Resolução de equações não lineares

1. Resolução de equações não lineares

2. Raiz de uma equação • Raiz exata • Um número xr é raiz exata de uma equação f(x)=0 se f(xr)=0 • Raiz aproximada • Um número x’ é raiz aproximada de uma equação f(x)=0 se |x’-xr| e |f(x’)| forem ambos próximos de 0 • Comparar o módulo da subtração da raiz é basicamente uma operação teórica, pois não se pode obter a raiz exata

3. Calculando as raízes • Para calcular as raízes reais de uma equação f(x)=0 é necessário: • 1) delimitar, enumerar e separar as raízes • 2) utilizar um método numérico para calculo de cada raiz

4. Equações algébricas polinomiais • A) toda equação do tipo anxn+an-1xn-1 +...a1x1+a0 é algébrica e polinomial • n é um número natural denominado grau da equação • Os coeficientes ai, i=0...n são números reais

5. Equações algébricas polinomiais • Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com seu grau de multiplicidade

6. Multiplicidade de raizes • Uma raiz tem grau de multiplicidade m se: • anula a função que origina a equação • Anula as derivadas até a ordem m-1 • Não anula a derivada de ordem m

7. Exemplo • A equação f(x)=x3-5x2+8x-4 tem raízes x1=1 x2=2 e x3=2 • f(2)=0 • f’(2) = 3x2-10x+8 -> f’(2)=0 • f’’(2)=6x-10 ->f’’(2)=2

8. Equações algébricas polinomiais • As raízes complexas aparecem sempre em pares conjugados (a+bi e a-bi) • Toda equação polinomial de grau impar tem pelo menos uma raiz real

9. Delimitação de raízes reais • Limite superior positivo-teorema de Lagrange • Seja f(x)=0 uma equação polinomial de grau n, na qual an>0 e a0≠ 0 • Para limite superior de suas raízes positivas, caso existam pode ser tomado o número • K= grau do 1º termo negativo • M= módulo do menor coeficiente negativo

10. Exemplo • Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

11. Exemplo • Calcule o limite superior para as raízes positivas da equação f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 n=5,k=3,a5=1 e M=16

12. Delimitação das raízes reais • Limite inferior negativo • Obter a equação auxiliar f1(x)=f(-x)=0 • usar o teorema de Lagrange em f1(x), obtendo o limite superior de suas raízes positivas L1 • O limite inferior das raízes negativas é dado por –L1

13. Exemplo • Calcule o limite inferior para as raízes negativas da equação f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0

14. Exemplo f(x) = x5+x4-8x3-16x2 +7x+14 =0 f1(x) = -x5+x4+8x3-16x2-7x+14 =0 an<0 logo devemos multiplicar f1 por -1 f1(x) = x5-x4-8x3+16x2+7x-14 =0 n=5,k=4,a5=1 e M=14 Logo –L1=-15

15. Enumeração das raízes • Regra dos sinais de Descartes – O número de raízes positivas de equações polinomiais é igual ao número de variação de sinais apresentado pelo conjunto de coeficientes ou menor em um número par

16. Exemplo • x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

17. Exemplo • x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 • x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0

18. Exemplo • x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 • x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 • 2 variações -> 2 raízes ou nenhuma raiz

19. Exemplo • x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 • Quantas raízes?

20. Exemplo • x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 • Quantas raízes? • 5 variações -> 5 raízes ou 3 ou 1 raiz

21. Exemplo • 5x5-16x2+7x-14=0 • Quantas raízes?

22. Exemplo • 5x5-16x2+7x-14=0 • Quantas raízes? • 3 variações -> 3 raízes ou 1 raiz positiva

23. Enumeração de raízes • Para determinar o número de raizes negativas basta trocar x por (-x) na equação e aplicar a regra dos sinais

24. Exemplo • x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 • f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 • f(-x)=-x5+x4+8x3-16x2-7x+14=0 • 3 raízes ou 1 raiz negativa

25. Exemplo • x5-x4+8x3-16x2+7x-14=0 • f(-x)=-x5-x4-8x3-16x2-7x-14=0 • Sem variação -> nenhuma raiz negativa

26. Sucessão de Sturm • Dada a equação polinomial f(x)=0 a sucessão de Sturm a ela associada é o seguinte conjunto de polinômios: f(x)f1(x)f2(x)... fm(x) • f(x) é o polinômio que origina a equação • f1(x) é a primeira derivada de f(x)

27. Sucessão de Sturm • A partir de f2(x) cada termo é o resto, com o sinal trocado, da divisão dos 2 termos anteriores • f(x)/f1(x) = Q1x+R1x -> f2(x)=-R1x • f1(x)/f2(x) = Q2x+R2x -> f3(x)=-R2x • A sucessão procede até que seja obtido um resto constante

28. Propriedades • Se a equação tiver raízes múltiplas então o último termo da sucessão é nulo • Para nenhum valor de x, 2 termos consecutivos da sucessão não se anulam • Se, para algum x, um termo médio da sucessão se anula, então os termos vizinhos terão valores numéricos de sinais opostos

29. Teorema de Sturm • Seja N(alpha) o número de variações de sinal apresentado pela sucessão de sturm. Para x = alpha • O número de raízes reais de uma equação polinomial, sem raízes múltiplas, situadas em um intervalo [a,b] é igual a N(a)-N(b)

30. Exemplo • Determine o número de raízes reais da equação no intervalo (-15,5) f(x)=x5+x4-8x3-16x2+7x+14 f1(x)=5x4+4x3-24x2-32x+7 f2(x)=3,36x3+8,64x2-6,88x-13,72 f3(x)=-9,06x2+29,72x+29,22 f4(x)=-68,42x-49,69 f5(x)=-2,88

31. Raízes negativas N(15)-N(0) = 4-3 =1 Raízes negativas N(0)-N(5) = 3-1 =2 As outras duas raízes são complexas

32. Separação de Raízes reais • Teorema de Bolzano: seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b] • Se f(a).f(b)<0 então a equação f(x)=0 tem um número impar de raízes no intervalo [a,b]

33. Exemplo

34. Exemplo

35. Separação de Raízes reais • Se f(a).f(b) >0 então f(x)=0 tem um número par de raízes ou nenhuma raiz no intervalo [a,b]

36. Exemplo

37. Exemplo

38. Exemplo

39. Exemplo

40. Exemplo • Separe as raízes positivas da equação • f(x)= x5+x4-8x3-16x2+7x+14=0 • Sabendo-se que estão situadas no intervalo (0,5) e que o número de raízes positivas é 2

41. f(0)=14, f(5)=2399, f(2,5)= -56,78 • Uma raiz entre 0 e 2,5 e outra entre 2,5 e 5

42. Equações não polinomiais • Duas possibilidades • 1) Construir um esboço do gráfico da função com o objetivo de detectar os pontos • 2) Transformar a equação f(x)=0 em uma equação equivalente da forma g(x)-h(x)=0 • g(x)=h(x)

43. Equações não polinomiais • Esboçar os gráficos de g(x) e h(x) em um mesmo sistema de eixos cartesianos • As abscissas de cada ponto onde g(x) e h(x) se interceptam é uma raiz de f(x)

44. Exemplo • Seja a equação f(x)=x+ -5=0 • Pode ser escrita = 5-x (g(x)=h(x))

45. Metodo da Bisseção • Seja f(x) uma função continua em um intervalo [a,b] • O intervalo contém uma única raiz da equação f(x)=0 sendo assim, f(a).f(b)<0 • Este método consiste em dividir de forma sucessiva o intervalo [a,b] ao meio, até que seja obtido (b-a) <= precisão estabelecida

46. Graficamente - + a b

47. Graficamente - + + a b

48. Graficamente - + + a b’ b

49. Graficamente - + - + a b’ b

50. Graficamente - + - + a’ a b’ b