Kvantum kriptogr áfia

1. Kvantum kriptográfia

2. Kvantumelmélet és kriptográfia Areas of interest include: • quantum computation, computer • quantum cryptography • quantum teleportation and communication http://www.qubit.org/library/

3. Makrovilág • adathordozók (kulcs számára): • papíralapú hordozók • mágneses hordozók • rádiójelek • beszéd • minden fizikai jellemző mérhető a jellemző torzítása nélkül • adott a lehetőség a passzív lehallgatásra

4. nagyságrendek Nagyságrendek és fizikai törvények

5. nagyságrendek Föld: 108 m hegyek

6. nagyságrendek Naprend-szer: 1013 Föld: 108 m hegyek

7. nagyságrendek Galaxisok: 1020 fényév: 1016 Naprend-szer: 1013 Föld: 108 m hegyek

8. Nagyságrendek Nagyságrendek és fizikai törvények Világegyetem: 1026 m Einsteini fizika Húrelmélet Galaxisok: 1020 fényév: 1016 Naprend-szer: 1013 Föld: 108 m hegyek Klasszikus fizika H atom: 5,3*10-10 Kvantum fizika H atommag: ~ 2*10-15 A kuprit rézatomja körül kialakuló, kovalens kötést létrehozó elektronfelhő Húrok ~10-29

9. Kvantumelmélet A 20. század elejére a klasszikus fizika letisztult; „csak”néhány jelenség - például a fekete test sugárzása vagy a fény terjedése mozgó közegben - nem illeszkedett az elfogadott összefüggésekhez. Max Planck a feketesugárzás formulájának levezetése során feltételezte az energia kvantumos természetét. Albert Einstein a kvantumhipotézist a fényre is kiterjesztette, feltételezése: a fényadott energiakvantumokból, azaz fotonokból áll. (Részecske és hullámtermészetű is) Niels Bohr: az atom kvantumelmélete:az elektronok az atommag körül csak meghatározott pályákon keringhetnek, és az egyik pályáról a másikra való átugráskor a két pálya közötti energiakülönbséget egyetlen foton alakjában sugározzák ki. Werner Heisenberg vitatta, hogy az atomból kilépő foton viselkedése - pályája és sebessége - részleteiben is leírható a klasszikus fizika fogalmaival és összefüggéseivel, felvetette a megfigyelhetőség problematikáját. Ervin Schrödinger: hullámmechanika alapegyenlete a Schrödinger-egyenlet; elmélete szerint a klasszikus mechanika nem más, mint az általános érvényű hullámmechanika határesete.

10. Kvantumelmélet A kvantumelméletben vannak olyan jelenségek, amelyeket nem tudunk teljességgel megmagyarázni; tény azonban, hogy a kvantumelmélet összefüggéseire épített gyakorlati alkalmazások működnek : mint például az atomerőműben végbemenő nukleáris folyamatok vagy a CD olvasóban működő lézersugár. Afény hullámként és részecskeként is viselkedik {részecske-hullám dualizmus). Szuperpozícó-elmélet: elképzelhető, hogy a foton mindkét résen egyszerre haladt át, és a válaszfal túlsó oldalán kölcsönhatásba lépett önmagával, így létrehozva a vetítővásznon a csíkokat.

11. Kvantum számítógép A macska szuperpozíciós állapotban van: egyszerre élő is, halott is, mindkét lehetőséget –valamilyen valószínűséggel - kielégíti „Schrödinger macskája” Mikor felnyitjuk a ládát, látjuk, él-e a macska vagy sem. A szemrevételezéssel a macska egyik vagy másik állapotban lesz, a szuperpozíció megszűnik. . A mérés pillanatában „összeomlik” a hullámfüggvény, és az általa felölelt terület egy pontjára kényszerül a vizsgált részecske. Makrovilágban: Több szomszédos részecske is képes ilyen bizonytalan állapotba kerülni, de bizonyos mérethatár felett a gyakori ütközések miatt a rendszer hullámfüggvénye egy szűk tartományra koncentrálódik.

12. Kvantum számítógép Alapgondolat: a szubatomikus részecskék bizonyos körülmények között hullámként viselkednek, pl. az elektronok nem szigorúan egyetlen pontban, hanem a térben „elkenődve” helyezkednek el. Hullámfüggvény: leírja, hogy a részecske milyen valószínűséggel található a tér különböző pontjaiban, a hullámfüggvények szuperpozíciói egyszerre sok állapotot (műveletet) reprezentálhatnak.

13. Kvantum számítógép Az elemi információs egység - a hagyományos bit („binary digit") mintájára - a qbit („quantum bit"). Ezt elemi részecskék testesítik meg, amelyeknek bizonyos állapotát - például a forgásuk irányát - feleltetik meg az „1" illetve a „0" állapotnak. Ezek az elemi részecskék a kvantumelmélet törvényeit kihasználva szuperpozíciós állapotba hozhatók, ilyenkor egyszerre veszik fel az „1" és a „0" értéket. Az ilyen qbiteken végzett műveletek ekkor tulajdonképpen egyszerre minden lehetséges értéken végrehajtódnak. Ez 1 qubit esetében 2 művelet egyidejű elvégzését jelenti, míg n qbit esetén már 2n művelet egy lépésben való elvégzéséről van szó. A kvantumszámítógépekben a qubitek számának lineáris növelése exponenciális mértékben növeli a párhuzamosan elvégezhető műveletek számát.

14. Kvantum számítógép A hagyományos számítógépeknél használt digitális technika a Boole algebrán alapszik. Az egyes bitek „0" illetve „1" értékét a „false" illetve „true" értékeknek feleltjük meg, amelyekre értelmezett a logikai „NOT", „AND", „OR" stb. művelet. Ezeket a digitális technikában áramköri elemekkel meg lehet valósítani, ezeket logikai kapuknaknevezzük. A kvantumszámítógépeknél szintén logikai kapukat használnak építőelemként. Azonban itt figyelembe kell venni, hogy a művelet eredményének kiolvasása megszünteti a qbitek szuperpozíciós állapotát. Ezért ahhoz, hogy tudhassuk, hogy a végeredményt mely bemeneti értékekkel kapuk, az itt alkalmazott kapuknak reverzibilisnek kell lennie, vagyis olyannak, hogy a kimenet alapján meghatározhatóak legyenek a bemeneti értékek is. Ezt általában a bemeneti értékek közvetlen előrecsatolásával oldják meg.

15. Kvantum számítógép A A: qbit A kvantum-számítástechnikában az egyik alapvető építőelem a „ControlledNOT" kapu. Hasonló a digitális technikából jól ismert „XOR" kapuhoz, attól annyiban különbözik, hogy a bemeneti control bitek változatlan formában megjelennek a kimeneten, és a kapunak így összesen ugyanannyi kimenete van, mint bemenete. A kapu teljesíti a fenti követelményt. „Butterfly" kapu. Ennek kitüntetett szerepe van a kvantumszámítógépek világában, és nincs is megfelelője a klasszikus digitális technikában. A feladata az, hogy a kapott bemenetet szuperpozíciós állapotba hozza, ami szemléletesen azt jelenti, hogy a kimeneten 50-50% valószínűséggel fog „0" illetve „1" állapot keletkezni. Összeadó modul: SUM: szuperpozíció

16. Kvantum számítógép, példa • vegyünk néhány részecskét: qbitek • valamely tulajdonságuknak (pl. spin) megfeleltetünk egy bitértéket • a qbitek által ábrázolt bitmintát tekintsük bináris számnak • a részecskéket külső behatásoktól védett módon elhelyezve elterül hullámfüggvényük, és az összes általuk ábrázolható szám szuperpozíciójába kerül • ha valamilyen módon (pl. lézerrel) egy matematikai műveletnek (pl. hatványozás) megfelelően manipuláljuk őket, a qbitek felveszik az összes ábrázolható szám adott hatványának szuperpozícióját • összeomláskor véletlenszerű, de érvényes hatványt tudunk kiolvasni • tfh.  ellenőrző rendszer, ami 50 és 70 közötti számokra „szeret” összeomlani. Indítás és összeomlasztás után megkapjuk az eredményt, hagyományos módon ez jó néhány művelet lenne

17. Kvantum számítógép A fizika törvényei lehetővé tennék, hogy nagyobb rendszerek is képesek legyenek a kvantummechanika elvei szerint működni, és lehetne olyan készülék, ami az aktuális állapotát össze tudná omlasztani, ezáltal eldöntve, hogy a végtelen sok lehetséges kimenetel közül melyik legyen végleges. Ekkor pl. prímosztó keresése: a készülék a nagy számot egy véletlenszerűen választott prímszámmal elosztja, és jelzi, ha sikerült az osztás. Beindítás és várakozás után eljutnánk az összes lehetséges kvantumállapotba, és jelzéskor elég lenne összeomlasztani a rendszert, így megkaphatjuk azt az eseményt, ami során a megfelelő prímet választotta a készülék.

18. Kvantum számítógép Papíron sikerült már olyan gépet tervezni (1994, Peter W. Shor - AT&T Bell Labs), ami kvantummechanikai segédlettel képes arra, hogy egy szám prímfelbontását a számjegyek számának négyzetével arányos időben elvégezze. Hagyományos módon ez csak exponenciális idejű algoritmussal valósítható meg. Keresés adatbázisban: (Lov Grover 1996-ban publikált algoritmusa) az egyes bejegyzéseket a számítógép részecskéinek egy-egy kvantumállapotában tárolja el, kereséskor pedig a keresett bejegyzéshez tartozó állapot valószínűségét próbálja növelni, a többi bejegyzését pedig csökkenteni az összes bejegyzésen egyszerre elvégzett műveletekkel. A kereséshez így nem kell ellenőrizni az összes bejegyzést, hanem a keresett darab egyszer csak „előugrik” az adatbázisból.

19. Kvantum számítógép Hagyományos számítógépek modellezése:Sikerült már gyakorlatban előállítani logikai kapuknak megfelelő viselkedésű kvantumrendszereket.DE: az eredmény nem volt stabil, és egyszerre maximum 10-20 műveletig tartott ki a kapu.

20. Kvantum számítógép Gyakorlati megvalósítás akadálya (egyelőre): Néhány részecskénél nagyobb rendszert szinte képtelenség teljesen elzárni a külvilágtól. A kintről érkező legkisebb hatásra azonban a rendszer azonnal egy jól meghatározott állapotot vesz fel, azaz elvész a működéséhez szükséges bizonytalanság. Közelmúlt: új technika, ami redundanciák árán képes hibakorrigáló qbitek előállítására.

21. Kvantum számítógép 1978 - David Deutsch, Oxford számítógépmodell felvázolása, kvantumalapú mesterséges intelligencia 1985 - Kvantumpárhuzamosság elmélete Bennett(IBM) - Ekert(Oxford): kvantumszámítógép és információelmélet szintézisén munkálkodnak 1994 - Sohr(AT&T New Jersey Bell) megoldja az extrahosszú számok csak kvantumszámítógéppel lehetséges gyors oszthatóságának problémáját 1998 - IBM, MIT, Berkeley, Oxford kvantummechanika törvényei szerint működő számítógép építéseprocesszor: H és Cl atomokból áll

22. Kvantum számítógép A Bell-kristályban interferáló fotonpár négy lehetséges végállapot 15 prímtényezőkre bontásához egy legalább hét kvantumbites kvantumszámítógép szükséges Az IBM kémikusai ezért olyan molekulát hoztak létre, amelyben hét kvantumbitet hét magspin - öt fluor- és két szénatommag mágneses momentuma - alkotja. A kvantumszámítógép működése során az információ beírása (a spinek beállítása) rádiófrekvenciás impulzusok-kal, az eredmény kiolvasása pedig magmágneses rezonancia módszerrel (NMR) történhet. Az IBM 7 kvantumbites molekulája (penta-fluor-butadienil ciklopenta-dienil-dikarbonil-vas komplex: C11H5F5O2Fe)

23. Kvantum számítógép Isaac Chuang, kezében a kvantum-számítógépet magába záró üvegfiolával Az IBM kutatói kis üvegfiolában milliárdszor milliárd (1018) ilyen molekulát tartalmazó oldatban futtatták le a Shor-féle algoritmust, és meg is kapták a helyes eredményt, miszerint 15 prímtényezői: 3 és 5.

24. Kvantum számítógép Lehetséges-e olyan méretű kvantumszámítógépet előállítani, amit már használni is lehet valamire? Ha igen, annak komoly kihatása lesz a titkosítás világára (pl. prímfelbontás vagy vele analóg problémák megoldása). DE: kvantumkriptográfia

25. Kvantumelmélet és kriptográfia Areas of interest include: • quantum computation, computer • quantum cryptography • quantum teleportation and communication http://www.qubit.org/library/

26. A foton • a fény legkisebb egysége • parányi, rezgő elektromos mező • a foton polarizációja: a rezgés iránya • polárszűrő: a szűrő iránya szerint szűr Atomic/photon up and down spin.

27. A kalcitkristály Nem nyel el fotont! A belépő fotonok sorsa: • a merőlegeseket egyenesen átengedi • a párhuzamosakat eltéríti • az átlósakat P()-val eltéríti és 1-P()-val egyenesen átengedi (  = 45°és  = 135°esetén véletlen)

28. BB84 (Bennett-Brassard, 1984) • cél: kulcscsere (titkosan, későbbi használatra) • eszközök: • (lehallgatható) kvantumcsatorna • polarizált fotonok • hagyományos nyilvános csatorna

29. A BB84 algoritmus • Alice -általa ismert- polarizációjú fotonokat generál és küld Bobnak; • Bob előre meghatározott méréssorozatot végez a kapott fotonokon; • A sikeres mérések típusát nyilvános csatornán elküldi Alice-nak; • Alice elküldi, melyik mérés típusa volt megfelelő; • Ezek alapján a megfelelő típusú mérések eredményéből a kulcsbitsorozat előállítható.

30. Példa - jelölések • Fotonmérés-típusok:+rectilinear - „egyenes”O diagonal - „átlós” • Lehetséges fotonpolarizációk:-horizontal - 0°|vertical - 90°<left-circular - 45°>right-circular - 135° • Mérés sikerének valószínűsége: minél nagyobb legyen, lehetőleg 1 (ekkor nem lesz probléma az üres helyekkel)

31. Ezek alapján a megfelelő típusú mérések eredményéből a kulcsbitsorozat előállítható. Példa – kulcscsere Alice:|>|>><<|<>||<-->-><<>><>|<|-|>-<|>>||-<||<<<<|<><||<><<--|<><--< Bob:+O+++O++++O+O+O+OO++O++++OO+++O++OOO++O+O++OO+O+OO+O+++OO+OOOO+O Bob:|>| -< ||| |<-<-<>-- - -|<> || ||>>> -<|>-|<<| < |<|-|> |<><<-< Bob:+O+ +O+++ +O+O+OO++ + ++OO ++ ++OOO +O+O++OO+O+O+++O +OOOO+O Alice: ••• • • ••• • •• • ••• ••• ••• • •• •••• •• Key: 101 0 1 101 0 10 1 100 101 001 0 10 1000 10 Alice -általa ismert- polarizációjú fotonokat generál és küld Bobnak; Bob előre meghatározott méréssorozatot végez a kapott fotonokon; A sikeres mérések típusát nyilvános csatornán elküldi Alice-nak; Alice elküldi, melyik mérés típusa volt megfelelő;

32. Kvantum kriptográfia The BB key-distribution protocol in action

33. Működő kvantumrendszer, IBM-1989 30 cm-es távolság, 10bit/sec „sebesség”

34. A Genfi Egyetemen 1995-ben a foton-párok technikájára alapozva olyan rendszert sikerült létrehozni, ami száloptikát alkalmazva a Genf és Nyon között 23 km-es távolságon is működött xxx

35. A Northwestern Egyetemen Horace Yuen és Prem Kumar fejlesztettek ki egy olyan rendszert, amiben száloptikát használva nem egyedülálló fotonokat, hanem nagyobb fénynyalábok továbbítanak. Véleményük szerint így sokkal nagyobb sávszélesség érhető el: rendszerük 250 Mbps-mal tud működni az egyedülálló fotonok esetében elérhető 1 Kbps-os nagyságrend helyett.

36. Eve leleplezése Lehallgatási alapprobléma: Eve nem tudja egyszerre mérni a kétféle polarizációtípust, így nem minden esetben küld „ugyanolyan” fotont tovább, mint amit kapott. Módszer a leleplezésre: • Alice és Bob az egyező mérésekből nyilvánosságra hoz néhányat; • ha eltérés mutatkozik, akkor valószínű a lehallgatás; • ellenőrző részsorozatok paritásaival lehet kizárni a tévesztést; • a megmaradt bitek használhatók kulcsként.

37. Példa - leleplezés Alice:|>.<. |.. > .....> -...<| . |< |<>< .< Bob:|>.>. |.. > .. ...> -.. .<| . |> |<>< .<

38. Probléma  Eve féligáteresztő tükröt használva kisebb intenzitású részekre tudja osztani a beérkező fényt, ezáltal lehallgatás mellett zavartalanul képes továbbengedni azt Bobnak;ha csak csekély részt terel el, Bob nem veszi észre a gyengülést, így Eve akár mindkét mérést elvégezheti...

39. Megoldás  • Alice-nak szűrőkkel le kell csökkenteni a fény intenzitását villanásonként átlagosan kevesebb mint egy fotonra. • Az intenzitás-csökkentéssel négyzetesen csökken a lehallgatás lehetősége.

40. Probléma  A jelenleg használatos detektorok néha jeleznek akkor is, amikor valójában nem is érkezett be foton  „sötét számolás”. Az ehhez hasonló hibák „lehallgatást” jeleznek  HIBA!

41. Megoldás  • Nem ajánlott mindig teljesen eldobni ilyenkor az adatokat (bár ez lenne a biztos BB84 eljárás) • Kisszámú hibát meg lehet próbálni kijavítani • Nyilvános párbeszédben • Hibajavító kódokkal • FIGYELEM: Ezek Eve-nek is lehetnek infók, esetenként kikényszeríthet nyilvános kommunikációt! • Nagyszámú hibánál (pl. >¼) el kell dobni mindet!

42. EPR-hatás(Einstein-Podolsky-Rosen)quantum teleportation and communication • Biztonságos makroszéf nincs • a biztonság az idővel arányosan csökken • EPR-hatás: • tfh. egy középpontosan szimmetrikus atom két fotont bocsát ki ellenkező irányba a két megfigyelő felé ismeretlen polarizációval; • ha Alice és Bob ugyanolyan típusú mérést (+) hajt végre rajtuk, akkor egyforma valószínűséggel kapják az egyik eredményt (-), azonban ekkor a másik pont az ellenkezőjét (|) kapja és viszont; • mindkét foton polarizációja csak akkor határozódik meg, amikor valamelyikét megmérjük, a távolságtól függetlenül.

43. Hátrány Jelenleg technikailag megvalósíthatatlan a fotonok tárolásaa másodperc töredékénél hosszabb ideig.

44. Megvalósítás • Első próbálkozások: 1982-84 • Működő prototípus: 1989. IBM Charles Bennett 1989-ben Montreálban, az IBM laboratóriumában négy kollégájával együtt a gyakorlatban is megvalósította. Az első prototípusban zöld lézert használtak, és a fotonokat kb. 30 cm távolságra tudták továbbítani.

45. További eredmények, ~1990quantum teleportation and communication • Polarizáción alapuló tesztek - 1km • Kvantumrendezetlenség-vizsgálat - 4km • Fotoninterferencia - 10km optikai szálon 1991-ben az Oxfordi Egyetemen Arthur Ekert az „összetartozó" kvantum rendszerek - mint például az egyszerre létrehozott foton-párok - azon speciális tulajdonságát használta ki, hogy az egyes kvantumok megőrzik bizonyos közös tulajdonságaikat a szétválásuk után is. 1994-ben sikerült egy ezen az elven működő rendszert a gyakorlatban is megvalósítani.

46. Kvantum VÉGE