大数の法則

1. 大数の法則 行動計量学実験実習 B3　東　由加里

2. 大数の法則＜前編＞大数の法則を知ろう！

3. 大数の法則とは • 実際の実験において • サンプル数を多くすればするほど分析結果の信頼性が上がるということ。 • 統計学的には • 試行数を多くすればするほど、ある事象Aの生起確率はｐに近づく。

4. 大数の法則：身近な例 • さいころを投げて、１の目が出る確率は1/6である。 • 経験的には知っている。 • じゃあ６回投げたら１回１が出るか？１２回ならば２回出るか？ • そうとは限らない。 そこで、大数の法則の考え方に従うと・・・

5. 身近な例を当てはめる • さいころを３００回なげてみては？ 　　おそらく５０回くらいは１が出るのでは。 　　そして、その試行回数が多いほど１の目が出る確率は1/6に近づく。

6. 大数の法則とは-1 • 互いに独立で、同一の分布を持つ確率変数の列　　　　　　　　　において、 　　が存在するならば、　　　　　のとき 　　　　　　　　　　　　　　　　　はμに収束する。 つまり期待値

7. 大数の法則とは-2 • 分かりやすく言うと、 • N個の確率変数があって、 • ＜条件：独立、同一の分布、期待値が存在する＞ • Nが大きければ大きいほど（つまりたくさんあるほど） • 確率変数の平均値は母平均に近づく。

8. 数学的に-1 • スライド5に加えて､ 　とする。このとき、

9. 数学的に-2 • 独立性より • また、　　　　　　　　　　　　　　　　と考えると、

10. 数学的に-3(-α) • そこで、　　　　　　　にチェビシェフの 　不等式を適用する。 ？ チェビシェフの不等式に寄り道

11. チェビシェフの不等式-1 • 『分散　　が小さい時、分布は平均μのまわりに近づく。』 任意の正の整数　　に対して(平均μ、標準偏差σ) Xが平均μから　　 以上 離れた値をとる確率　　

12. チェビシェフの不等式-2 　　　　　　　　　　　　　　　　とは。 • つまり、標準偏差を基準としたデータの外れ具合を述べている。 • 具体例：　　　　　とすると、平均から３σ以上はずれる確率は1／9以下になる。

13. チェビシェフの不等式-3 • どんな分布に対しても成り立つ。 • が、かなり大ざっぱ。 • 　　　なら役に立たない。 • 標準偏差σをものさしとして確率を評価するという、統計理論の『こころ』を示している点で重要。

14. 再び大数の法則-3 • (式１) にチェビシェフの不等式を適用。 • 任意の　　　 に対して　　　　　とすると、 　　スライド8より　　 スライド8より、式１の標準偏差は　

15. 大数の法則-4 • よって、　　　　　　　　　　　　　　　　は、 　ここで、　　　　　とすると、　　　　　　　　　　　 平均から　　 はずれる確率

16. 大数の法則-5 • すなわち、　　　　　　　 が任意の定数εから 　外れる確率が0に近づく。 • たとえば、さいころをふって6の出る確率 　（一般には1/6と思われている：1/6＝ε） 　は、さいころをふる回数(N)が大きいほど 1/6に近づく。

17. 大数の法則＜前編＞大数の法則を知ろう！－完－大数の法則＜前編＞大数の法則を知ろう！－完－

18. 大数の法則＜後編＞大数の法則を見よう！

19. 大数の法則を見る • Excelを使ってシュミレーション • 正規分布 • ２項分布 • 一様分布 • Cauchy分布

20. 正規分布で見る。 • 例：男子の身長のデータ • 母平均＝170、母分散　　　　　　としてグラフを書く。 • 標本数ｎを増やしていくとどうなるか？

21. ｎによる比較-1<正規分布>

22. ｎによる比較-2<正規分布>

23. 2項分布で見る。 • 例：コイン投げで表の出る確率 • 各試行回数ごとに表の出る確率を計算し、試行回数ｎが増えるにつれての確率の変化を見る。 • 表の出る確率の母平均μ＝0.5とする。

24. ｎによる比較<2項分布>

25. 一様分布で見る。 • ０から１の間で任意に発生させた乱数を考える。(Excelによる任意発生) • 乱数は、一様分布する。 • このようなものでも、大数の法則は適用できるのか・・・？

26. 一様分布を見る。改 • 規則性は無く、一様に分布している。

27. ｎによる比較<一様分布>改 • 乱数（０と１の間の任意の値）の数(n)毎の平均の値をグラフ化する。

28. Cauchy分布で見る。 • Cauchy分布とは？ • 密度関数が 　　これを、パラメータ( 0 , 1 )のコーシー分布といい、　　　　　で表す。 • 平均値は存在しない。 　･･･という分布。

29. Cauchy分布で見る-2 • Cauchy分布の求めかた • とりあえず、ｎ個の平均を求めてグラフを書いてみる。 標準正規乱数 おさらい：大数の法則に従うと、ｎが大きくなるほど平均値は母平均（この場合は０）に近づく。

30. ｎによる比較<Cauchy分布> ・・・・・・・・・・あれ？　　　平均値は０に収束しない

31. さらなる比較　　　　　　　　<一様分布vsCauchy分布>さらなる比較　　　　　　　　<一様分布vsCauchy分布> 同じｎにし、 同じ平均値の 幅でグラフを 書くと･･･。 収束してない！！

32. Cauchy分布とは。 • 実は、大数の法則が適用されない分布の例。　　　ｎが母平均μ=0に収束しない • ちなみに、ほぼ平坦に見えるスライド30の一様分布も、ｎが少ない時は平均がばらついている。 大数の法則により、ｎが増えるにしたがって、母平均μ=0に収束している。

33. ズーム、一様分布

36. 大数の法則を見よう-まとめ • 大抵の分布において、ｎ（試行数やデータ数）が大きくなればなるほど、その値は母平均μの値に近づく。 • ただし、大数の法則に従わないような分布もある。

37. 大数の法則＜後編＞大数の法則を見よう！－完－大数の法則＜後編＞大数の法則を見よう！－完－

38. 参考文献 • 『入門　統計解析法』 • 著　　長田　靖　　　　日科技連　　　　1992 • 『統計分析システム』 • 著　　二宮　正司　　　オーム社　　　　1988 • 『統計学　データから現実をさぐる』 • 池田貞雄・冨田幸弘・松井敬・馬場善久　共著内田老鶴圃　　1991 • 『すぐわかるExcelによる統計処理』 • 著　　内田　治　　　　東京図書　　　　1999 • 『現代教養統計学』 • 国沢清典・羽鳥裕久　共著　　サイエンス社　　　1970 • 『すぐわかる統計用語』 • 石村貞雄・Desmod Allen　共著　　東京図書　　　1997

39. 限りない感謝の意 • 狩野大先生 • 忍耐強い指導と励まし • 原田先生 • ひらめきと影のお力添え • 清水さま • Cauchy分布とその他相談 • 両親 • へんな時間に活動してすみません＆お部屋提供 • パソコン • かなりの稼働時間 • そしてみなさま • これが精一杯の努力です

40. 大数の法則　-完-

41. ～カーテンコール～　　　　　　　　　そこはかとなく大数～カーテンコール～　　　　　　　　　そこはかとなく大数