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第5章：测量不确定度

第5章：测量不确定度. 教学目的和要求：. 通过本章内容的教学，使学生能够对测量数据合理的、正确进行测量不确定度的评定与表示。要求学生清楚测量不确定度的概念，明了不确定度的分类，掌握标准不确定度 A 类和 B 类评定方法、合成标准不确定度和扩展不确定度的评定方法；正确进行测量不确 定度的报告和表示。. 主要内容. 1. 测量不确定度的基本概念：产生背景、定义及分类、测量误差与测量不确定度、产生测量不确定度的原因、测量过程的数学模型的建立、测量不确定度传播规律。

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第5章：测量不确定度

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  1. 第5章：测量不确定度

  2. 教学目的和要求： • 通过本章内容的教学，使学生能够对测量数据合理的、正确进行测量不确定度的评定与表示。要求学生清楚测量不确定度的概念，明了不确定度的分类，掌握标准不确定度A类和B类评定方法、合成标准不确定度和扩展不确定度的评定方法；正确进行测量不确 • 定度的报告和表示。

  3. 主要内容 • 1. 测量不确定度的基本概念：产生背景、定义及分类、测量误差与测量不确定度、产生测量不确定度的原因、测量过程的数学模型的建立、测量不确定度传播规律。 • 2. 标准不确定度的A类评定：单次测量结果实验标准差与算术平均值实验标准差、测量过程的合并样本标准差、不确定度A类评定的独立性。 • 3. 标准不确定度的B类评定：B类不确定度评定的信息来源、B类不确定度的评定方法、B类不确定度评定的自由度及其意义、B类标准不确定度评定的流程。

  4. 主要内容 • 4. 合成标准不确定度的评定：输入量不相关时不确定度合成、输入量相关时不确定度合成、合成标准不确定度的自由度、合成标准不确定度的计算流程。 • 5. 扩展不确定度的评定：输出量的分布特征、扩展不确定度的含义、包含因子的选择、评定流程。 • 6. 测量不确定度的报告与表示：测量结果及其不确定度的报告、测量不确定度的报告方式、测量不确定度评定的总流程。

  5. 第一节 测量不确定度的基本概念 测量不确定度的产生背景 测量不确定度的定义及分类 测量误差与测量不确定度 产生测量不确定度的原因 测量过程的数学模型的建立 测量不确定度传播律

  6. 一、产生背景 1、测量误差是一个理想化的概念，实际中难以准确定量确定。 2、系统误差和随机误差在某些情况下界限不是十分清楚，使得同一被测量在相同条件下的测量结果因评定方法不同而不同，从而引起测量数据处理方法和测量结果的表达不统一，影响国际间交流。

  7. 发展史 • 1980年国际计量局（BIPM）起草了一份《实验不确定度建议书INC－1》。 • 1981年，第七十届国际计量委员会（CIPM）批准了上述建议，并发布了一份CIPM建议书，即CI－1981。 • 1986年，CIPM再次重申采用上述测量不确定度表示的统一方法，并发布了CIPM建议书CI－1986。

  8. 发展史 5-8 • 1993年，GUM以7个国际组织的名义正式由国际标准化组织颁布实施，并在1995年又作了修订。 • 我国由全国法制计量委员会委托中国计量科学研究院起草制定了国家计量技术规范《测量不确定度评定与表示》（JJF1059－1999）。该规范原则上等同GUM的基本内容，作为我国统一准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较。

  9. 二、不确定度的定义 测量不确定度（uncertainty of measurement） 测量不确定度定义为表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。此参数可以是标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度，其值恒为正值。

  10. 不确定度评定方法的分类 A类评定（type A evaluation of uncertainty） 用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度称为不确定度的A类评定，又称为A类不确定度评定，简称A 类不确定度。 B类评定（type B evaluation of uncertainty） 用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度称为不确定度B类评定，有时又称为B类不确定度评定，简称B类不确定度。

  11. 不确定度评定方法的分类 合成（标准）不确定度（combined standard uncertainty） 当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差或协方差算得的标准不确定度称为合成标准不确定度，用符号uc表示。 扩展不确定度（expanded uncertainty） 由于标准偏差所对应的置信水准（也称为置信概率）通常还不够高，在正态分布情况下仅为68.27％，因此还规定测量不确定度也可以用标准偏差的倍数kσ来表示。这种不确定度称为扩展不确定度，有时也称展伸不定度或范围不确定度，用符号U或UP表示。

  12. 不确定度评定方法的分类 扩展不确定度（expanded uncertainty） 规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U或UP表示。 包含因子（coverage factor） 为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的倍数因子。常用符号k或kP来表示。在国内，有的也其称为覆盖因子，其取值一般在2与3之间。

  13. 不确定度评定方法的分类 • 绝对不确定度和相对不确定度 • 误差可以用绝对误差和相对误差两种形式来表示，不确定度也同样可以有绝对不确定度和相对不确定度两种形式。绝对形式表示的不确定度与被测量有相同的量纲。相对形式表示的不确定度，其量纲为1，或称为无量纲。被测量x的标准不确定度u（x）和相对标准不确定度urel（x）间的关系为：

  14. 三、测量误差与测量不确定度 1、相同点 测量误差和测量不确定度是误差理论中两个重要的概念，它们都是评价测量结果质量高低的重要指标。 2、测量误差与测量不确定度的主要区别如下表。

  15. 测量误差与测量不确定度的主要区别

  16. 测量误差于测量不确定度的主要区别续

  17. 测量误差于测量不确定度的主要区别续

  18. 续 • 3、误差与测量不确定度的关系 • 误差理论是测量不确定度的基础。研究测量不确定度首先需要研究误差，只有对误差的性质、分布规律、相互联系及对测量结果的误差传递关系等有了充分的认识和了解，才能更好地估计各不确定度分量，正确得到测量结果的不确定度。测量不确定度是建立在误差理论基础的新概念，其理论体系是对经典误差理论的充实和完善。

  19. 四、产生测量不确定度的原因 • 测量过程中的随机效应和系统效应均会导致测量不确定度，具体的测量不确定度因素与误差因素相同。

  20. 五、测量过程的数学模型的建立 • 1、直接测量 • Y＝X（5－1） • 式中X为输入量，也是被测量，Y为输出量，也是被测量。式（5－1）称为直接测量过程的数学模型。

  21. 五、测量过程的数学模型的建立 • 2、间接测量 • 间接测量过程的数学模型在实际测量的很多情况下，被测量Y不能直接测得，而是先直接测量与之有关的其它量X1，X2，…，XN，然后通过函数关系式 • Y＝f（X1，X2，…，XN） （5－2） • 来确定。这种函数关系式就称为间接测量过程的数学模型，简称数学模型。

  22. 六、测量不确定度传播律 • （5－3） • 式（5－3）称为测量不确定度传播律，其中 称为灵敏系数，u（xi）分别为输入量Xi的估计值xi的标准不确定度，u（xi，xj）为任意两输入量估计值的协方差函数。

  23. 第二节 标准不确定度A类评定 单次测量结果实验标准差与平均值实验标准差 测量过程的合并样本标准差 规范测量中的合并样本标准差 不确定度A类评定的独立性 阿伦方差 A类不确定度评定的自由度和评定流程

  24. 一、单次测量结果实验标准差与平均值实验标准差一、单次测量结果实验标准差与平均值实验标准差 • 1、单次测量结果实验标准差 • 2、平均值的实验标准差，其值为

  25. 续 • 3、当测量结果取其中的m次的平均值 时， 所对应的A类不确定度 • ， 和 的自由度是相同的，都是

  26. 续 • 4、当不确定度以绝对形式表示（如千分尺）时，通常选取整个量程最大检定点进行多次测量，计算实验标准差s（xi），用以代表整个量程各点。当不确定度以相对形式表示（如材料试验机）时，通常选取整个量程最小点进行多次测量，计算相对实验标准差srel（xi），用以代表整个量程各点。

  27. 二、测量过程的合并样本标准差 • 对于一个测量过程，若采用核查标准或控制图的方法使其处于统计控制状态，则该测量过程的合并样本标准差sp为 • 式中si为每次核查时的样本标准差；k为核查次数。当每次核查，其自由度相同时，上式成立。

  28. 续 • 合并样本标准差sp为测量过程长期的组内标准差的平方平均值的正平方根。在此情况下，由该测量过程对被测量X进行n次观测，以算术平均值作为测量结果时，其标准不确定度u（x）为

  29. 三、规范测量中的合并样本标准差 所谓规范测量，指明确规定了程序、条件的测量，例如按测量仪器检定规程进行的检定，按给定技术规范对样品某参数的测量。认定测量处于统计控制状态下时，可认为被测量X的单次测量结果xi的标准差s（xi）相等。通过累积下来的测量结果，计算出自由度充分大的合并样本标准差sp（x），以用于每次测量结果的评定。

  30. 三、规范测量中的合并样本标准差 ①若m个被测量Xi在重复性条件下，均进行了n次独立观测，测值分别为xi，1，xi，2，…，xi，n，其平均值为，则可得合并样本标准差sp为 自由度为 ②若m个被测量重复的次数不完全相同，设各为ni，Xi的标准差s(xi)的自由度分别为＝（ni－1），通过m个si与可得sp为 自由度为

  31. 四、不确定度A类评定的独立性 • ① 被测量是一批材料的某一特性，所有重复观测值来自同一样品，而取样又是测量程序的一部分，则观测值不具有独立性，必须把不同样本间可能存在的随机差异导致的不确定度分量考虑进去； • ② 测量仪器的调零是测量程序的一部分，重新调零应成为重复性的一部分； • ③ 通过直径的测量计算圆的面积，在直径的重复测量中，应随机地选取不同的方向观测；

  32. 续 • ④当使用测量仪器的同一测量段进行重复测量时，测量结果均带有相同的这一测量段的误差，而降低了测量结果间的相互独立性； • ⑤在一个气压表上重复多次读取示值，把气压表扰动一下，然后让它恢复到平衡状态再进行读数，因为即使大气压力并无变化，还可能存在示值和读数的方差。

  33. 五、阿伦方差 • 设对被测量频率进行m＋1次测量，每次测量的取样时间为τ，以每两次测量为一组，其测量值分别为yi和yi＋1，则由下式求得的方差称为阿伦方差。

  34. 六、A类不确定度评定的自由度和评定流程 对于A类评定，各种情况下的自由度为： 1．用贝塞尔公式计算实验标准差时，若测量次数为n，则自由度 ＝n－1。 2．当同时测量t个被测量时，自由度 ＝n－t。 3．对于合并样本标准差sp，其自由度为各组的自由度之和。例如，对于每组测量n次，共测量m组的情况，其自由度为m×（n－1）。

  35. 续 • 4．当用极差法估计实验标准差时，其自由度与测量次数n的关系见下表。

  36. xi的标准不准确度 完 A类评定开始 对Xi 独立观测得 xi.1，xi.2，…xi.n 则Xi 的观测结果 A类不确定度评定的流程图

  37. 第三节 B类不确定度的评定 B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，他必然要设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要。

  38. 一、B类不确定度评定的信息来源 ① 以前的观测数据； ② 对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验； ③ 生产部门提供的技术说明文件； ④ 校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前暂在使用的极限误差等； ⑤ 手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度； ⑥ 规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。用这类方法得到的估计方差u2（xi），可简称为B类方差。

  39. 二、B类不确定度的评定方法 • 1．已知置信区间和包含因子 • 根据经验和有关信息或资料，先分析或判断被测量值落入的区间［－a，＋a］，并估计区间内被测量值的概率分布，再按置信水准p来估计包含因子k，则B类标准不确定度u（x） • 式中：a——置信区间半宽； • k——对应于置信水准的包含因子。

  40. 2．已知扩展不确定度U和包含因子k • 如估计值xi来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他资料，其中同时还明确给出了其扩展不确定度U（xi）是标准差s（xi）的k倍，指明了包含因子k的大小，则标准不确定度u（x）可取U（xi）／k，而估计方差u2（xi）为其平方。

  41. 3．已知扩展不确定度Up和置信水准p的正态分布 • 如xi的扩展不确定度不是按标准差s（xi）的k倍给出，而是给出了置信水准p和置信区间的半宽Up，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度u（xi）。

  42. 4．已知扩展不确定度Up以及置信水准p与有效自由度的t分布4．已知扩展不确定度Up以及置信水准p与有效自由度的t分布 • 若xi的扩展不确定度不仅给出了扩展不确定度Up和置信水准p，而且给出了有效自由度或包含因子kp，这时必须按t分布处理。 • 这种情况提供给不确定度评定的信息比较齐全，常出现在标准仪器的校准证书上。

  43. 5．其他几种常见的分布 常用分布与k，u（xi）的关系

  44. 6．界限不对称的考虑 • 在输入量Xi可能值的下界a一和上界a＋相对于其最佳估计值xi不对称的情况下，即下界a一＝xi一b－，上界a＋＝xi＋b＋，其中b－≠b＋。这时由于xi不处于a一至a＋区间的中心，Xi的概率分布在此区间内不会是对称的，在缺乏用于准确判定其分布状态的信息时，按矩形分布处理可采用下列近似评定

  45. 7．由重复性限或复现性限求不确定度 • 在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两次测量结果之差的重复性限r或复现性限R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度为 • u（xi）＝r／2.83或u（xi）＝R／2.83 • 这里，重复性限r或复现性限R的置信水准为95％，并作为正态分布处理。

  46. 8．以“等”使用的仪器的不确定度计算 • 当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可接检定系统或检定规程所规定的该等别的测量不确定度的大小，按上述第2或第3的方法计算标准不确定度分量。当检定证书既给出扩展不确定度，又给出有效自由度时，按第4方法计算。 • 以“等”使用仪器的不确定度计算一般采用正态分布或t分布。

  47. 9．以“级”使用仪器的不确定度计算 • 当测量仪器检定证书上给出准确度级别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别的最大允许误差进行评定。假定最大允许误差为±A，一般采用均匀分布，得到示值允差引起的标准不确定度分量

  48. 三、B类不确定度评定的自由度及其意义 • B类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定度以u（xi）的相对标准不确定度σ[u(xi)] / u(xi)有关，其关系为： • 式中，σ[u(xi)]是u(xi)的标准差，即σ[u(xi)]是标准差的标准差，不确定度的不确定度。

  49. B类不确定度的自由度 • 当不确定度的评定有严格的数字关系，如数显仪器量化误差和数据修约引起的不确定度计算，自由度为∞。 • 当计算不确定度的数据来源于校准证书、检定证书或手册等比较可靠资料时，可取较高自由度。 • 当不确定度的计算带有一定主观判断因素，如指示类仪器的读数误差引起的不确定度，可取较低的自由度。 • 当不确定度的信息来源难以用有效的实验方法验证，如量块检定时标准量块和被检量块的温度差的不确定度，自由度可以非常低。

  50. 四、B类标准不确定度评定的流程

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