11 09 2012 n.
Download
Skip this Video
Download Presentation
А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 59

А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012 - PowerPoint PPT Presentation


  • 209 Views
  • Uploaded on

Обобщенный непараметрический метод вычисления положительно однородных индексов Конюса-Дивизиа и его приложения к анализу товарных и фондовых рынков. А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012' - aimee


Download Now An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
11 09 2012

Обобщенный непараметрический метод вычисления положительно однородныхиндексов Конюса-Дивизиа и его приложения к анализу товарных и фондовыхрынков

А.А. Шананин

Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ)

11.09.2012

slide2
Построение экономических индексов___________________________________________________________

– потребительская корзина

– вектор цен на товары

– стоимость корзины товаров

– базовый период времени

– текущий период времени

– эффект Гершенкрона: замещение относительно подорожавших товаров относительно подешевевшими

Индекс спроса

Ласпейреса

slide3
Индексы Конюса

Пусть у нас задана система поверхностей безразличия. Спросу в момент времени соответствует уровень полезности , а спросу - уровень полезности Набор товаров, который мог быть куплен при ценах в момент времени и имеющий полезность , обозначим . Набор товаров, который мог быть куплен при ценах в момент времени t и имеющий полезность , обозначим .

индекс спроса Конюса-Ласпейреса.

индекс спроса Конюса-Пааше.

slide4
Задача о рационализируемости ___________________________________________________________

– объемы потребления товаров

– цены на эти товары

– обратные функции спроса

– класс непрерывных, вогнутых, положительно-однородных и положительных в функций

Определение. рационализируемы в классе , если такая функция полезности , что

slide5

Предложение 1.

Постановки задачио рационализируемости

Пусть выполнено Тогда следующие утверждения эквивалентны:

  • Существуют такие что
  • Существует функция такая что справедливо

где Q(P) – преобразование Янга1) функцииF(X)

  • Существует , рационализирующая обратные функции спроса

1) Преобразование Янга инволютивно в классе , т.е. двукратное

применение переводит функцию в себя

slide6
Индексы Конюса

Предложение 2

Пусть функция полезности рационализируетобратные функции спроса . Тогдаиндекс Конюса-Ласпейреса совпадает с индексом Конюса-Пааше

Предложение 3

Предложение

Пусть функция полезности рационализируетобратные функции спроса . Тогдаиндекс Конюса не больше индекса Ласпейреса и не меньше индекса Пааше.

slide7
Индексы Дивизиа ___________________________________________________________
  • Траектории (пути интегрирования)
  • Разные траектории – разные формулы для практических расчетов;
slide8
Индексы Конюса-Дивизиа ___________________________________________________________

Предложение 6. (Балк, Халтен) В случае, когда обратные функции спроса рационализируемы в классе дифференцируемых функций из , индекс Конюса совпадает с индексом Дивизиа.

Критика: наличие функциональной зависимости между ценами и объемами – функции спроса не общего положения. Существует ли такой индекс?

slide9
Критерий рационализируемости – I___________________________________________________________

Определение. принадлежит классу , если

и в выполнены следующие условия:

  • строго квазивогнута;
  • хотя бы одно оптимальное на решение
slide10
Критерий рационализируемости – II___________________________________________________________

Утверждение 1.

Пусть Обозначим

рационализируемы в тогда и только тогда, когда:

  • ни при каких

4. различных

5.

slide11

Проблема интегрируемости

Условия интегрируемости Фробениуса

- это условия типа равенства

slide12
Индекс потребления и индекс ценТеория выявленного предпочтения___________________________________________________________

Функция полезности – индекс потребления

– индекс цен

Определение.выявленнопредпочтительнее чем

(обозначается ), если и только если

Слабая аксиома. Если

то

slide13
Сильная аксиома и однородная сильная аксиома теории выявленного предпочтения___________________________________________________________

Определение.косвенно выявленно предпочтительнее, чем

(обозначается ), если и только если что

Сильная аксиома. Если то

Определение.удовлетворяют однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА), если

slide14
Рационализируемостьобратных функций спроса ___________________________________________________________

Утверждение 2

Пусть

Тогда следующие утверждения эквивалентны.

  • рационализируемы в классе .
  • решение системы
  • удовлетворяют ОСА.
slide15
Рационализируемость торговой статистики___________________________________________________________

– торговая статистика

– объемы потребления товаров

– цены на эти товары

Торговая статистика – значения обратных функций спроса в точках

Определение. Торговая статистика называется рационализируемой, если ее можно продолжить до обратных функций спроса, рационализируемых в классе .

slide16
Теорема Африата – Вериана ___________________________________________________________

Следующие утверждения эквивалентны:

  • функция полезности вида ,

рационализирующая торговую статистику , т.е.

2) решение системы линейных неравенств

(I)

3) удовлетворяет однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА):

slide17
Непараметрический метод построения индекса Конюса-Дивизиа _______________________________________________

Предложение 7

Пусть где удовлетворяют (I), а

Тогда

Такой метод вычисления индексов называется непараметрическимметодом.

slide18
Алгоритм Варшалла – Флойда___________________________________________________________

– матрица индексов цен Пааше

2)такие что

(I) Разрешима , и

Рассмотрим идемпотентное полукольцо с операциями и

Тогда

slide19
Необходимость численных экспериментов
  • Что содержательно означает нарушение условий существования положительно однородных индексов Конюса-Дивизиа?
  • Как влияют на условия существования первичная обработка статистики и выбор групп товаров?
  • Как использовать индексы Конюса-Дивизиа для анализа сегментации рынков и структуры спроса?
1921 1938
Шведская статистика 1921-1938 гг. ___________________________________________________________
  • Колебания индекса Конюса-Дивизиа сглажены по сравнению с исходными данными;
  • 1933-1935: нарушение условий рационализируемости;
  • Последствия Великой Экономической Депрессии: появление новых потребностей и товаров (холодильники);
  • Связь системных перестроек экономики и нарушения условий рационализируемости выявлена непараметрическим методом.
1975 1984
Индексы цен и потребления. Пример: Венгрия 1975-1984. ___________________________________________________________
1975 19841
Индексы цен и потребления. Пример: Венгрия 1975-1984. ___________________________________________________________
slide23
Венгрия: классификация товаров ___________________________________________________________

Товарные группы различаются длительностью службы товаров. Первые три класса – товары повседневного спроса – имеют время потребления месяц, «Одежда» – около года, оставшиеся классы – 5-10 лет (товары и услуги длительного пользования).

slide24
Изменение структуры потребления___________________________________________________________

- Появление рыночных отношений на потребительском рынке;

- Сдвиг потребления в пользу товаров длительного пользования;

slide25
Дерево экономических индексов. Сегментация рынков.___________________________________________________________

– все остальные товары

slide26

Все товары и услуги

Товары и услуги повседневного спроса

Товары и услуги длительного пользования

Прод. товары,

Напитки,

Табачные изделия

Одежда

ЖКО, Здравоохранение,

Транспорт,

Образование

Статистика Венгрии. Отделимость ___________________________________________________________
  • Группа товаров "Одежда" не удовлетворяет ОСА, но удовлетворяет ОСА, если добавить еще один агрегированный товар "Продукты питания".
  • Классификация, используемая товароведами, оказалась неадекватной;
  • Процессам, которые происходили в стране, соответствует другая классификация, основанная на характерном времени потребления;
slide27
Статистика Нидерландов ___________________________________________________________
  • Предварительная обработка статистики (классификация по группам) в общем случае не адекватно отражает ее свойства, так как опирается на эвристический опыт и лингвистические особенности. Как предварительная обработка искажает информацию о взаимозаменяемости товаров?
  • Статистика Нидерландов: из групп, выделенных товароведами, ни одна не рационализируема. Тем не менее, вся статистика рационализируема.
slide28
Обобщенный непараметрический метод___________________________________________________________

Обобщение непараметрического метода:

(I)

Минимальное , при котором разрешима система (I) , называется показателем нерациональности торговой статистики.

Математический смысл показателя нерациональности: связь с идемпотентным аналогом числа Фробениуса-Перрона для матрицы индексов цен Пааше.

slide29
Статистика Нидерландов. ОНМ. ___________________________________________________________
  • Товарные группы, выделенные стат. cлужбами, не рационализируемы;
  • С помощью ОНМ можно посчитать индексы:
    • Индекс по индексам групп;
    • Индекс по всем товарам
  • Максимальное отклонение индексов, построенных двумя способами, составляет 1.76%.
  • ОНМ позволяет исследовать структуру спроса
  • Появляется возможность анализировать влияние предварительной обработки торговой статистики.
slide30
Анализ дерева индексов с помощью ОНМ ___________________________________________________________

При использовании ОНМ у нас появляется возможность проверить, насколько предварительная обработка с вычислением индексов цен Ласпейреса и спроса Пааше, влияет на рационализируемость. Действительно, мы можем вычислить индекс тремя способами:

Первый способ: посчитать напрямую по всем товарам торговой статистики.

Второй способ: С предварительным агрегированием по группам, т.е. рассчитать сначала индексы Конюса-Дивизиа для групп из классификатора, а затем построить индекс всей статистики.

Третий способ: С предварительным агрегированием по группам, но при этом рассчитывая для групп индекс цен Ласпейреса и спроса Пааше, т.е. имитируя обработку, которая обычно производится статистическими службами.

slide31
Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Нидерланды. ___________________________________________________________
slide32
Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Венгрия. Классификация статистических служб________________________________________________________

Для расчетов использована классификация статистических служб: Продтовары, Напитки, ЖКХ, Медицина и т.д.

slide33

Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Венгрия. Классификация по времени потребления________________________________________________________

Для расчетов использована классификация по характерному времени потребления: товары повседневного спроса и товары длительного пользования

slide34
Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Вывод ___________________________________________________________

На всех рисунках отклонение графиков, построенных по первому и второму способам, меньше, чем по первому и третьему. Таким образом, можно утверждать, что агрегирование с построением для групп товаров индексов Конюса-Дивизиа в большей степени отражает структуру потребительского спроса.

slide35
Первичная статистика. Безалкогольные напитки. ___________________________________________________________
  • Статистика содержит помесячные данные (январь 2007 - декабрь 2007) о продажах безалкогольных напитков в 643 магазинах г. Москвы, 14 наименований товаров;
  • Товар – конкретное наименование в конкретном магазине;
  • На рынке пара дополняющих товаров: торговая услуга по продаже и сам товар;
  • Вопрос: сегментация зависит от торговой услуги или от наименования (бренда)?
slide36
Первичная статистика. Безалкогольные напитки. ___________________________________________________________
  • Почти все группы, объединяющие товары одного бренда, рационализируемы;
  • Более 2/3 классов-магазинов имеют показатель нерациональности, больший, чем единственный нерационализируемый класс-бренд;
  • Разброс цен внутри бренда достаточно велик (до 50%);
  • Вывод: выявлена сегментация по брендам.
slide37
Первичная статистика. Компьютерное оборудование___________________________________________________________
  • Наименьший показатель нерациональности имеет группа "Все товары". Она, по-видимому, полнее учитывает отношение взаимодополнения и взаимозамещения товаров.
slide38
Компьютерное оборудование. Объединение классов. ___________________________________________________________

Объединения групп имеют намного меньший показатель нерациональности, чем сами группы. Это связано с тем, что объединения полнее учитывают свойства взаимозаменяемости и взаимодополняемости. Хорошим примером служит то, что товары из группы "Память" образуют рационализируемую группу с "Процессорами" и "Сетевым оборудованием". Это иллюстрирует поведение потребителя: обычно покупатель приобретает память и процессор не по отдельности, а вместе, чтобы характеристики подходили друг к другу.

slide39
Статистика фондового рынка ___________________________________________________________
  • - цены акций, - объемы торгов в штуках
  • 21 крупнейшая мировая биржа:
    • Нью-Йорксая фондовая биржа, Лондонская фондовая биржа,
    • Фондовая биржа Токио,
    • Фондовая биржа Франкфурта,
    • Фондовая биржа Гонконга,
    • Фондовая биржа Шанхая...

Проблемы:

  • Разное число перепродаж крупных пакетов акций, различная активность спекулянтов влияет на рационализируемость;
  • Биржи торгуются в разных валютах.
slide40
Анализ валютного рынка. Арбитражные цепочки. ___________________________________________________________

Пусть - это количество валюты j, которое мы можем получить, обменяв единицу валюты i. Полученная матрица A называется матрицей кросс-курсов. Будем говорить, что матрица кросс-курсов А допускает арбитражную цепочку , если

  • Теорема (Африат, Вериан) Пусть А – положительная матрица, тогда следующие утверждения эквиваленты:
  • У матрицы А отсутствуют арбитражные цепочки;
  • Система линейных неравенств имеет положительное решение
  • Существование решения можно связать с продуктивностью
  • матрицы А в идемпотентном смысле.
slide41
Анализ валютного рынка. Приведение к единой валюте. ___________________________________________________________

С помощью алгоритма Варшалла-Флойда решим неравенства

получим «веса» валют . Умножая решение на одно и то же положительное число, мы снова получим решение. Положим «вес» доллара США равным единице.

slide43
Мировой индекс и Нью-Йорк ___________________________________________________________

Мировой индекс более волатилен, чем индекс для Нью-Йоркскойфондовой биржи, который в свою очередь более волатилен, чем индексДоу-Джонса.

slide44
Бразилия ___________________________________________________________

Бразильский рынок обладает очень высокой волатильностью. Например, по сравнению с мировым индексом.

slide45
Развитые и развивающиеся рынки ___________________________________________________________

В целом развивающиеся рынки более волатильны.

slide46
Финансовый сектор ___________________________________________________________

ОНМ позволяет строить индексы по отраслям. Анализ показал,что наиболее сильно от кризиса 2008 года пострадал финансовыйсектор.

slide47
Компании-производители потребительских товаров ___________________________________________________________

Компании-производители потребительских товаров оказалистабилизирующее влияние на рынок.

slide48
Металлургия ___________________________________________________________

Металлургические компании продемонстрировали наибольший рост перед кризисом.

slide49
Сегментация фондового рынка ___________________________________________________________

Индексы, построенные по индексам отраслей, по индексам отдельных бирж и по акциям почти совпадают.

slide50
Рационализируемость ___________________________________________________________

Показатель нерациональности наименьший для всего мирового рынка.

slide51
Неоклассическая модель потребительского поведения___________________________________________________________

– количество социальных групп

– функции полезности этих групп

– доходы групп,

Утверждение 3. Пусть

Тогда

где – индекс цены с точки зрения группы

slide52
Интегрируемость и распределение доходов___________________________________________________________

Утверждение 4. Если где

то существует такая что

slide53
Функция общественного благосостояния Бергсона
slide54
Связь функции благосостояния Бергсона с индексом продукта___________________________________________________________

Утверждение 5. Пусть

где

Тогда индекс продукта не меньше, чем оптимальное значение функционала в задаче

(#)

Если - решение (#), то

slide55
Нарушение условий интегрируемости и социальная структура общества ________________________________________________________
slide56
Литература ___________________________________________________________
  • Afriat S.N. The construction of utility functions from expenditure data // International economic review, 1967, № 7, p. 67-77.
  • Varian H. Non-parametric tests of consumer behavior // The review of economic studies, 1983, v.L(1), № 160 (1), p.99-100.
  • Шананин А.А. Непараметрические методы анализа структуры потребительского спроса. // Мат. моделирование, № 9, 1993, с.3-16.
  • Houtman M. Nonparametric consumer and producer analysis // Dissertation № 95-32, 1995, University of Limburg, Maastricht, the Netherlands.
  • Levin V.L. Reduced cost function and their applications // J. of Math. Econ., 1997, v.28.
  • Петров А.А., Шананин А.А. Об условиях существования агрегированных функций спроса. М.:Докл. АН, 1997, Т. 356, \No2,с.170-172
  • Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Показатели нерациональности потребительского поведения и обобщенный непараметрический метод // Мат. моделирование, № 4, 1998, с.105-116.
slide57
Литература
  • Шананин А.А. Агрегирование конечных продуктов и проблема интегрируемости функций спроса.// М.: ВЦ АН СССР, 1986, 66 с.
  • Петров А.А., Шананин А.А. Условия интегрируемости, распределение доходов и социальная структура общества. // Математическое моделирование, 1994, т.6, №8, с. 105-125.
  • Шананин А.А. Об агрегации функций спроса. // Экономика и математические методы, 1986, т. 25, №6, с.1095-1105.
  • Тарасов С.П.,Шананин А.А. О гладкости функции полезности в теореме Африата - Вериана. // Докл. АН, 2003, т. 388, №1, с.19-22.
  • Вратенков С.Д., Шананин А.А. Анализ структуры потребительского спроса с помощью экономических индексов. // М.: ВЦ АН СССР, 1991, 62 с.
  • Шананин А.А. Проблема интегрируемости и обобщенный непараметрический метод анализа потребительского спроса. // Труды МФТИ, 2009, т.1, №4, с.84-98.
slide58
Литература
  • Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Усанов Д.А., Шананин А.А. Технологии анализа рынков на основе обобщенного непараметрического метода. // М.: ВЦ РАН, 2010, 67 с.
  • Кондраков И.А. Шананин А.А. Идемпотентные аналоги теорем о неотрицательных матрицах и их приложения к анализу экономической информации // Журнал вычислительной математики и математической физики 2011, том 51, № 2, с. 188–205.
  • Кондраков И.А., Поспелова Л.Я., Шананин А.А. Обобщенный непараметрический метод. Применение к анализу товарных рынков. // Труды МФТИ, 2010, т.2, №3, c.32-45.
  • Кондраков И.А. Программный комплекс анализа торговой статистики на основе обобщенного непараметрического метода "Индекс" // Системы управления и информационные технологии, 1.1(43), 2011, с. 198-203.
  • Кондраков И.А.Поспелова Л.Я. Шананин А.А. Программа исследования и сегментации потребительских рынков. // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2008615547. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 19 ноября 2008 г. Москва, реестр программ для ЭВМ, 2008, 50 с.