26.1 二次函数图象和性质 (5)

1. 26.1 二次函数图象和性质(5)

2. 复习提问 1． 的顶点坐标是________，对称轴是__________ （h，k） 直线x＝h 2．怎样把 的图象移动，便可得到 的图象？

3. (－2，－5) 3． 的顶点坐标是，对称轴是． 直线 x＝－2 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没有变化？ 有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状

4. 新课 我们复习了将抛物线 向左平移2个单位再向下平移5个单位就得到 的图象，将 化为一般式为 ，那么如何将抛物线 的图像移动，得到的 图像呢？ 的图象怎样平移就得到 那么一般地，函数 的图象呢？

5. 化为 1．用配方法把 的形式。 化为 例1 用配方法把 的形式，求出顶点坐标和对称轴。 解： 顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3

6. 练习1用配方法把 化为 的形式，求出顶点坐标和对称轴。 答案： ，顶点坐标是(1，5)， 对称轴是直线 x＝1．

7. 2．用公式法把抛物线 化为 的形式。 的方法和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ ”类似．具体演算如下： 把 变形为

8. 的顶点坐标是 所以抛物线 。 ，对称轴是直线

9. 例2用公式法把 化为 的形式，求出对称轴和顶点坐标． 解：在 中， ， ∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。

10. 化成 练习2用公式法把 的形式，并求出顶点坐标和对称轴。 答案： ，顶点坐标为（2，2）对称轴是直线 x＝2

11. 3． 图象的画法． 步骤：1．利用配方法或公式法把 的形式。 化为 2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。

12. 例3画出 的图像，利用函数图像回答： (1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？

13. 分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．分析：我们可以用顶点坐标公式求出图象的顶点，过顶点作平行于y轴的直线就是图象的对称轴．在对称轴的一侧再找两个点，则根据对称性很容易找出另两个点，这四个点连同顶点共五个点，过这五个点画出图像．

14. (1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2.(1)用顶点坐标公式，可求出顶点为(2，2)，对称轴是x＝2. (2) 当x＝1时，y＝0，即图象与x轴交于点(1，0)，根据轴对称，很容易知道(1 ，0)的轴对称点是点(3，0) ．又当x＝0时，y＝－6，即图象与y轴交于点(0，－6)，根据轴对称，很容易知道(0，－6)的轴对称点是点(4，－6)．用光滑曲线把五个点(2，2)，(1，0)，(3，0)，(0，－6)，(4，－6)连结起来，就是 的图象。

15. 解：列表 … … 1 2 3 0 4 … … －6 －6 0 2 0

16. y · （2,2） 由图像知： · · （3,0） （1,0） • 当x＝1或x＝3时， • y＝0； x (2)当1＜x＜3时， y＞0； (3)当x＜1或x＞3时， y＜0； x=2 (4)当x＝2时， y有最大值2。 · · （0,－6） （4,－6）

17. 练习3 画出 的图像。

18. y=x2－2x＋2 x=1

19. 的性质： 4．二次函数 （1）顶点坐标 （2）对称轴是直线 （3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。

20. （4）最值： 时，函数有最小值， 如果a＞0，当 时，函数有最大值， 如果a＜0，当

21. （5）增减性： ①若a＞0，当 时，y随x的增大而增大； 当 时，y随x的增大而减小。 ②若a＜0，当 时，y随x的增大而减小； 当 时，y随x的增大而增大。

22. (6)抛物线 与坐标轴的交点 ①抛物线 与y轴的交点坐标为（0，c） ②抛物线 与x轴的交点坐标为 ，其中 为方程 的两实数根

23. (7)抛物线 与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程 的根的判别式判定： ① △＞0有两个交点抛物线与x轴相交； ② △＝0有一个交点抛物线与x轴相切； ③ △＜0没有交点抛物线与x轴相离。

24. 例4 已知抛物线 ①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。

25. 解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y＝0，所以 ，所以k＝－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点； ②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即 ，所以k＝－4，所以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。

26. ③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即 ③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 即 ，整理得 ，解得： ，所以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6时，抛物线的顶点在坐标轴上。

27. 例5 当x取何值时，二次函数 有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？ 解法一（配方法）： 所以当x＝2时， 。

28. 解法二（公式法）： 因为a＝2＞0，抛物线 有最低点，所以y有最小值， 因为 所以当x＝2时， 。 总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．

29. 例6已知函数 ，当x为何值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。 解法一： ， ∴抛物线开口向下， 又 ∴对称轴是直线x＝－3，当x＞－3时，y随x的增大而减小。

30. 解法二： ，∴抛物线开口向下， ∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y随x的增大而减小。

31. 例7 已知二次函数 的最大值是0，求此函数的解析式．

32. 解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组．解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0．所以应满足以下的条件组． 由②解方程得 所求函数解析式为 。

33. 5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 相等，则形状相同。 (1)a决定抛物线形状及开口方向，若 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。

34. 5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 ，故 ①若b＝0对称轴为y轴， ②若a，b同号对称轴在y轴左侧， ③若a，b异号对称轴在y轴右侧。

35. 5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。

36. 例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．

37. 分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．

38. 判断a的符号 解： (1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；

39. 判断b的符号 (2)因为对称轴在y轴右侧，所以 ，而a＜0，故b＞0；

40. 判断c的符号 (3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；

41. 判断b2－4ac的符号 (4)因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，故 ，且a＜0，所以 。

42. 判断2a＋b的符号 (5)因为顶点横坐标小于1，即 ，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；

43. 判断a＋b＋c的符号 (6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；

44. 判断a－b＋c的符号 (7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．