GCET059 Slides Sistemas Lineares A

Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Cálculo Numérico I Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição Um sistema linear é um conjunto de equações lineares: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição Um sistema linear é um conjunto de equações lineares:   a11x1 a21x1 a12x2 a22x2 a1nxn a2nxn b1 b2 + + + + + + = = ... = ... ...        am1x1 am2x2 amnxn bm + + + ... 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição Se considerarmos 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição Se considerarmos X =[ ]t x1 x2 xn ... 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição Se considerarmos X =[ ]t, B =[ ]t x1 x2 xn b1 b2 bm ... ... 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição Se considerarmos X =[ ]t, B =[ a12 a22 ... am2 ]te x1 x2 xn b1 b2 bm ... ...    , a11 a21 ... am1 a1n a2n ... amn ... ... ... ...   A = 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição podemos representar o sistema por 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição podemos representar o sistema por Am×nXn×1= Bm×1. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Definição podemos representar o sistema por Am×nXn×1= Bm×1. A matriz A é chamada matriz dos coeficientes, a X matriz das variáveis e B a matriz dos termos independentes. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Example O sistema 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Example O sistema { 2x − 3y x + y −5 = = 5 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Example O sistema { 2x − 3y x + y −5 = = 5 é linear e pode ser escrito como: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial Example O sistema { 2x − 3y x + y −5 = = 5 é linear e pode ser escrito como: [ ] [ ] [ ] 2 1 −3 x y −5 · = 1 5 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial São exemplos de sistemas não lineares: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial São exemplos de sistemas não lineares:   1−√x2= 0 x2 x2 3x1−1  (a) = −1 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Definição de um Sistema Linear e sua representação matricial São exemplos de sistemas não lineares:   (b)  1−√x2= 0 x2 x2 3x1−1 ∂f ∂x(x0,y0) ∂f ∂y(x0,y0)   (a) = −1  =   −1 2√y 2x−3 2x    3 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Solução de um Sistema Linear 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Solução de um Sistema Linear Definition Um vetor X é uma solução de um sistema linear quando satisfaz todas as equações que compõem este sistema. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Solução de um Sistema Linear Definition Um vetor X é uma solução de um sistema linear quando satisfaz todas as equações que compõem este sistema. Example O vetor[ ]té solução do sistema 2 3 { 2x − 3y x + y −5 = = 5 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Solução de um Sistema Linear Definition Um vetor X é uma solução de um sistema linear quando satisfaz todas as equações que compõem este sistema. Example O vetor[ ]té solução do sistema 2 3 { 2x − 3y x + y −5 = = 5 Verifique! 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Consideremos a aplicação 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Consideremos a aplicação S : Rn Rm AX, → 7→ A ∈ Rm×n. X 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Consideremos a aplicação S : Rn Rm AX, → 7→ A ∈ Rm×n. X Definição de alguns conjuntos associados à aplicação S O conjunto: {B ∈ Rm; ∃ X ∈ Rn,B = AX} é chamado imagem da aplicação S e é denotado por Im(S). {X ∈ Rn;AX = 0} é chamado núcleo (ou espaço nulo) de S e é denotado por N(S) ou ker(S); 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que: O posto e a nulidade de S o posto de S é a dimensão da imagem (posto(S) = dim(Im(S))). a nulidade de S é a dimensão do núcleo de S. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que: O posto e a nulidade de S o posto de S é a dimensão da imagem (posto(S) = dim(Im(S))). Esta dimensão pode ser determinada pela quantidade de linhas não nulas de A′, a matriz obtida por um processo de escalonamento da matriz A; a nulidade de S é a dimensão do núcleo de S. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Sabemos, da Álgebra Linear, que a dimensão de um espaço vetorial V (dim(V)) é igual a quantidade de vetores da base (conjunto de vetores linearmente independentes que gera o espaço V). Como iremos trabalhar com sistemas lineares, lembremos que: O posto e a nulidade de S o posto de S é a dimensão da imagem (posto(S) = dim(Im(S))). Esta dimensão pode ser determinada pela quantidade de linhas não nulas de A′, a matriz obtida por um processo de escalonamento da matriz A; a nulidade de S é a dimensão do núcleo de S. Esta dimensão pode ser determinada pela quantidade de linhas nulas de A′, a matriz obtida por um processo de escalonamento da matriz A. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Podemos entender um sistema linear 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Podemos entender um sistema linear Am×nXn×1= Bm×1, 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Podemos entender um sistema linear Am×nXn×1= Bm×1, de m equações lineares com n incógnitas, portanto, como sendo um conjunto de equações que determinam o subconjunto do domínio de S, também conhecido como a solução do sistema linear, que está associado a um vetor B ∈ Rm,B = AX. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Podemos entender um sistema linear Am×nXn×1= Bm×1, de m equações lineares com n incógnitas, portanto, como sendo um conjunto de equações que determinam o subconjunto do domínio de S, também conhecido como a solução do sistema linear, que está associado a um vetor B ∈ Rm,B = AX. Aqui, como o nosso objetivo é o de definir métodos para a obtenção deste conjunto, estaremos interessados em sistemas com solução única. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Podemos entender um sistema linear Am×nXn×1= Bm×1, de m equações lineares com n incógnitas, portanto, como sendo um conjunto de equações que determinam o subconjunto do domínio de S, também conhecido como a solução do sistema linear, que está associado a um vetor B ∈ Rm,B = AX. Aqui, como o nosso objetivo é o de definir métodos para a obtenção deste conjunto, estaremos interessados em sistemas com solução única. Portanto, devemos nos preocupar com a existência e a unicidade da solução deste sistema. O resultado que trata dessa questão é Teorema de Rouche-Capelli. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Um sistema linear é classificado quanto ao conjunto solução em: unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado; infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado; vazio, dizemos que é um sistema impossível. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Um sistema linear é classificado quanto ao conjunto solução em: unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado; infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado; vazio, dizemos que é um sistema impossível. Seja Am×nXn×1= Bm×1um sistema de equações lineares, dim(Im(A)) = µ e min{m,n} = ν. A classificação do sistema linear segue conforme tabela abaixo: 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Classificação de um sistema linear Um sistema linear é classificado quanto ao conjunto solução em: unitário, dizemos que é um sistema possível e determinado; infinito, dizemos que é um sistema possível e indeterminado; vazio, dizemos que é um sistema impossível. Seja Am×nXn×1= Bm×1um sistema de equações lineares, dim(Im(A)) = µ e min{m,n} = ν. A classificação do sistema linear segue conforme tabela abaixo: Am×n m = n m < n m > n B ∈ Im(A) e µ = ν B 6∈ Im(A) e µ = ν B ∈ Im(A) e µ < ν B 6∈ Im(A) e µ < ν única solução sem solução infinitas soluções sem solução infinitas soluções sem solução infinitas soluções infinitas soluções sem solução sem solução sem solução infinitas soluções 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Exemplos 1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é possível determinado. 2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o sistema é possível indeterminado. 3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o sistema é impossível. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Exemplos Daremos exemplos de sistemas lineares Am×n· X = B, relacionando a matriz dos coeficientes e os tipos de solução do sistema linear. 1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é possível determinado. 2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o sistema é possível indeterminado. 3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o sistema é impossível. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Exemplos 1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é possível determinado. 2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o sistema é possível indeterminado. 3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o sistema é impossível. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Exemplos 1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é possível determinado. Example Classifique o sistema { 2x1 3x1 x2 4x2 3 − + = = 10 2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o sistema é possível indeterminado. 3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o sistema é impossível. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

Sistemas Lineares Exemplos 1 Se a matriz A é quadrada de ordem n e dim(Im(A)) = n, então o sistema é possível determinado. Example Classifique o sistema { 2x1 3x1 x2 4x2 3 − + = = 10 Observe que o sistema possui número de equações lineares igual ao número de incógnitas (m = n) e como a matriz A dos coeficientes possuem colunas que são linearmente independentes, temos que dim(Im(A)) = 2, o que o torna um sistema possível e determinado. De fato, o sistema possui como solução o vetor X = (2 1)t. 2 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B ∈ Im(A), então o sistema é possível indeterminado. 3 Se a matriz A é quadrada de ordem n, dim(Im(A)) < n e B 6∈ Im(A), então o sistema é impossível. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 27 de fevereiro de 2023

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