העדפות והצבעות

1. העדפות והצבעות מבוסס על: Peter Tannenbaum, Excursions in Modern Mathematics

2. Voting Video

3. Preference Ballot • תהליך הצבעה שבו כל אחד מהבוחרים מדרג את המועמדים לבחירה לפי סדר העדיפויות שלו

4. דוגמה • במחצית שנות השמונים, החלה הטלביזיה החינוכית לתגמל את כוכבי התוכנית "פרפר נחמד" במניות כתחליף למשכורת • לאט לאט, צברו הכוכבים אחיזה בחברה עד שיום אחד הודיעו כי בכוונתם למנות נציג מטעמם בדירקטוריון • בהתייעצות פנימית הוחלט לבחור את הנציג באמצעות preference ballot – הצבעה בה המצביעים מדרגים את המתמודדים על-פי סדר ההעדפה

5. דוגמה (המשך) • בהצבעה שקיימו התקבלו התוצאות הבאות:

6. טרנזיטיביות ואלימינציה • העדפות המצביע הן טרנזיטיביות – אם מעדיף מועמד A על-פני B ואת B על-פני C, אזי מעדיף A על-פני C • כלומר אם נרצה לדעת לאיזה מועמד יצביע מבין שני מועמדים, ניתן פשוט לבדוק מי מדורג גבוה יותר בבחירה שלו • גם במקרה שאחד המועמדים פורש מן המירוץ, ההעדפות היחסיות של הבוחר אינן משתנות

7. בחירה על-פי Plurality • בשיטת ה- plurality זוכה המועמד אשר קיבל את המספר הרב ביותר של קולות במיקום הראשון (בעדיפות ראשונה) • מדובר בהרחבה של קונספט הרוב (majority rule) על-פיו בבחירה בין שני מועמדים זוכה המועמד עם רוב הקולות (majority): • Majority Criterion – אם בחירה מסויימת מקבלת את מירב (majority) ההצבעות במקום הראשון בבחירות אזי בחירה זו היא הזוכה בבחירות

8. קריטריון ה- Majority • אם בחירה מסויימת מקבלת רוב (majority) של הצבעות במקום ראשון אולם לא זוכה אזי קריטריון ה- majority מופר • האם שיטת ה- plurality מקיימת את קריטריון ה- majority? • כן. מכיוון שלמועמד עם רוב (majority) של קולות בעדיפות ראשונה יש בהכרח גם רוב מסוג plurality • אז מה הבעיה העיקרית של עיקרון ה- plurality?

9. דוגמה (המשך) • בהצבעה שקיימו התקבלו התוצאות הבאות:

10. קריטריון ה- Condorcet • אם קיימת בחירה שבהשוואה בזוגות (head-to-head) מנצחת כל בחירה אחרת אזי בחירה זו צריכה להיות המנצחת בבחירות • מועמד הזוכה בכל השוואת head-to-head מול כל המועמדים האחרים נקרא Condorcet candidate • שיטת ה- plurality לא מקיימת את עיקרון ה- condorcet marquis de Condorcet (17 September 1743 – 28 March 1794)

11. שיטת ה- Borda Count • הרעיון – הקצה נקודות לכל דירוג (ranking) ב- ballot • המועמד עם מספר הנקודות הגבוה ביותר זוכה בבחירות • השיטה מבטיחה שהזוכה הוא הפשרה הטובה ביותר • אם יש לנו בחירות עם N מועמדים, ניתן נקודה להעדפה האחרונה, 2 נקודות להעדפה הלפני האחרונה וכו'. עדיפות ראשונה תקבל N נקודות

12. דוגמה (המשך) נסכום את הנקודות: שבי 21(4) + 15(1) + 12(1) +7(1) = 118בץ 21(3) + 15(3) + 12(2) + 7(4) = 160נולי 21(2) + 15(4) + 12(3) + 7(2) = 152אוזה 21(1) + 15(2) + 12(4) + 7(3) = 120

13. שיטת ה- Borda Count (המשך) • מה הבעיה בשיטה? חביתוש18(4) + 6(1) + 9(1) = 87רגע9(4) + 18(3) + 6(2) = 102

14. שיטת ה- Borda Count (המשך) • מה הבעיה בשיטה? • מפרה את ה- majority criterion • ... וגם את ה- condorcet criterion

15. Runoff Voting • בהרבה מקרים נדרש המועמד לקבל את רוב הקולות (majority) על-מנת להיבחר • כאשר יש יותר משני מועמדים, הדבר הרבה פעמים לא קורה והפיתרון לרוב הוא להוציא את המועמד/ים שקיבל/ו הכי פחות קולות בעדיפות ראשונה ולקיים runoff election • מכיוון שקיום תהליך בחירות הוא לרוב תהליך יקר, ניתן להשתמש ב- preference ballots על-מנת לשפר את ה- runoff

16. Instant Runoff Voting • השיטה נקראת גם plurality-with-eliminationmethod • שלב ראשון – ספור את הצבעות ההעדפה הראשונה של כל מועמד. אם למועמד יש רוב (majority) של הצבעות עדיפות ראשונה אזי הוא המנצח. אחרת, הוצא את המועמד עם הכי פחות הצבעות עדיפות ראשונה. • שלב שני – ספור מחדש את קולות העדיפות הראשונה. במידה וקיים מועמד בעל רוב (majority) של הצבעות עדיפות ראשונה, הכרז עליו כמנצח. אחרת, הוצא את המועמד עם הכי פחות הצבעות עדיפות ראשונה. • שלב שלוש, ארבע וכו' - חזור על התהליך עד שיימצא מועמד בעל רוב (majority) של הצבעות עדיפות ראשונה.

17. דוגמה סיבוב ראשון – יש להשיג לפחות 28 הצבעות עדיפות ראשונה עבור מועמד לצורך majority.מכיוון שאין מועמד עם כמות כזו של הצבעות, נוריד את בץ מרשימת המועמדים

18. דוגמה סיבוב שני – יש להשיג לפחות 28 הצבעות עדיפות ראשונה עבור מועמד לצורך majority. מכיוון שאין מועמד עם כמות כזו של הצבעות, נוריד את נולי מרשימת המועמדים

19. דוגמה סיבוב שלישי – כעת לאוזה 34 קולות של עדיפות ראשונה והיא זוכה בבחירות

20. Plurality-with-Elimination • מה הבעיה בשיטה? • לפי שיטת ה- plurality with elimination יש צורך ברוב של 15 ולכן נוציא את R

21. Plurality-with-Elimination • כעת נניח ש- 4 מהמצביעים שהתכוונו להצביע ל- A בעדיפות ראשונה מגלים ש- C הולך לנצח ולכן משנים את הצבעת העדיפות הראשונה שלהם ל- C • לפי שיטת ה- plurality with elimination יש צורך ברוב של 15 ולכן נוציא את A

22. Plurality-with-Elimination • כעת זכה בבחירות R • הדבר סותר את ה- The Monotonicity Criterion: • אם הבחירה X צפויה לזכות בבחירות וכל מה שמשתנה ב- ballot הוא גידול במספר הבוחרים שמעדיפים X בעדיפות ראשונה אזי X צריך להישאר הבחירה המנצחת • בנוסף, גם עיקרון ה- Condorcet לא מתקיים (אוזה נבחרה במקום בץ)

23. Pairwise Comparisons • הרעיון – קיים טורניר round-robin שבו כל מועמד מתמודד מול כל מועמד אחר ב- one-on-one • כל התמודדות one-on-one כזאת תיקרא pairwise comparison • בהתמודדות one-on-one זוכה מי שמועדף על-פני השני אצל יותר בוחרים • כל ניצחון one-on-one מזכה את המועמד בנקודה (תיקו מזכה בחצי נקודה)

24. Pairwise Comparisons בץ – 3 נקודות שבי – 0 נקודות נולי – 2 נקודות אוזה – נקודה אחת שבי נגד בץ – 21 מול 34 – בץ זוכה בנקודה שבי נגד נולי – 21 מול 34 – נולי זוכה בנקודה שבי נגד אוזה – 21 מול 34 – אוזה זוכה בנקודה בץ נגד נולי – 28 מול 27 – בץ זוכה בנקודה בץ נגד אוזה – 43 מול 12 – בץ זוכה בנקודה נולי נגד אוזה – 36 מול 19 – נולי זוכה בנקודה

25. Pairwise Comparisons • השיטה מקיימת: • The Majority Criterion • The Condorcet Criterion • The Monotonicity Criterion • מה הבעיה בשיטה?

26. דוגמה A versus B: 14 votes to 30 votes. B gets 1 point.A versus C: 32 votes to 12 votes. A gets 1 point.A versus D: 26 votes to 18 votes. A gets 1 point.A versus E: 36 votes to 8 votes. A gets 1 point.B versus C: 20 votes to 24 votes. C gets 1 point.B versus D: 22 votes to 22 votes. B and D get 1/2 point.B versus E: 28 votes to 16 votes. B gets 1 point.C versus D: 24 votes to 20 votes. C gets 1 point.C versus E: 20 votes to 24 votes. E gets 1 point.D versus E: 36 votes to 8 votes. D gets 1 point. A - 3 pointsB - 2 1/2 pointsC - 2 pointsD - 1 1/2 pointsE - 1 point. . .and A is the winner of the election

27. דוגמה (המשך) • כעת נניח ש- C החליט לפרוש מהמירוץ לקראת סיומו: A versus B: 14 votes to 30 votes. B gets 1 point.A versus D: 26 votes to 18 votes. A gets 1 point.A versus E: 36 votes to 8 votes. A gets 1 point.B versus D: 22 votes to 22 votes. B and D get 1/2 point.B versus E: 28 votes to 16 votes. B gets 1 point.D versus E: 36 votes to 8 votes. D gets 1 point. A - 2 pointsB - 2 1/2 pointsD - 1 1/2 pointsE - 0 points

28. The Independence-of-Irrelevant-Alternatives Criterion • אם בחירה X היא הזוכה בבחירות ואחת (או יותר)מהבחירות האחרות נפסלת וה- ballot נספר מחדש, אזי X עדיין צריך להיות המנצח בבחירות • ה- Pairwise Comparisons לא מקיים את ה- Independence-of-Irrelevant-Alternatives Criterion

29. בחירות עם Rankings • לעיתים קרובות יש חשיבות גם לדירוג כללי של המועמדים (למשל בפריימריז למפלגה, הראשון יהיה מועמד לראש הממשלה ול- 30 הבאים בדירוג יש סיכוי להיבחר לכנסת) • את כל השיטות שלמדנו עד עכשיו אפשר להרחיב גם ל- ranking

30. Extended Plurality Method • נניח שאנחנו מצביעים לתפקידים ראש ממשלה, ס' ראש הממשלה ושר האוצר: משרהמקוםמועמד הצבעותראש ממשלהראשוןשבי 21ס' ראש ממשלהשנינולי 15שר אוצר שלישיאוזה 12ללא תפקיד רביעיבץ 7

31. Extended Borda Count Method משרהמקוםמועמד הצבעותראש ממשלהראשוןשבי 21ס' ראש ממשלהשנינולי 15שר אוצר שלישיאוזה 12ללא תפקיד רביעיבץ 7 משרהמקוםמועמד נקודותראש ממשלהראשוןבץ160ס' ראש ממשלהשנינולי 152שר אוצר שלישיאוזה120ללא תפקיד רביעישבי118

32. Extended Plurality-with-Elimination (Instant-Runoff) • נדרג מועמדים על-בסיס מתי הם מוצאים מהמירוץ • הבחירה הראשונה שנוציא מהמירוץ היא האחרונה בדירוג, וכו' משרהמקוםמועמד יצא בסיבובראש ממשלהראשוןאוזה---ס' ראש ממשלהשנישבי שלישישר אוצר שלישינולישניללא תפקיד רביעיבץראשון

33. Extended Pairwise ComparisonMethod • הדירוג יהיה על-פי מספר הנקודות: משרהמקוםמועמד ניקודראש ממשלהראשוןבץ3ס' ראש ממשלהשנינולי 2שר אוצר שלישיאוזה1ללא תפקיד רביעישבי0

34. Recursive Ranking Methods • ניתן להשתמש בכל אחת מ- 4 השיטות על-מנת לדרג מועמדים בצורה רקורסיבית • הרעיון – אם אנו משתמשים בדרך מסויימת לקביעת המנצח, לאחר קביעת המנצח נוכל להוציאו מההצבעה ולמצוא את המנצח בהצבעה ה"חדשה". המנצח בהצבעה החדשה ידורג שני. נחזור על התהליך עד שדורגו כל המועמדים

35. Recursive Plurality Method

36. Recursive Plurality-with-Elimination Method • מקום ראשון – אוזה (תוצאה שקיבלנו כשהוצג Plurality-with-Elimination) • מקום שני - נולי

37. Recursive Plurality-with-Elimination Method • מקום שלישי – בץ

38. Weighted Voting Systems • עד כה הנחנו שכל הקולות שווים (one voter one vote) • בהרבה מקרים מתקיים מצב של weighted voting שבו למצביעים שונים משקל שווה (one voter – x votes) • מערכת מסוג זה נקראת weighted voting system • לשם פשטות הניתוח נתרכז במצבים בהם עומדים רק שני מועמדים לבחירה

39. Weighted Voting Systems • מורכבת מ: • שחקנים – קבוצת המצביעים P1,…,PN • משקלות weights)) – מספר הקולות שבשליטת כל שחקן w1,…,wN • Quota (q) – המספר המינימלי של קולות הנדרשים לצורך הבחירה: • ניתן לייצג את המערכת כ: [ q : w1 , w2 , w3 , . . . , wN]

40. דוגמאות • דוגמה 1 - לחברה מסויימת ארבעה בעלי מניות: [ 2/3 : 8, 4, 2, 1 ] • דוגמה 2 - לחברה מסויימת ארבעה בעלי מניות: [ 1/2 : 6x, 2x, x, x ] • בדוגמה 2, שחקן P1 יכונה "דיקטטור" משום שהוא יכול להעביר כל החלטה שירצה • באופן פורמאלי, שחקן שיש לו לפחות q ממשקל הקולות יכונה "דיקטטור" • קיום הדיקטטור הופך את כל יתר השחקנים ללא רלוונטיים (dummy)

41. Veto Power • מדוגמה 1 ניתן לראות שללא תמיכת שחקן P1 לא ניתן להעביר החלטה • P1 איננו דיקטטור משום שיצטרך שלפחות עוד שחקן אחד מלבדו בהחלטה שיבחר • לשחקן שאיננו דיקטטור, אולם יכול לחסום כל הצבעה, יש את כוח הוטו (veto power)

42. הקשר בין כמות הקולות לכוח • במדינה מסויימת מורכב בית הנבחרים מ- 100 נבחרים בעלי זכות הצבעה שווה. • החלטות מתקבלתות על-פי רוב של 51 • 55 מהנבחרים שייכים למפלגה א', 45 למפלגה ב' • כעת נניח ש- 6 נבחרים ממפלגה א' מחליטים לערוק ולהקים מפלגה חדשה, מפלגה ג': [ 51 : 49, 45, 6 ] • למרות שלמפלגות א' ו- ב' יש יותר קולות, נראה שלמפלגה ג' יש לפחות את אותו הכוח...

43. אלו שחקנים יכולים לחבור על-מנת להעביר החלטה? [ 51 : 49, 45, 6 ] • P1 and P2 (This group controls 94 votes). • P1 and P3 (This group controls 55 votes). • P2 and P3 (This group controls 51 votes). • P1 , P2 and P3 (This group controls all of the votes).

44. טרמינולוגיה • קואליציה – קבוצת שחקנים המאחדים כוחות לצורך הצבעה • משקל הקואליציה (weight of the coalition) מספר הקולות הכולל הנשלט על-ידי הקואליציה • winning coalitions – הקואליציות המסוגלות להעביר החלטה • Losing coalitions – הקואליציות שאינן מסוגלות להעביר החלטה • grand coalition – קואליציה המורכבת מכל השחקנים • critical player – שחקן שבלעדיו ה- winning coalition הופכת להיות losing coalition

45. דוגמה [ 51 : 49, 45, 6 ] במקרה שלנו כל שחקן הוא critical-player בשתי קואליציות מנצחות (מתוך 6 בסה"כ), ולכן הכוח (power) של כל שחקן הוא 1/3

46. The Banzhaf Power Index • הרעיון המרכזי: ה- power של שחקן פרופורציונאלי למספר הקואליציות בהן הוא קריטי • חישוב: • צור את רשימת כל הקואליציות האפשריות • קבע אלו קואליציות הן winning coalitions • קבע אלו שחקנים הם שחקנים קריטיים לכל winning coalition • חשב B = מספר הקואליציות שבהן שחקן P הוא קריטי • חשב T = מספר הפעמים הכולל שבהם שחקן כלשהו היה שחקן קריטי • ה- Banzhaf Power Index מתקבל כחלוקה של B ב- T. • רשימת ה- power של השחקנים השונים נקראת Banzhaf power distribution

47. דוגמה [ 10 : 6, 5, 4 ] The Banzhaf Power Index for each player is: P1 : 3/5 P2 : 1/5 P3 : 1/5

48. Shapley-Shubik Power Index • חישוב הכוח (power) של קואליציה בשיטת Banzhaf Index לא מתחשב בסדר בו השחקנים מצביעים • כלומר, {P1 ,P2} ו- {P2 ,P1} הן אותן קואליציה • ה- Shapley-Shubik Power Index הוא מדד כוח שמתאים ל- sequential coalitions (קואליציות שבהן הסדר שבו מצטרפים השחקנים לקואליציה) • לדוגמה, כאשר יש לנו שלושה שחקנים P1 ,P2 ,P3 הרי שיש לנו 6 sequential coalitionsאפשריות • ובאופן כללי, עבור N שחקנים יש N!sequential coalitions

49. Shapley-Shubik Power Index • עבור כלwinningsequential coalition נגדיר את ה- pivotal player, שחקן שבהצטרפותו הפך את הקואליציה מקואליציה מפסידה לקואליציה מנצחת • באמצעות ה- pivotal player יחושב ה- Shapley-Shubik Power Index • דוגמה: [10: 6, 5, 4] Sequential Coalition Pivotal Player P1 , P2, P3  P2 P1 , P3, P2  P3 P2 , P1, P3  P1 P2 , P1, P3  P1 P3 , P1, P2  P1 P3 , P2, P1  P1 • Shapley-Shubik Power P1 : 4/6P2 : 1/6P3 : 1/6

50. Shapley-Shubik Power Index • חישוב האינדקס עבור שחקן P: • צור רשימה של כל ה-sequential coalitions המכילים N שחקנים • לכל sequential coalition קבע את ה- pivotal player • נסמן ב- S את מספר הפעמים ששחקן P הוא ה- pivotal • האינדקס לשחקן P יחושב כ: S/(N!) • סט ה- Shapley-Shubik Power Indices נקרא Shapley-Shubik power distribution