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Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Prof. Dr. Hochmuth WS 2005/06. Zahlen geschickt addieren. Referentinnen: Andrea Renninghoff Ann-Kathrin Eschment Alexandra Jakobs. Gliederung. Problemstellung Lösungsmöglichkeiten Gruppenarbeit

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Presentation Transcript
zahlen geschickt addieren

Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Prof. Dr. Hochmuth WS 2005/06

Zahlen geschickt addieren

Referentinnen:

Andrea Renninghoff

Ann-Kathrin Eschment

Alexandra Jakobs

gliederung
Gliederung
  • Problemstellung
  • Lösungsmöglichkeiten
  • Gruppenarbeit
  • Vorstellung der Lösungswege durch Seminarteilnehmer
  • „Wer trifft die Zahl?“ – ein Aufgabenformat
  • Einzelarbeit (mit Arbeitsblatt)
  • Vorstellung der Lösungswege
  • „Treppen“ als Beispiel geometrischer Zahlveranschaulichungen
  • Reflexion
summen von zahlen
Summen von Zahlen
  • Was ist Gegenstand?
  • aufeinander folgende natürliche Zahlen
  • aufeinander folgende natürliche Zahlen mit festen Abständen
  • Was wird gemacht?
  • Beziehung der Zahlen und Summen betrachten
  • von bestimmten Ergebnissen mögliche Summen suchen
aufgabe 1
Aufgabe 1
  • Für welche Zahlen n ist es möglich die Menge Sn = {1, 2,…, n-1, n} in zwei summengleiche Teilmengen zu zerlegen?
    • Summengleich heißt, dass die Summe der Zahlen in der einen Teilmenge gleich der Summe der Zahlen in der anderen Teilmenge ist.
ansatzm glichkeiten
Ansatzmöglichkeiten
  • Cuisenaire-Stäbe
  • Pärchenbildung
  • Gesamtsumme bilden
gesamtsumme bilden

Abb.3

Gesamtsumme bilden
  • Ungerade: keine Zerlegung möglich
  • Gerade: Zerlegung zu finden, falls diese existiert
allgemeine l sung muster
Allgemeine Lösung (Muster)
  • Summanden geeignet zusammenfassen
  • 2 Fälle zu unterscheiden:
    • Summen mit gerader Anzahl von Summanden
    • Summen mit ungerader Anzahl von Summanden
fall 1 gerade anzahl von summanden11
Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden
  • Summe = Produkt von Pärchenanzahl und Pärchensumme
  • Pärchenanzahl beträgt dabei die Hälfte der Summandenanzahl
  • Pärchensumme bildet sich aus dem ersten und letzten Glied
fall 2 ungerade anzahl von summanden
Fall 2: Ungerade Anzahl von Summanden
  • Es gibt Mittelzahl (MZ)
  • Überschuss zu der symmetrisch zur MZ liegenden Partnerzahl hinzugefügt
  • Summe mit lauter gleichen Summanden:
      • 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9=
      • 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5=
      • 9 · 5 = 45
  • Summe = MZ · Summandenanzahl
verallgemeinerung

Abb.6

Abb.7

Verallgemeinerung

Auf arithmetische Reihen übertragbar

f r welche n gerade ungerade summe
Für welche n gerade /ungerade Summe?
  • Abwechselnd Addition gerader und ungerader Summanden
  • ungerade Anzahl ungerader Summanden: Gesamtsumme ungerade
  • Anzahl gerade: Gesamtsumme gerade
  • GSS abwechselnd zwei mal gerade und zwei mal ungerade
gerade gesamtsumme

Abb.8

Abb.9

Gerade Gesamtsumme
  • N ist ein Vielfaches von 4, d.h. n = 4k, =>2k summengleiche Pärchen zu bilden
  • Ist n um 1 kleiner als ein Vielfaches von 4,d.h. n=4k–1, werden die ersten drei Summanden zusammengefasst. Rest: Fall 1
gruppenarbeit
Gruppenarbeit
  • A2: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender gerader natürlicher Zahlen {2,4,…,2n-2,2n}
  • A3: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender ungerader natürlicher Zahlen{1,3,…2n-3,2n-1}
  • A5: Summen von zwei, drei, vier aufeinander folgender Zahlen
slide17

„Wer trifft die 50?“ – Erläuterung des Aufgabenformats

Additionszahl +

  • Es wird eine Start- und eine Additionszahl gewählt.
  • 2. Kästchen: Summe aus Start- und Additionszahl
  • weitere Kästchen: Summe aus der Zahl im vorhergehenden Kästchen und der Additionszahl, bis 5 Kästchen voll sind.
  • In das letzte Kästchen wird die Summe der ersten 5 Kästchen eingetragen.

Aufgabe: Finde Kombinationen aus Start- und Additionszahl, bei denen die Zielzahl „50“ ist.

geschickt addieren durch einsatz von treppen

-9

-6

-3

0

+3

+6

+9

1

4

7

13

16

19

10

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen

10∙7=70

Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden:

Arithmetische Reihe (d=3):

10 10 10 10 10 10 10

1 4 7 10 13 16 19

Und andersherum?

reihenbildung durch einsatz von treppen

Darstellbar als Produkt von:

9∙10

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen

Bzw. als Summe von: 10+10+10+10+10+10+10+10+10

Z=90

10 10 10 10 10 10 10 10 10

6 7 8 9 10 11 12 13 14

Wie könnte man „90“ noch als Treppenmuster darstellen, wenn d konstant sein soll?

reihenbildung durch einsatz von treppen20
Reihenbildung durch Einsatz von Treppen

2. Möglichkeit (d=2):

3. Möglichkeit (d=3):

Z=90

2 4 6 8 10 12 14 16 18

-2 1 4 7 10 13 16 19 22

Bisher wurden nur Beispiele erwähnt, in denen eine ungerade Anzahl von Summanden vorlag. Ist es ein Problem, wenn kein Mittelwert direkt existiert?

geschickt addieren durch einsatz von treppen21

Naheliegend: Pärchenbildung

5

7

9

11

13

15

17

19

-5

-3

-1

+1

+3

+5

+7

-7

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen

Beispiel: d=2

5 7 9 11 13 15 17 19

24 24 24 24

geschickt addieren durch einsatz von treppen22

5

7

9

11

13

15

17

19

Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen

Aber auch hier kann ein Mittelwert ermittelt werden, nämlich:

[(11+13) : 2] ∙8=96

(11+13) : 2=12

Summe

Diese Operation (Ausgleich um die MZ) kann ebenso durch Treppenmuster veranschaulicht werden:

5 7 9 11 13 15 17 19

12 12 12 12 12 12 12 12

reihenbildung durch einsatz von treppen23

Darstellbar als Produkt von:

6∙12

Reihenbildung durch Einsatz von Treppen

Bzw. als Summe von: 12+12+12+12+12+12

Z=72

12 12 12 12 12 12

7 9 11 13 15 17

reihenbildung durch einsatz von treppen24
Reihenbildung durch Einsatz von Treppen

Z=72

3. Variante:

2. Variante:

2 6 10 14 18 22

-3 3 9 15 21 27

geschickt addieren durch zweifache summierung

+

summiert

20

20

20

20

20

20

20

1

4

7

10

13

16

19

19

16

13

10

7

4

1

Geschickt addieren durch zweifache Summierung

- Was heißt das?

7∙ 20=140

Summe der Reihe: 70,

da

140:2=70

Wie würde diese Rechnung mit Treppen veranschaulicht werden?

slide26

Literaturangabe:Müller, Gerhard N.,Steinbring, Heinz,Wittmann Erich Ch. (Hg.): Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004