a)p  q b) q  p c) p p d) p  q Piensa un rato y justifica tus respuestas 2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que ( p  q )  r  ( s  t ) sea falsa 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a)( p  ¬q )  q b) ( p  q )  ( p  q ) c) q  (¬p¬q) ¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología? ¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?

40. Formalización La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico. 4) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve” • La temperatura estásobre los 17°C pero llueve. • Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. • No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C. • Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. • Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficientepara que no llueva. • O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

41. Formalización 5) Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus” q: “ El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido” Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. a) El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que se haya enviado desde un sistema desconocido. b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no revisó para buscar ningún virus. c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido no se revisa para buscar ningún virus. d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se reviso para buscar ningún virus.

42. Tarea • De la sección 2.1, realiza los ejercicios: • Ej. 6: determinar veracidad de implicaciones; • Ej. 14: practicar con los conectivos; • Ej. 19: determinar veracidad, descartando casos.