slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
העדפות והצבעות PowerPoint Presentation
Download Presentation
העדפות והצבעות

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 166

העדפות והצבעות - PowerPoint PPT Presentation


  • 135 Views
  • Uploaded on

העדפות והצבעות. מבוסס על: Peter Tannenbaum , Excursions in Modern Mathematics. Voting Video. Preference Ballot. תהליך הצבעה שבו כל אחד מהבוחרים מדרג את המועמדים לבחירה לפי סדר העדיפויות שלו. דוגמה.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'העדפות והצבעות' - amarante


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

העדפות והצבעות

מבוסס על:

Peter Tannenbaum, Excursions in Modern Mathematics

preference ballot
Preference Ballot
  • תהליך הצבעה שבו כל אחד מהבוחרים מדרג את המועמדים לבחירה לפי סדר העדיפויות שלו
slide4
דוגמה
  • במחצית שנות השמונים, החלה הטלביזיה החינוכית לתגמל את כוכבי התוכנית "פרפר נחמד" במניות כתחליף למשכורת
  • לאט לאט, צברו הכוכבים אחיזה בחברה עד שיום אחד הודיעו כי בכוונתם למנות נציג מטעמם בדירקטוריון
  • בהתייעצות פנימית הוחלט לבחור את הנציג באמצעות preference ballot – הצבעה בה המצביעים מדרגים את המתמודדים על-פי סדר ההעדפה
slide5
דוגמה (המשך)
  • בהצבעה שקיימו התקבלו התוצאות הבאות:
slide6
טרנזיטיביות ואלימינציה
  • העדפות המצביע הן טרנזיטיביות – אם מעדיף מועמד A על-פני B ואת B על-פני C, אזי מעדיף A על-פני C
  • כלומר אם נרצה לדעת לאיזה מועמד יצביע מבין שני מועמדים, ניתן פשוט לבדוק מי מדורג גבוה יותר בבחירה שלו
  • גם במקרה שאחד המועמדים פורש מן המירוץ, ההעדפות היחסיות של הבוחר אינן משתנות
plurality
בחירה על-פי Plurality
  • בשיטת ה- plurality זוכה המועמד אשר קיבל את המספר הרב ביותר של קולות במיקום הראשון (בעדיפות ראשונה)
  • מדובר בהרחבה של קונספט הרוב (majority rule) על-פיו בבחירה בין שני מועמדים זוכה המועמד עם רוב הקולות (majority):
    • Majority Criterion – אם בחירה מסויימת מקבלת את מירב (majority) ההצבעות במקום הראשון בבחירות אזי בחירה זו היא הזוכה בבחירות
majority
קריטריון ה- Majority
  • אם בחירה מסויימת מקבלת רוב (majority) של הצבעות במקום ראשון אולם לא זוכה אזי קריטריון ה- majority מופר
  • האם שיטת ה- plurality מקיימת את קריטריון ה- majority?
  • כן. מכיוון שלמועמד עם רוב (majority) של קולות בעדיפות ראשונה יש בהכרח גם רוב מסוג plurality
  • אז מה הבעיה העיקרית של עיקרון ה- plurality?
slide9
דוגמה (המשך)
  • בהצבעה שקיימו התקבלו התוצאות הבאות:
condorcet
קריטריון ה- Condorcet
  • אם קיימת בחירה שבהשוואה בזוגות (head-to-head) מנצחת כל בחירה אחרת אזי בחירה זו צריכה להיות המנצחת בבחירות
  • מועמד הזוכה בכל השוואת head-to-head מול כל המועמדים האחרים נקרא Condorcet candidate
  • שיטת ה- plurality לא מקיימת את עיקרון ה- condorcet

marquis de Condorcet (17 September 1743 – 28 March 1794)

borda count
שיטת ה- Borda Count
  • הרעיון – הקצה נקודות לכל דירוג (ranking) ב- ballot
  • המועמד עם מספר הנקודות הגבוה ביותר זוכה בבחירות
  • השיטה מבטיחה שהזוכה הוא הפשרה הטובה ביותר
  • אם יש לנו בחירות עם N מועמדים, ניתן נקודה להעדפה האחרונה, 2 נקודות להעדפה הלפני האחרונה וכו'. עדיפות ראשונה תקבל N נקודות
slide12
דוגמה (המשך)

נסכום את הנקודות:

שבי 21(4) + 15(1) + 12(1) +7(1) = 118בץ 21(3) + 15(3) + 12(2) + 7(4) = 160נולי 21(2) + 15(4) + 12(3) + 7(2) = 152אוזה 21(1) + 15(2) + 12(4) + 7(3) = 120

borda count1
שיטת ה- Borda Count (המשך)
  • מה הבעיה בשיטה?

חביתוש18(4) + 6(1) + 9(1) = 87רגע9(4) + 18(3) + 6(2) = 102

borda count2
שיטת ה- Borda Count (המשך)
  • מה הבעיה בשיטה?
  • מפרה את ה- majority criterion
  • ... וגם את ה- condorcet criterion
runoff voting
Runoff Voting
  • בהרבה מקרים נדרש המועמד לקבל את רוב הקולות (majority) על-מנת להיבחר
  • כאשר יש יותר משני מועמדים, הדבר הרבה פעמים לא קורה והפיתרון לרוב הוא להוציא את המועמד/ים שקיבל/ו הכי פחות קולות בעדיפות ראשונה ולקיים runoff election
  • מכיוון שקיום תהליך בחירות הוא לרוב תהליך יקר, ניתן להשתמש ב- preference ballots על-מנת לשפר את ה- runoff
instant runoff voting
Instant Runoff Voting
  • השיטה נקראת גם plurality-with-eliminationmethod
  • שלב ראשון – ספור את הצבעות ההעדפה הראשונה של כל מועמד. אם למועמד יש רוב (majority) של הצבעות עדיפות ראשונה אזי הוא המנצח. אחרת, הוצא את המועמד עם הכי פחות הצבעות עדיפות ראשונה.
  • שלב שני – ספור מחדש את קולות העדיפות הראשונה. במידה וקיים מועמד בעל רוב (majority) של הצבעות עדיפות ראשונה, הכרז עליו כמנצח. אחרת, הוצא את המועמד עם הכי פחות הצבעות עדיפות ראשונה.
  • שלב שלוש, ארבע וכו' - חזור על התהליך עד שיימצא מועמד בעל רוב (majority) של הצבעות עדיפות ראשונה.
slide17
דוגמה

סיבוב ראשון – יש להשיג לפחות 28 הצבעות עדיפות ראשונה עבור מועמד לצורך majority.מכיוון שאין מועמד עם כמות כזו של הצבעות, נוריד את בץ מרשימת המועמדים

slide18
דוגמה

סיבוב שני – יש להשיג לפחות 28 הצבעות עדיפות ראשונה עבור מועמד לצורך majority. מכיוון שאין מועמד עם כמות כזו של הצבעות, נוריד את נולי מרשימת המועמדים

slide19
דוגמה

סיבוב שלישי – כעת לאוזה 34 קולות של עדיפות ראשונה והיא זוכה בבחירות

plurality with elimination
Plurality-with-Elimination
  • מה הבעיה בשיטה?
  • לפי שיטת ה- plurality with elimination יש צורך ברוב של 15 ולכן נוציא את R
plurality with elimination1
Plurality-with-Elimination
  • כעת נניח ש- 4 מהמצביעים שהתכוונו להצביע ל- A בעדיפות ראשונה מגלים ש- C הולך לנצח ולכן משנים את הצבעת העדיפות הראשונה שלהם ל- C
  • לפי שיטת ה- plurality with elimination יש צורך ברוב של 15 ולכן נוציא את A
plurality with elimination2
Plurality-with-Elimination
  • כעת זכה בבחירות R
  • הדבר סותר את ה- The Monotonicity Criterion:
    • אם הבחירה X צפויה לזכות בבחירות וכל מה שמשתנה ב- ballot הוא גידול במספר הבוחרים שמעדיפים X בעדיפות ראשונה אזי X צריך להישאר הבחירה המנצחת
  • בנוסף, גם עיקרון ה- Condorcet לא מתקיים (אוזה נבחרה במקום בץ)
pairwise comparisons
Pairwise Comparisons
  • הרעיון – קיים טורניר round-robin שבו כל מועמד מתמודד מול כל מועמד אחר ב- one-on-one
  • כל התמודדות one-on-one כזאת תיקרא pairwise comparison
  • בהתמודדות one-on-one זוכה מי שמועדף על-פני השני אצל יותר בוחרים
  • כל ניצחון one-on-one מזכה את המועמד בנקודה (תיקו מזכה בחצי נקודה)
pairwise comparisons1
Pairwise Comparisons

בץ – 3 נקודות

שבי – 0 נקודות

נולי – 2 נקודות

אוזה – נקודה אחת

שבי נגד בץ – 21 מול 34 – בץ זוכה בנקודה

שבי נגד נולי – 21 מול 34 – נולי זוכה בנקודה

שבי נגד אוזה – 21 מול 34 – אוזה זוכה בנקודה

בץ נגד נולי – 28 מול 27 – בץ זוכה בנקודה

בץ נגד אוזה – 43 מול 12 – בץ זוכה בנקודה

נולי נגד אוזה – 36 מול 19 – נולי זוכה בנקודה

pairwise comparisons2
Pairwise Comparisons
  • השיטה מקיימת:
    • The Majority Criterion
    • The Condorcet Criterion
    • The Monotonicity Criterion
  • מה הבעיה בשיטה?
slide26
דוגמה

A versus B: 14 votes to 30 votes. B gets 1 point.A versus C: 32 votes to 12 votes. A gets 1 point.A versus D: 26 votes to 18 votes. A gets 1 point.A versus E: 36 votes to 8 votes. A gets 1 point.B versus C: 20 votes to 24 votes. C gets 1 point.B versus D: 22 votes to 22 votes. B and D get 1/2 point.B versus E: 28 votes to 16 votes. B gets 1 point.C versus D: 24 votes to 20 votes. C gets 1 point.C versus E: 20 votes to 24 votes. E gets 1 point.D versus E: 36 votes to 8 votes. D gets 1 point.

A - 3 pointsB - 2 1/2 pointsC - 2 pointsD - 1 1/2 pointsE - 1 point. . .and A is the winner of the election

slide27
דוגמה (המשך)
  • כעת נניח ש- C החליט לפרוש מהמירוץ לקראת סיומו:

A versus B: 14 votes to 30 votes. B gets 1 point.A versus D: 26 votes to 18 votes. A gets 1 point.A versus E: 36 votes to 8 votes. A gets 1 point.B versus D: 22 votes to 22 votes. B and D get 1/2 point.B versus E: 28 votes to 16 votes. B gets 1 point.D versus E: 36 votes to 8 votes. D gets 1 point.

A - 2 pointsB - 2 1/2 pointsD - 1 1/2 pointsE - 0 points

the independence of irrelevant alternatives criterion
The Independence-of-Irrelevant-Alternatives Criterion
  • אם בחירה X היא הזוכה בבחירות ואחת (או יותר)מהבחירות האחרות נפסלת וה- ballot נספר מחדש, אזי X עדיין צריך להיות המנצח בבחירות
  • ה- Pairwise Comparisons לא מקיים את ה- Independence-of-Irrelevant-Alternatives Criterion
rankings
בחירות עם Rankings
  • לעיתים קרובות יש חשיבות גם לדירוג כללי של המועמדים (למשל בפריימריז למפלגה, הראשון יהיה מועמד לראש הממשלה ול- 30 הבאים בדירוג יש סיכוי להיבחר לכנסת)
  • את כל השיטות שלמדנו עד עכשיו אפשר להרחיב גם ל- ranking
extended plurality method
Extended Plurality Method
  • נניח שאנחנו מצביעים לתפקידים ראש ממשלה, ס' ראש הממשלה ושר האוצר:

משרהמקוםמועמד הצבעותראש ממשלהראשוןשבי 21ס' ראש ממשלהשנינולי 15שר אוצר שלישיאוזה 12ללא תפקיד רביעיבץ 7

extended borda count method
Extended Borda Count Method

משרהמקוםמועמד הצבעותראש ממשלהראשוןשבי 21ס' ראש ממשלהשנינולי 15שר אוצר שלישיאוזה 12ללא תפקיד רביעיבץ 7

משרהמקוםמועמד נקודותראש ממשלהראשוןבץ160ס' ראש ממשלהשנינולי 152שר אוצר שלישיאוזה120ללא תפקיד רביעישבי118

extended plurality with elimination instant runoff
Extended Plurality-with-Elimination (Instant-Runoff)
  • נדרג מועמדים על-בסיס מתי הם מוצאים מהמירוץ
  • הבחירה הראשונה שנוציא מהמירוץ היא האחרונה בדירוג, וכו'

משרהמקוםמועמד יצא בסיבובראש ממשלהראשוןאוזה---ס' ראש ממשלהשנישבי שלישישר אוצר שלישינולישניללא תפקיד רביעיבץראשון

extended pairwise comparison method
Extended Pairwise ComparisonMethod
  • הדירוג יהיה על-פי מספר הנקודות:

משרהמקוםמועמד ניקודראש ממשלהראשוןבץ3ס' ראש ממשלהשנינולי 2שר אוצר שלישיאוזה1ללא תפקיד רביעישבי0

recursive ranking methods
Recursive Ranking Methods
  • ניתן להשתמש בכל אחת מ- 4 השיטות על-מנת לדרג מועמדים בצורה רקורסיבית
  • הרעיון – אם אנו משתמשים בדרך מסויימת לקביעת המנצח, לאחר קביעת המנצח נוכל להוציאו מההצבעה ולמצוא את המנצח בהצבעה ה"חדשה". המנצח בהצבעה החדשה ידורג שני. נחזור על התהליך עד שדורגו כל המועמדים
recursive plurality with elimination method
Recursive Plurality-with-Elimination Method
  • מקום ראשון – אוזה (תוצאה שקיבלנו כשהוצג Plurality-with-Elimination)
  • מקום שני - נולי
weighted voting systems
Weighted Voting Systems
  • עד כה הנחנו שכל הקולות שווים (one voter one vote)
  • בהרבה מקרים מתקיים מצב של weighted voting שבו למצביעים שונים משקל שווה (one voter – x votes)
  • מערכת מסוג זה נקראת weighted voting system
  • לשם פשטות הניתוח נתרכז במצבים בהם עומדים רק שני מועמדים לבחירה
weighted voting systems1
Weighted Voting Systems
  • מורכבת מ:
    • שחקנים – קבוצת המצביעים

P1,…,PN

    • משקלות weights)) – מספר הקולות שבשליטת כל שחקן

w1,…,wN

    • Quota (q) – המספר המינימלי של קולות הנדרשים לצורך הבחירה:
  • ניתן לייצג את המערכת כ:

[ q : w1 , w2 , w3 , . . . , wN]

slide40
דוגמאות
  • דוגמה 1 - לחברה מסויימת ארבעה בעלי מניות:

[ 2/3 : 8, 4, 2, 1 ]

  • דוגמה 2 - לחברה מסויימת ארבעה בעלי מניות:

[ 1/2 : 6x, 2x, x, x ]

    • בדוגמה 2, שחקן P1 יכונה "דיקטטור" משום שהוא יכול להעביר כל החלטה שירצה
    • באופן פורמאלי, שחקן שיש לו לפחות q ממשקל הקולות יכונה "דיקטטור"
    • קיום הדיקטטור הופך את כל יתר השחקנים ללא רלוונטיים (dummy)
veto power
Veto Power
  • מדוגמה 1 ניתן לראות שללא תמיכת שחקן P1 לא ניתן להעביר החלטה
  • P1 איננו דיקטטור משום שיצטרך שלפחות עוד שחקן אחד מלבדו בהחלטה שיבחר
  • לשחקן שאיננו דיקטטור, אולם יכול לחסום כל הצבעה, יש את כוח הוטו (veto power)
slide42
הקשר בין כמות הקולות לכוח
  • במדינה מסויימת מורכב בית הנבחרים מ- 100 נבחרים בעלי זכות הצבעה שווה.
  • החלטות מתקבלתות על-פי רוב של 51
  • 55 מהנבחרים שייכים למפלגה א', 45 למפלגה ב'
  • כעת נניח ש- 6 נבחרים ממפלגה א' מחליטים לערוק ולהקים מפלגה חדשה, מפלגה ג':

[ 51 : 49, 45, 6 ]

  • למרות שלמפלגות א' ו- ב' יש יותר קולות, נראה שלמפלגה ג' יש לפחות את אותו הכוח...
slide43
אלו שחקנים יכולים לחבור על-מנת להעביר החלטה?

[ 51 : 49, 45, 6 ]

  • P1 and P2 (This group controls 94 votes).
  • P1 and P3 (This group controls 55 votes).
  • P2 and P3 (This group controls 51 votes).
  • P1 , P2 and P3 (This group controls all of the votes).
slide44
טרמינולוגיה
  • קואליציה – קבוצת שחקנים המאחדים כוחות לצורך הצבעה
  • משקל הקואליציה (weight of the coalition) מספר הקולות הכולל הנשלט על-ידי הקואליציה
  • winning coalitions – הקואליציות המסוגלות להעביר החלטה
  • Losing coalitions – הקואליציות שאינן מסוגלות להעביר החלטה
  • grand coalition – קואליציה המורכבת מכל השחקנים
  • critical player – שחקן שבלעדיו ה- winning coalition הופכת להיות losing coalition
slide45
דוגמה

[ 51 : 49, 45, 6 ]

במקרה שלנו כל שחקן הוא critical-player בשתי קואליציות מנצחות (מתוך 6 בסה"כ), ולכן הכוח (power) של כל שחקן הוא 1/3

the banzhaf power index
The Banzhaf Power Index
  • הרעיון המרכזי: ה- power של שחקן פרופורציונאלי למספר הקואליציות בהן הוא קריטי
  • חישוב:
    • צור את רשימת כל הקואליציות האפשריות
    • קבע אלו קואליציות הן winning coalitions
    • קבע אלו שחקנים הם שחקנים קריטיים לכל winning coalition
    • חשב B = מספר הקואליציות שבהן שחקן P הוא קריטי
    • חשב T = מספר הפעמים הכולל שבהם שחקן כלשהו היה שחקן קריטי
    • ה- Banzhaf Power Index מתקבל כחלוקה של B ב- T.
  • רשימת ה- power של השחקנים השונים נקראת Banzhaf power distribution
slide47
דוגמה

[ 10 : 6, 5, 4 ]

The Banzhaf Power Index for each player is:

P1 : 3/5 P2 : 1/5 P3 : 1/5

shapley shubik power index
Shapley-Shubik Power Index
  • חישוב הכוח (power) של קואליציה בשיטת Banzhaf Index לא מתחשב בסדר בו השחקנים מצביעים
    • כלומר, {P1 ,P2} ו- {P2 ,P1} הן אותן קואליציה
  • ה- Shapley-Shubik Power Index הוא מדד כוח שמתאים ל- sequential coalitions (קואליציות שבהן הסדר שבו מצטרפים השחקנים לקואליציה)
    • לדוגמה, כאשר יש לנו שלושה שחקנים P1 ,P2 ,P3 הרי שיש לנו 6 sequential coalitionsאפשריות
    • ובאופן כללי, עבור N שחקנים יש N!sequential coalitions
shapley shubik power index1
Shapley-Shubik Power Index
  • עבור כלwinningsequential coalition נגדיר את ה- pivotal player, שחקן שבהצטרפותו הפך את הקואליציה מקואליציה מפסידה לקואליציה מנצחת
  • באמצעות ה- pivotal player יחושב ה- Shapley-Shubik Power Index
  • דוגמה: [10: 6, 5, 4]

Sequential Coalition Pivotal Player P1 , P2, P3  P2 P1 , P3, P2  P3 P2 , P1, P3  P1 P2 , P1, P3  P1 P3 , P1, P2  P1 P3 , P2, P1  P1

  • Shapley-Shubik Power P1 : 4/6P2 : 1/6P3 : 1/6
shapley shubik power index2
Shapley-Shubik Power Index
  • חישוב האינדקס עבור שחקן P:
    • צור רשימה של כל ה-sequential coalitions המכילים N שחקנים
    • לכל sequential coalition קבע את ה- pivotal player
    • נסמן ב- S את מספר הפעמים ששחקן P הוא ה- pivotal
    • האינדקס לשחקן P יחושב כ: S/(N!)
  • סט ה- Shapley-Shubik Power Indices נקרא Shapley-Shubik power distribution
fair division
Fair-Division
  • משחק מסוג fair-division מורכב מהאלמנטים הבאים:
    • קבוצת המשאבים לחלוקה – S:
      • אובייקט מוחשי (פיצה) או לא מוחשי (למשל זכויות קידוח/שידור)
      • בעלי ערך חיובי או שלילי (למשל שיעורי בית)
    • קבוצת שחקנים P1 , P2, P3 , . . . , , PN
      • עליהם מוטלת המטלה לחלק את S
    • ערך כל משאב לכל שחקן
  • המשחק יסתיים עם חלוקה של S לאחר פרק זמן סופי של צעדים
fair division1
Fair-Division
  • הנחות על התנהגות השחקנים:
    • כל שחקן מסוגל להעריך את השווי של S וכל חלק (נתח) אפשרי שלו
    • שיתוף פעולה – השחקנים מסכימים להשתתף במשחק ומקבלים את חוקי המשחק, אין שחקנים חיצוניים (למשל שופט או ממשלה)
    • רציונאליות – השחקנים רציונליים לחלוטין
    • פרטיות – לשחקנים אין שום מידע "פנימי"לגבי התנהגות, העדפות, הערכות שווי ומהלכי המשחק הבאים של השחקנים האחרים
  • לשחקנים זכות שווה בהחלטה על החלוקה של S
fair division2
Fair-Division
  • המטרה האולטימטיבית: למצוא שיטת חלוקה הוגנת (fair)
  • שיטת חלוקה תיקרא "הוגנת" אם תחת ההנחות לעיל מובטח כי לכל שחקן תהיה הזדמנות לקבל נתח הוגן (fair share) של S
  • הגדרתfair share : בהינתןN שחקנים, נתח s מתוך S יחשב כהוגן (fair) לשחקן P אם שוויו לשחקן הוא לפחות 1/N מהשווי הכולל של S ל- P
    • בעייתי כאשר סכום ערך הנתחים הבדידים קטן מערך העוגה כולה
fair division games
Fair-Division Games
  • ישנם שלושה סוגים של fair-division games:
    • רציפים – הסט S הוא בר חלוקה באינסוף דרכים (אדמה, עוגה, פיצה)
    • בדידים – הסט S מורכב מאוביקטים שאינם ניתנים לחלוקה (ממתקים, תכשיטים, כרטיסים למופעים)
    • מעורבים – חלק מהאוביקטים ב- S הם רציפים, בעוד אחרים בדידים (ירושה)
slide55
דוגמה
  • שלושה שחקנים צריכים לחלק ביניהם עוגה.
  • נניח שהעוגה מחולקת ל- 3 חלקים: s1, s2, s3
  • הערך של כל אחד מהחלקים (ושל העוגה כולה) לכל אחד מהשחקנים נתון בטבלה
  • איזה מכל החלקים הוא fair share עבור כל אחד מהשחקנים?
the divider chooser method
The Divider-Chooser Method
  • הרעיון:"אתה תחתוך ואני אבחר"
  • בהינתן שני שחקנים, אחד השחקנים יקבל תפקיד של divider והאחר תפקיד של chooser
  • ה- divider יחלק את הסט S לשני חלקים
  • ה- chooser יבחר אחד החלקים כרצונו
  • עבור משחקים רציפים מבטיח שכל שחקן יקבל לפחות fair share
slide57
דוגמה
  • בוב ואליס זכו בפיצה (חצי עם תוספת פטריות וחצי בצל)
  • בוב אוהב את שני סוגי התוספות באותה מידה ומעריך את הפיצה כולה ב- 8 דולר
  • אליס לא סובלת בצל ומבחינתה כל החלק המכוסה בצל שווה אפס. היא מעריכה את הפיצה כולה ב- 5 דולר
slide58
דוגמה (המשך)
  • נניח שבוב נבחר להיות ה- divider:
    • מבחינת בוב, כל שני חלקים באותו גודל יבטיחו לו fair share, קרי ערך של 4 דולר
    • נניח שבוב חילק את הפיצה כך ש- ¾ מאחד החלקים מכוסה בבצל ו- ¼ מהחלק האחר מכוסה בבצל
    • במקרה זה, אליס תבחר את החלק שיש בו יותר פטריות, והערך עבורה הוא 3.75 (יותר מחצי מערך הפיצה כולה עבורה)
    • שני הצדדים השיגו fair share
slide59
דוגמה (המשך)
  • אם בוב היה מחלק כך שחצי אחד היה כולו בצל (והשני כולו פטריות), אליס היתה מרויחה יותר ובוב לא היה נפגע כלל
  • זה לא רלבנטי ל- fair share (לא מנסים להבטיח חלוקה אופטימלית אלא רק fairness)
  • מה היה קורה אם אליס היתה נבחרת להיות ה- divider?
    • היתה בוחרת חלוקה אחת מבין הרבה חלוקות אפשריות (אבל לא את החלוקה שבוב ביצע!) שמבטיחות לה fair share
    • חלוקה שמבטיחה לאליס fair share היא כזאת שכל חלק מכיל בדיוק חצי מתוספת הפטריות בפיצה כולה
    • חלוקה אפשרית – רבע פיצה המכוסה כולו בפטריות, ו- ¾ פיצה ש- 1/3 ממנו מכוסה בפטריות
    • במקרה כזה הערך של בוב מהחלק שלו הוא 6 והערך לאליס הוא 2.5.
slide60
דוגמה (המשך)
  • ניתן לראות מהדוגמה שה- divider תמיד מקבל בדיוק את ה- fair share וה- chooser מקבל יותר מ- fare share
  • כלומר, על-מנת להיות fair ככל האפשר יש לבחור באופן רנדומלי את ה- divider (למשל, הטלת מטבע)
the lone divider method
The Lone-Divider Method
  • הוצע כהרחבה של divider chooser ב- 1943 ע"י Steinhaus, ובהמשך הורחב ע"י Kuhn ל- N שחקנים
  • הרעיון:
    • אחד השחקנים ייבחר באופן אקראי להיות ה- divider (יסומן D) ושני השחקנים האחרים יהיו choosers (C1 ו- C2)
the lone divider method1
The Lone-Divider Method
  • שלב 1:
    • ה- divider מחלק את העוגה ל- 3 חלקים: (s1, s2,and s3).
  • שלב 2:
    • שני ה- choosers מכריזים במקביל איזה משלוש החלקים הוא fair share עבורם (יכול להיות יותר מחלק אחד לכל chooser)
    • בעקבות ההכרזה, כל חלק מסווג כ- C-piece (הוכרז על-ידי לפחות chooser אחד) ו- U-piece (לא הוכרז על-ידי אף אחד מה- choosers)
the lone divider method2
The Lone-Divider Method
  • שלב 3:
    • אפשרות א':
      • כאשר יש שתיים או יותר C-pieces, נותנים שתיים מהן ל- chooser (עם אפשות להחלפה ביניהם) והחלק הנותר ל- divider
      • מבטיח fair division
    • אפשרות ב':
      • כאשר יש C-piece אחת בלבד יש לנו בעיה משום שאז שני ה- choosers רואים באותו חלק את ה- fair share
the lone divider method3
The Lone-Divider Method
  • אפשרות ב' (המשך):
    • במקרה כזה קודם כל ניתן ל- dividerאת אחד החלקים שלא נבחרו
    • כעת נחבר את שני החלקים שנשארו ונקבל חלק אחד – B
    • את B נחלק בשיטת ה- divider-chooser
    • האם מבטיח חלוקה הוגנת?
    • כן. D קיבל fair share מעצם זה שהיה ה- divider. שני השחקנים האחרים חילקו ביניהם את החלק B שמבחינתם היה שווה כולו יותר משני שליש מהעוגה. החלוקה שביצעו ל- B היתה fair division
slide65

Lone Divider with 3 Players (Case 1, Version 1)

דייל, סינדי ושר מחלקים ביניהם עוגה בשיטת ה- lone-divider. הם מטילים קוביה על-מנת להחליט מי יהיה ה- divider ונקבע כי יהיה זה דייל

Step 1 (Division)

דייל מחלק את העוגה ל- 3 חלקים s1, s2, s3

ניתן לייצג את הערך של כל חלק בעיני כל אחד מהשחקנים באמצעות טבלה

slide66

Lone Divider with 3 Players (Case 1, Version 1)

Step 2 (Bidding)

באופן טבעי ה- bid של סינדי ושל שר יהיה {s1, s3}

slide67

Lone Divider with 3 Players (Case 1, Version 1)

Step 3 (Distribution)

ה- c-pieces הם s1 ו- s3

כל אחת משתי ההקצאות האפשריות של חלקים אלו בין שתיהן היא לגיטימית

דייל יקבל את s2

slide68

Lone Divider with 3 Players (Case 1, Version 2)

Step 2 (Bidding)

הפעם ה- bid של סינדי יהיה s2 ושל שר s1

הפעם ערך החלקים שחילק דייל שונה

slide69

Lone Divider with 3 Players (Case 1, Version 2)

Step 3 (Distribution)

זהו המצב הפשוט ביותר לחלוקה – קיימת רק חלוקה אחת ישימה

slide70

Lone Divider with 3 Players (Case 1, Version 3)

Step 2 (Bidding)

הפעם ה- bid של סינדי ושר יהיה s3

שוב, ערך החלקים שחילק דייל שונה

slide71

Lone Divider with 3 Players (Case 1, Version 3)

Step 3 (Distribution)

הפעם החלוקה יותר מסובכת. ניתן ל- divider את אחד החלקים שלא נבחרו (למשל s1).

נאחד את שני החלקים s2ו-s3 על-מנת ליצורB-piece שתחולק בין סינדי ושר באמצעות שיטת ה- divider-chooser

לאחר השלב האחרון, סינדי תקבל חלק עוגה ששווה עבורה לפחות 40% מהעוגה כולה (משום שה- B-piece שווה לה 80%) ושר תקבל לפחות 45% (משום שה- B-piece שווה לה 90%)

slide72
הרחבה ל- N שחקנים
  • שני השלבים הראשונים – ללא שינוי
  • שלב 1 – ה- divider מחלק ל- N חלקים s1, s2, s3, ..., sNומבטיח לעצמו fair share
  • שלב 2 – כל chooser מכריז אלו חלקים הם fair share עבורו
  • שלב 3:
    • אפשרות א' – אם ניתן לפי הכרזות ה- chooser לחלק לכל אחד fair share, מתבצעת חלוקה כזאת (עם אפשרות החלפה בסוף) וה- divider מקבל אחרון
slide73
הרחבה ל- N שחקנים
  • שלב 3:
    • אפשרות ב' – יש לנו k שחקנים מסוג chooser שבחרו כולם באותה קבוצה של פחות מ- k חלקים
      • שחקנים אלו יופרדו משאר הקבוצה
      • יתר השחקנים יקבלו את ה- fair share שלהם
      • החלקים שנשארו יאוחדו והתהליך יחל מחדש
slide74

Lone Divider with 4 Players (Case 1)

We have one divider, Demi, and three choosers, Chan, Chloe, and Chris.

Step 1 (Division)

slide75

Lone Divider with 4 Players (Case 1)

Step 2 (Bidding)

Chan’s bid list is {s1, s3}; Chloe’s bid list is {s3}only; Chris’s bid list is {s1, s4}.

Step 3(Distribution)

The bid lists are opened. It is clear that forstarters Chloe must get s3 – there is no other option. This forcesthe rest of the distribution: s1 must then go to Chan, and s4 goes to Chris. Finally, we give the last remaining piece, s2, toDemi.

slide76

Lone Divider with 4 Players (Case 2)

Once again, we will let Demi be the divider and Chan, Chloe, and Chris be thethree choosers (same players, different game).

Step 1 (Division)

slide77

Lone Divider with 4 Players (Case 2)

Step 2 (Bidding)

Chan’s bid list is {s4}; Chloe’s bid list is {s2, s3}only; Chris’s bid list is {s4}.

Step 3(Distribution)

The bid lists are opened, and the players cansee that there is a standoff brewing on the horizon–Chan andChris are both bidding for s4. The first step is to set aside and assign Chloe and Demi a fair share from s1, s2, and s3. Chloe couldbe given either s2 or s3. (She would rather have s2,of course, butit’s not for her to decide.)

slide78

Lone Divider with 4 Players (Case 2)

Step 3(Distribution)

A coin toss is used to determine whichone. Let’s say Chloe ends up with s3 (bad luck!). Demi could benow given either s1 or s2. Another coin toss, and Demi ends upwith s1. The final move is ... you guessed it!– recombine s2 and s4 into a single piece to be divided between Chan and Chris usingthe divider-chooser method.

slide79

Lone Divider with 4 Players (Case 2)

Step 3(Distribution)

Since (s2+ s4) is worth 60% to Chanand 58% to Chris (you can check it out in Table 3-5), regardless ofhow this final division plays out they are both guaranteed a final share worthmore than 25% of the cake.

Mission accomplished! We have produced a fair division of the cake.

the lone chooser method
The Lone-Chooser Method
  • שיטת חלוקה שהוצעה על-ידי A.M.Fink בשנת 1964
  • בשיטה זו, אחד השחקנים משחק את תפקיד ה- chooser(C) בעוד שני השחקנים האחרים משחקים את ה- dividers (D1 ו- D2)
  • התפקידים נבחרים בצורה אקראית
the lone chooser method1
The Lone-Chooser Method
  • שלב 1:
    • D1 and D2מחלקים את S לשני חלקים באמצעות divider-chooser ביניהם
    • נסמן ב- s1 את החלק שמקבל D1 בסופו של דבר וב- s2 את החלק של D2
the lone chooser method2
The Lone-Chooser Method
  • שלב 2:
    • כל dividerמחלק את החלק שלו לשלושה חלקים:
      • D1מחלק את s1 לחלקים: s1a, s1b, and s1c
      • D2מחלק את s2 לחלקים: s2a, s2b, and s2c
the lone chooser method3
The Lone-Chooser Method
  • שלב 3:
    • ה- chooser כעת בוחר אחד מהחלקים של D1ואחד מהחלקים של D2
    • כל אחד מה- dividers משאיר בידו את החלקים שלא נבחרו
the lone chooser method4
The Lone-Chooser Method
  • מדוע זה fair share של S?
    • D1 בסופו של דבר מסיים עם 2/3 של s1.
    • מכיוון שעבור D1, s1 שווה לפחות חצי מהסך הכולל של S, הרי ש- 2/3 מ- s1 הוא לפחות שליש מהסך הכולל
    • כנ"ל לגבי D2
    • לגבי ה- chooser, ידוע כי הוא קיבל משהו שהוא מעריך כלפחות 1/3 מ- s1 ולפחות שליש מ- s2
    • מכיוון שסכום (s1 + s2) שווה ל- S, הרי שקיבל לפחות 1/3 מ- S
slide85

Lone Chooser with 3 Players

David, Dinah, and Cher are dividing an orange-pineapple cake using the lone-chooser method. The cake is valued by each of them at $27, soeach of them expects to end up with a share worth at least $9.Their individual value systems (not known to one another, but available to usas outside observers) are as follows:

slide86

Lone Chooser with 3 Players

■David likes pineapple and orange the same.

■Dinah likes orange but hates pineapple.

■Cher likes pineapple twice as much as she likes orange.

slide87

Lone Chooser with 3 Players

After a random selection, Cher gets to be the chooser and thus gets to sit outSteps 1 & 2.

Step 1 (Division)

David and Dinah start by dividing the cake between themselves using the divider-chooser method. After a coin flip, David cuts thecake into two pieces.

slide88

Lone Chooser with 3 Players

Step 1 (Division) continued

Since Dinah doesn’t like pineapple, she will take the share with the most orange.

Step 2 (Subdivision)

David divides his share into three subshares that in hisopinion are of equal value (all thesame size).

slide89

Lone Chooser with 3 Players

Step 2 (Subdivision) continued

Dinah also divides her share into three smaller subshares that inher opinion are of equal value. (Remember that Dinah hatespineapple. Thus, she has made her cuts in such a way as to have one-third ofthe orange in each of the subshares.)

slide90

Lone Chooser with 3 Players

Step 3 (Selection)

It’s now Cher’s turn to choose one sub-share from David’s three and one subshare from Dinah’sthree. She will choose one of the two

pineapple wedges from David’ssubshares andthe big orange-pineapple wedge from Dinah’ssubshares.

slide91

Lone Chooser with 3 Players

Step 3 (Selection)

The final fair division of the cake is shown. David gets a final share worth $9, Dinah gets a finalshare worth $12, and Cher gets a final share worth$14. David is satisfied, Dinah is happy, and Cher isecstatic.

slide92
הרחבה ל- N שחקנים
  • במקרה הכללי:
    • מגדירים Chooser אחד ו- N-1 שחקנים מסוג divider (D1, D2,…, DN–1)
    • ה- chooser נבחר בצורה אקראית (כי מצבו הוא הטוב ביותר)
  • שלב 1: מבצעים fair division את הסט S בין D1, D2,…, DN–1 (כאילו C לא קיים) – כלומר כל שחקן מקבל לפחות 1/(N–1) מ- S
  • שלב 2: כל divider מבצע חלוקה של החלק שלו ל- N חלקים
  • שלב 3: ה- Chooser(C) בוחר חלק אחד מכל אחד מה- dividers
  • מבטיח fair share לכולם
the last diminisher method
The Last-Diminisher Method
  • הוצע על-ידי Banach ו- Knaster ב- 1940
  • מבוסס על הרעיון שבכל שלב במשחק, הסט S מחולק לשני חלקים – חלק שמוקצה לאחד השחקנים, והיתרה המוחזקת במשותף על-ידי שאר השחקנים
  • מהלך המשחק:
    • קביעת סדר משחק (אקראית, לדוגמה באמצעות הטלת קוביה)
    • אנו נניח ששחקן מספר 1 משחק ראשון, 2 שני וכו'.
    • המשחק מתנהל בסבבים כאשר בסוף כל סבב יש שחקן אחד פחות והיתרה לחלוקה מתוך S קטנה
the last diminisher method1
The Last-Diminisher Method
  • סיבוב 1:
    • שחקן P1 מציע חלוקה בגודל 1/N מ- S עבור עצמו
      • החלוקה תהיה בדיוק 1/N על-מנת שאם יקבל את החלק הזה אז שלא יפסיד ואם לא יקבל אז שמישהו אחר לא יקבל יותר
    • שחקן 2 בתורו יכול או לבצע pass או להפחית את החלק לגודל 1/N
    • במידה והפחית, הוא הופך לבעלים החדש של החלק המופחת
the last diminisher method2
The Last-Diminisher Method
  • סיבוב 1 (המשך):
    • כנ"ל מתבצע עם שחקן 3 וכו' עד לשחקן N
    • במידה ושחקן N החליט לעשות pass הופך החלק להיות שייך לשחקן האחרון שחתך והשחקן יוצא מהמשחק
    • אם שחקן N מאמין שהחלק הוא fair share אז יש לו אינטרס להוריד אפס מהחלק
    • בסופו של דבר, נשאר לחלוקה (בעיני השחקנים שנשארו) יותר מ- (N-1)/N <למה?>
the last diminisher method3
The Last-Diminisher Method
  • סיבוב 2:
    • המשחק ממשיך באותה צורה עם N-1 שחקנים
    • הפעם חותך כל שחקן לגודל של 1/(N-1)
  • התהליך חוזר על עצמו בסיבוב 3, 4 וכו'
  • כאשר נשארים לבסוף שני שחקנים, הם מחלקים ביניהם את מה שנשאר בשיטת ה- divider chooser
slide97

The Castaways

A new reality TV show called The Castaways is making its debut this season. Inthe show five contestants (let’s call them P1, P2, P3, P4, and P5) are dropped offon a deserted tropical island in the middle of nowhere and left there for a yearto manage on their own. After one year, the player who has succeeded andprospered the most wins the million-dollar prize. (The producers are countingon the quarreling, double-crossing, and backbiting among the players to makefor great reality TV!)

slide98

The Castaways

In the first episode of the show, the players are instructedto divide up the island among themselves any way they see fit. Instead of quarreling and double-dealing as the producers were hoping for, these five playerschoose to divide the island using the last-diminisher method. This being realityTV, pictures speak louder

slide107

The Castaways

The Final Division of the Island

continuous versus discrete
Continuous versus Discrete
  • עד עכשיו יכולנו לחלק כרצוננו (למשל, אם S רציף)
  • מצב בו S מורכב מפריטים שהם בלתי ניתנים לחלוקה (indivisible) הוא יותר מורכב
    • דוגמה: פריטי אומנות, תכשיטים, ממתקים
    • יוצר פחות גמישות בתהליך החלוקה
    • Fair division יכול להיות מובטח תחת הנחות מחמירות מאוד
sealed bids
Sealed Bids
  • הוצע לראשונה על-ידי Hugo Steinhausו- BronislawKnaster בשנת 1948
slide110

Settling Grandma’s Estate

בצוואה שלה, השאירה סבתא לארבעת נכדיה האהובים: ארט, בטי, קרלה ודייב, שלושה פריטים יקרי ערך: ביקתת נופש בהרים, מכונית רולס רויס מדגם אספנות, וציור של פיקאסו.

התנאי העיקרי של הצוואה הוא שהפריטים יחולקו בצורת fair division ויישארו בידי הנכדים (קרי, לא יימכרו)

במקרה כזה, מהווה שיטת ה- sealed bids דרך אלגנטית לחלוקה.

slide111

Settling Grandma’s Estate

Step 1 (Bidding)

כל אחד מהשחקנים יעביר bid (בדולרים) עבור כל אחד מהפריטים המייצג את ההערכה האוביקטיבית שלו לשווי הפריט עבורו

סוגיית הפרטיות מאוד חשובה כאן, ועל-מנת להבטיח את פעולת המנגנון חשוב שאף שחקן לא יראה את ה- bids של השחקנים האחרים לפני שהוא קובע את ה- bid שלו (ניתן להשתמש ב- sealed envelopes)

slide112

Settling Grandma’s Estate

Step 1 (Bidding)

להלן ה- bids שנתנו הנכדים עבור כל אחד מהפריטים

slide113

Settling Grandma’s Estate

Step 2 (Allocation)

כל אחד משלושת הפריטים ינתן לשחקן שהציע את ה- bid הגבוה ביותר עבורו (במקרה של תיקו ניתן להטיל מטבע).

בדוגמה שלנו, בטי מקבלת את הביקתה, דייב את המכונית, ארט את הפיקאסו וקרלה לא מקבלת אף פריט (בשיטה זו ייתכן ששחקן לא יקבל אף פריט ואילו שחקן אחר יקבל יותר מפריט אחד או אפילו את כל הפריטים)

כעת עוברים לשלב ההעברות הכספיות בין הצדדים

slide114

Settling Grandma’s Estate

Step 3 (First Settlement)

בהתאם לפריטים בהם זכה שחקן, הוא יצטרך לשלם או לקבל כסף מהקופה המרכזית

על מנת לקבוע כמה שחקן חייב או צריך לקבל מחשבים תחילה את ה- fair-dollar share של סכום הפריטים – החישוב נעשה על-ידי סכימת ה- bids של השחקן לכל הפריטים וחלוקה במספר השחקנים

slide115

Settling Grandma’s Estate

Step 3 (First Settlement)

סכום ה- bids של ארט הוא $540,000 כך שה- fair-dollarshare שלו הוא $135,000

מכיוון שארט מקבל את ציור הפיקאסו, עבורו נתן bid של $280,000, הרי שיצטרך לשלם את ההפרש לקופה המרכזית

בצורה זו מובטח כי ארט מקבל fair share מהירושה כולה

slide116

Settling Grandma’s Estate

Betty

ה- fair-dollar share של בטי הוא $130,000. היא מקבלת את הביקתה, ששוויה עבורה הוא $250,000 ולכן היא צריכה לשלם לקופה המרכזית $120,000.

בכך מובטח גם לבטי fair share מהירושה כולה

Carla

ה- fair-dollar share של קרלה הוא $123,000. היא לא מקבלת כלום מהירושה ולכן צריכה להיות מפוצה על-ידי הקופה המרכזית ב- $123,000

בכך מובטח גם לבטי fair share מהירושה כולה

Dave

באופן דומה, דייב צריך לקבל בסופו של דבר $58,000 מהקופה המרכזית

slide117

Settling Grandma’s Estate

בשלב זה, כל אחד מארבעת היורשים קיבל fair share

אולם נשאר לנו כסף בקופה

בסה"כ נשאר לנו: $84,000:

145k+120k-123k-58k=84k

ניתן לחלק היתרה באופן שווה בין כולם.

slide118

Splitting Up the House

אל וברי מחליטים להתגרש.

הרכוש המשותף שלהם הוא הבית

במקום לשכור עורכי דין ולהעביר העניין לבית המשפט הם מסכמים להשתמש בשיטת ה- sealed bids.

אל נותן bid של 340,000$ על הבית וברי $364,000.

ה- fair-dollar shares של הבית הם לפיכך $170,000 ו- $182,000.

מכיוון שברי היא המציע הגבוה יותר, היא מקבלת את הבית

על-פי ה- fair share של ברי היא צריכה לשלם למרכז $182,000 מתוכם $170,000 ישמשו לצורך תשלום לאל

היתרה בסך $12,000 תחולק בין שניהם,כך שכל אחד מהם יוצא עם "רווח" של$6000

the method of markers
The Method of Markers
  • שיטת חלוקה ל- S דיסקרטי שהוצעה על-ידי Lucas בשנת 1975
  • יתרון השיטה – אין כסף חיצוני שמעורב בחלוקה
  • מנגד, השיטה יעילה רק כאשר:
    • יש הרבה יותר פריטים לחלוקה מאשר שחקנים
    • הפריטים קרובים אחד לשני בערכם
the method of markers1
The Method of Markers
  • מסדרים את כל הפריטים בסדר אקראי (sequenced array)
  • כעת כל אחד מהשחקנים מבצע bidding בצורה עצמאית (ובמקביל לאחרים) על פריטים ב- array
  • Bid מורכב מחלוקה של ה- array לסגמנטים רציפים של פריטים (מספר הסגמנטים כמספר השחקנים) כך שכל סגמנט מהווה fair share של הפריטים מבחינת השחקן
  • לסיום, כל אחד מהשחקנים מקבל את אחד הסגמנטים מתוך החלוקה שלו
slide121

Dividing the Halloween Leftovers

אליס, ביאנקה, קרלה ודנה רוצות לחלק ביניהן את הממתקים שנשארו להן. יש 20 ממתקים בסה"כ לחלוקה, אבל בחירה אקראית של 4 ממתקים לכל אחד לא תעבוד במקרה זה, שכן הפריטים שונים זה מזה.

המורה שלהן (הגב' ג'ונס), מציעה לחלק עבורן את הממתקים, אבל הבנות מעדיפות להשתמש בשיטת ה- עליה קראו באינטרנטmarkers

slide122

Dividing the Halloween Leftovers

20 הממתקים יסודרו כ- array:

slide123

Dividing the Halloween Leftovers

כל ילדה תרשום (במקביל, וללא תלות באחרות)היכן בדיוק היא מעוניינת לשים את שלושת ה- markers שלה

A=Alice

B=Bianka

C=Carla

D=Dana

slide124

Dividing the Halloween Leftovers

כעת עוברים לשלב ההקצאה – נסרוק את ה- array עד למציאת המרקר הראשון (המרקר של ביאנקה)

ביאנקה תהיה הראשונה לקבל החלק שלה (הסגמנט הראשון)

slide125

Dividing the Halloween Leftovers

כעת, משביאנקה סיימה, וה- markers שלה הוסרו, ממשיכים את הסריקה למציאת המרקר השני הראשון של אחת מהן.

המרקר בו נעצור הוא זה של קרלה.

slide126

Dividing the Halloween Leftovers

קרלה תקבל את הסגמנט השני בבחירה שלה, והמרקרים שלה יוסרו

slide127

Dividing the Halloween Leftovers

בהמשך, מסתמן תיקו בעת חיפוש המרקר השלישי (בין אליס לדנה)

אנו נטיל מטבע על מנת להכריע מי יקבל את הסגמנט שלו (במקרה שלנו, אליס)

slide128

Dividing the Halloween Leftovers

ולבסוף, דנה מקבלת את הסגמנט הרביעי בחלוקה שלה

slide129

Dividing the Halloween Leftovers

בשלב זה, כל אחת מהבנות קיבלה fair share מתוך ה- 20 ממתקים, אולם עדיין נשארו ממתקים עודפים לחלוקה!

הדרך הקלה ביותר לחלק את מה שנשאר הוא להגריל סדר אקראי למשתתפים, ולבקש מכל אחת מהן, על-פי סדר זה, לבחור אחד מהממתקים שנשארו

slide130

The Method of Markers Generalized

  • ניתן להכליל את הרעיון מהדוגמה הקודמת לכל מספר של שחקנים בקלות יחסית
  • נסדר את M הפריטים משמאל לימין
  • שלב ראשון – כל שחקן במקביל מחלק את ה- array ל- N סגמנטים באמצעות הצבת N-1markers כאשר כל סגמנט מייצג fair share לדעת השחקן
  • שלב שני:
    • סורקים את ה- array משמאל לימין, עד לאיתור ה- marker הראשון.
    • השחקן אליו משוייך ה- marker מקבל את הסגמנט הראשון שבחר (במקרה של תיקו נטיל מטבע)
    • השחקן יוצא מהמשחק וה- markers שלו מוסרים
slide131

The Method of Markers Generalized

  • שלב שני (המשך):
    • המשחק ממשיך בסריקת ה- array משמאל לימין עד למציאת ה- marker השני הראשון (כלומר המרקר הראשון ששימש כמרקר שני של אחד השחקנים)
    • השחקן אליו משוייך ה- marker מקבל את הסגמנט השני בחלוקה שלו
    • התהליך ממשיך עד שנשאר שחקן אחד בלבד והוא מקבל את הסגמנט האחרון שלו
  • שלב שלישי – השחקנים מסודרים על-פי סדר אקראי, וכל אחד מהם לוקח בתורו פריט אחד ממה שנשאר לחלוקה <מדוע לא עבדנו כך מלכתחילה?>
slide132
מגבלות השיטה
  • למרות פשטותו, המודל מוגבל על-ידי ההנחה כי כל שחקן מסוגל לחלק את ה- array בצורה שתתן N חלקים בעלי ערכים שווים בשבילו (שכל אחד מהווה fair share)
  • נסו לחלק בשיטה זו לפטופ ו- 50 סוכריות בין 5 משתתפים...
the mathematics of apportionment
The Mathematics of Apportionment
  • הקצאהApportionment =
  • The verb apportion means
    • “Assign to as a due portion.”
    • “To divide into shares which may not be equal.”
  • Apportionment problems arise when what is being divided cannot be divided into fractional parts.
  • החלוקה נעשית על-בסיס פרופורציוני, באופן מתוכנן ומאורגן
  • The apportionment problem is to determine a method for rounding a collection of numbers so that:
    • The numbers are rounded to whole numbers.
    • The sum of the numbers is unchanged.
the mathematics of apportionment1

State

A

B

C

D

E

F

Total

Population

1,646,000

6,936,000

154,000

2,091,000

685,000

988,000

12,500,000

The Mathematics of Apportionment

נתונה חלוקת התושבים למחוזות ברפובליקה מסויימת בעולם:

נניח שיש 250 מושבים בפרלמנט. כיצד יש לחלקם בין המחוזות השונים?

בשלב ראשון יש למצוא יחידת מדידה טובה.

למשל היחס בין האוכלוסיה כולה לכמות המושבים.

היחס נקרא standard divisor SD = P/M

SD = 12,500,000/250 = 50,000

the mathematics of apportionment2

State

A

B

C

D

E

F

Total

Population

1,646,000

6,936,000

154,000

2,091,000

685,000

988,000

12,500,000

Standard quota

32.92

138.72

3.08

41.82

13.70

19.76

250

The Mathematics of Apportionment

Standard Quotas for Each State (SD = 50,000)

For example, take state A. To find a state’s standard quota,

we divide the state’s population by the standard divisor:

Quota = population/SD = 1,646,000/50,000 = 32.92

slide136
טרמינולוגיה
  • “states” – מתאר את השחקנים המעורבים
  • “seats” – מתאר את סט M האוביקטים (הומוגניים) שיש לחלק בין N ה- states
  • “populations” - מתאר סט של N מספרים חיוביים שישמשו כבסיס לחלוקה של ה- seats ל- states
the mathematics of apportionment3
The Mathematics of Apportionment
  • Upper quotas – ה- quota המעוגלת כלפי מעלה (יסומן ב- U)
  • Lower quotas – ה- quota המעוגלת כלפי מטה (יסומן ב- L)
  • מקרה שבו ה- quota הוא מספר שלם הוא יחסית נדיר כאשר ה- population גדולה
hamilton s method and the quota rule

State

Population

Step1

Quota

Step 2

Lower Quota

A

1,646,000

32.92

32

B

6,936,000

138.72

138

C

154,000

3.08

3

D

2,091,000

41.82

41

E

685,000

13.70

13

F

988,000

19.76

19

Total

12,500,000

250.00

246

Hamilton’s Method and the Quota Rule

שיטת Hamilton’s

  • חשב לכל state את ה - standard quota
  • הקצה לכל state את ה- lower quota שלו
hamilton s method and the quota rule1

State

Population

Step1

Quota

Step 2

Lower Quota

Fractional

parts

Step 3

Surplus

Hamilton

apportionment

A

1,646,000

32.92

32

0.92

First

33

B

6,936,000

138.72

138

0.72

Last

139

C

154,000

3.08

3

0.08

3

D

2,091,000

41.82

41

0.82

Second

42

E

685,000

13.70

13

0.70

13

F

988,000

19.76

19

0.76

Third

20

Total

12,500,000

250.00

246

4.00

4

250

Hamilton’s Method and the Quota Rule
  • לבסוף, חלק את העודף למדינות עם השבר הגדול ביותר
the quota rule
The Quota Rule
  • יש לחלק לכל state לפחות את ה- lower quota ולא יותר מה- upper quota.
  • במידה ומוקצה ל- state פחות מה- lower quota אזי מתרחש lower-quota violation
  • במידה ומוקצה ל- stateיותר מה- upper quotaאזי מתרחש upper-quota violation
the alabama and other paradoxes
The Alabama and Other Paradoxes
  • הבעיה העיקרית בשיטת Hamilton's ידועה בשם Alabama paradox.
  • הדבר קורה כאשר גידול בסך המושבים שיש להקצות גורם ל- state להפסיד את אחד המושבים שהוקצו לה מלכתחילה
slide142

State

Population

Step 1

Step 2

Step 3

Apportionment

Bama

940

9.4

9

1

10

Tecos

9,030

90.3

90

0

90

Ilnos

10,030

100.3

100

0

100

Total

20,000

200.0

199

1

200

דוגמה

With M = 200 seats and SD = 100, the :apportionment under Hamilton’s method

slide143

State

Population

Step 1

Step 2

Step 3

Apportionment

Bama

940

9.45

9

0

9

Tecos

9,030

90.75

90

1

91

Ilnos

10,030

100.80

100

1

101

Total

20,000

201.00

199

2

201

דוגמה (המשך)

With M = 201 seats and SD = 99.5, the apportionment under Hamilton’s method

other paradoxes
Other Paradoxes
  • פרדוקסים נוספים שעשויים להתגלות תוך כדי שימוש בשיטת Hamilton:
    • the population paradox – state A מפסידה מושב ל- state B למרות שהאוכלוסיה של state A גדלה בקצב גבוה יותר (higher rate) מזה של state B
    • the new-states paradox – התוספת של state חדשה ביחד עם המושבים המתאימים ל- state החדשה לפי שיטת החלוקה, מביאה לשינוי בחלוקה למושבים של ה- states האחרות
example 2
Example 2
  • A country has 3 states and 100 seats in the legislature.
  • Show that the population paradox occurs when Hamilton’s method is used.
example 2 cont d
Example 2, cont’d
  • Solution: Note that states A and B grew, while the population of state C remained the same.
  • Find the rates of increase for states A and B.
example 2 cont d1
Example 2, cont’d
  • Solution, cont’d:
    • The rate of increase for state A is:
    • The rate of increase for state B is:
      • State A is the faster-growing state.
example 2 cont d2
Example 2, cont’d
  • Solution, cont’d: Calculate the standard divisor for the old population:
    • D = 100,000/100 = 1000
  • The standard quotas are shown in the table below.
example 2 cont d3
Example 2, cont’d
  • Solution, cont’d: The integer parts of the standard quotas apportion 98 seats.
  • The two remaining seats go to states C and A, which have the largest fractional parts.
  • The final apportionment for the old population is State A: 10 seats; State B: 19 seats; and State C: 71 seats.
example 2 cont d4
Example 2, cont’d
  • Solution, cont’d: Next, find the apportionment for the new population totals.
  • The standard divisor is D = 100,291/100 = 1002.91.
  • The standard quotas are shown below.
example 2 cont d5
Example 2, cont’d
  • Solution, cont’d: As before, the integer parts of the standard quotas apportion 98 seats.
  • The remaining 2 seats are assigned to states C and B, which have the largest fractional parts.
  • The final apportionment for the new population totals is State A: 9 seats; State B: 20 seats; and State C: 71 seats.
example 2 cont d6
Example 2, cont’d
  • Solution, cont’d: Before the census state A had 10 seats in the legislature, but after the census it had only 9 seats.
  • After the census, the fastest-growing state A lost a seat to the slower-growing state B.
  • This is an example of the population paradox.
example 3
Example 3
  • A country has 2 states and 100 seats in the legislature.
  • The current apportionments under Hamilton’s method are shown in the table below.
example 3 cont d
Example 3, cont’d
  • Show that if a third state with a population of 10,400 is added, the new-states paradox occurs.
  • Solution: Since the old standard divisor was 1000, the new state’s standard quota would have been Q = 10,400/1000 = 10.4.
    • We assume that 10 new seats should be added to the legislature.
    • A total of 110 seats will now be apportioned to the 3 states.
example 3 cont d1
Example 3, cont’d
  • Solution, cont’d: The total population is now 110,400.
    • The new standard divisor is D = 110,400/110 = 1003.6364.
  • The new standard quotas are shown below.
example 3 cont d2
Example 3, cont’d
  • Solution, cont’d: A total of 109 seats are apportioned according to the integer parts of the standard quotas.
  • The 1 leftover seat is assigned to state A, which has the largest fractional part.
example 3 cont d3
Example 3, cont’d
  • Solution, cont’d: After the new state, C, was added:
    • State C received 10 seats, as expected.
    • State A lost a seat to State B.
  • The change in apportionment among the old states is an example of the new-states paradox.
jefferson s method
Jefferson’s Method
  • Step 1. Find a “suitable” divisor D. [ A suitable or modified divisor is a divisor that produces and apportionment of exactly M seats when the quotas (populations divided by D) are rounded down.
jefferson s method1

State

Population

Standard Quota

(SD = 50,000)

Lower Quota

Modified Quota

(D = 49,500)

Hefferson

apportionment

A

1,646,000

32.92

32

33.25

33

B

6,936,000

138.72

138

140.12

140

C

154,000

3.08

3

3.11

3

D

2,091,000

41.82

41

42.24

42

E

685,000

13.70

13

13.84

13

F

988,000

19.76

19

19.96

19

Total

12,500,000

250.00

246

250

Jefferson’s Method
  • Step 2. Each state is apportioned its lower quota.
jefferson s method2
Jefferson’s method

Bad News- Jefferson’s method can produce upper-quota violations!

  • To make matters worse, the upper-quota violations tend to consistently favor the larger states (by dropping the fractional part, the large state gives up only a small part of its entitlement whereas a small state may give up a major part)
adam s method

State

Population

Quota

(D = 50,500)

A

1,646,000

32.59

B

6,936,000

137.35

C

154,000

3.05

D

2,091,000

41.41

E

685,000

13.56

F

988,000

19.56

Total

12,500,000

Adam’s Method

Adam’s Method

  • Step 1. Find a “suitable” divisor D. [ A suitable or modified divisor is a divisor that produces and apportionment of exactly M seats when the quotas (populations divided by D) are rounded up.
adam s method1

State

Population

Quota

(D = 50,500)

Upper Quota

(D = 50,500)

Quota

(D = 50,700)

Adam’s

apportionment

A

1,646,000

32.59

33

32.47

33

B

6,936,000

137.35

138

136.80

137

C

154,000

3.05

4

3.04

4

D

2,091,000

41.41

42

41.24

42

E

685,000

13.56

14

13.51

14

F

988,000

19.56

20

19.49

20

Total

12,500,000

251

250

Adam’s Method
  • Step 2. Each state is apportioned its upper quota.
adam s method2
Adam’s method

Bad News- Adam’s method can produce lower-quota violations!

We can reasonably conclude that Adam’s method is no better (or worse) than Jefferson’s method– just different.

webster s method
Webster’s Method
  • Step 1. Find a “suitable” divisor D. [ Here a suitable divisor means a divisor that produces an apportionment of exactly M seats when the quotas (populations divided by D) are rounded the conventional way.
webster s method1

State

Population

Standard Quota

(D = 50,000)

Nearest

Integer

Quota

(D = 50,100)

Webster’s

apportionment

A

1,646,000

32.92

33

32.85

33

B

6,936,000

138.72

139

138.44

138

C

154,000

3.08

3

3.07

3

D

2,091,000

41.82

42

41.74

42

E

685,000

13.70

14

13.67

14

F

988,000

19.76

20

19.72

20

Total

12,500,000

250.00

251

250

Webster’s Method

Step 2. Find the apportionment of each state by rounding its quota the conventional way.

the mathematics of apportionment4
The Mathematics of Apportionment
  • Balinski and Young’s impossibility theorem

An apportionment method that does not violate the quota rule and does not produce any paradoxes is a mathematical impossibility.