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Estabilidade e Estacionariedade em Séries Temporais

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Estabilidade e Estacionariedade em Séries Temporais. Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2. Objeto de estudo. A econometria de séries temporais dedica-se à estimação de equações de diferença contendo componentes estocásticos. Séries Discretas no Tempo. Seja y = f(t), portanto

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estabilidade e estacionariedade em s ries temporais

Estabilidade e Estacionariedadeem Séries Temporais

Adaptado de Enders, Capítulos 1 e 2

objeto de estudo
Objeto de estudo
  • A econometria de séries temporais dedica-se à estimação de equações de diferença contendo componentes estocásticos.
s ries discretas no tempo
Séries Discretas no Tempo
  • Seja y = f(t), portanto
  • Δy = f(t0 + h) – f(t0)
  • Na prática, as séries econômicas são geradas em intervalos discretos de tempo
  • Toma-se por conveniência h = 1, representando a unidade de tempo da série em questão
s ries discretas
Séries discretas
  • Note que o fato do tempo ser discreto não implica que a variável y seja discreta.
  • A variável discreta y é dita aleatória (estocástica) se existe pelo menos um valor de r tal que 0 < p(y = r) < 1
  • Caso exista um valor de r para o qual p(y = r) = 1, então y é determinística
s ries discretas1
Séries Discretas
  • Os elementos de uma série econômica {y0, y1, ..., yt} podem ser considerados como realizações (resultados) de um processo estocástico.
  • Por exemplo o PIB. Como não podemos prevê-lo perfeitamente, yt é uma variável aleatória.
  • Cada valor conhecido do PIB é uma realização desse processo estocástico.
objetivo do modelo
Objetivo do modelo
  • A partir de valores observados de uma séries temporal (i.e., uma amostra), identificar os aspectos essenciais do “verdadeiro” processo gerador de dados (i.e., do universo).
  • As equações de diferenças estocásticas são um instrumento eficaz para modelar processo econômicos dinâmicos.
equa es de diferen as
Equações de diferenças
  • Uma equação de diferenças expressa o valor de uma variável como função de seus próprios valores defasados, do tempo, e de outras variáveis. Ex:

yt = 8,2 + 0,75yt-1 – 0,12yt-2 + εt

ru do branco
Ruído Branco
  • Uma seqüência {εt} é dita ruído branco se cada valor da série tiver média zero, variância constante, e não apresentar correlação serial.
ru do branco2
Ruído Branco

E(εt) = E(εt) = ... = 0

Var(εt) = Var(εt) = ... = 2

E(εt.εt-s) = 0 para todo s  0

solu o de equa es de diferen as
Solução de equações de diferenças
  • A solução de equações de diferenças lineares pode ser dividida em duas partes: a solução particular e a solução homogênea.
  • A parte homogênea da equação dá uma medida do desequilíbrio inicial em relação à posição de equilíbrio de longo prazo
  • A equação homogênea é importante porque dá as raízes características, que determinam se a série é convergente (estável)
exemplo equa o de ordem 2
Exemplo: Equação de ordem 2

yt = a0 + a1yt-1+ a2yt-2 + εt

Equação homogênea

yt - a1yt-1- a2yt-2 = 0

Equação característica

x2 - a1x - a2 = 0

  • As raízes dessa equação são chamadas raízes características
ra zes e estabilidade
Raízes e estabilidade
  • As raízes características serão funções dos coeficientes a1 ea2
  • As raízes características determinam se a série é estável (convergente) ou instável (divergente)
  • Isto é, a estabilidade da série depende dos coeficientes a1 ea2
condi es de estabilidade
Condições de Estabilidade
  • Condição necessária
  • Condição suficiente
  • Se algum ai = 1, o processo tem raiz(es) unitária(s)
estabilidade e estacionariedade
Estabilidade e Estacionariedade
  • Se yt é uma equação estocástica de diferenças, então a condição de estabilidade é uma condição necessária para que a série temporal {yt} seja estacionária.
estacionariedade
Estacionariedade
  • Um processo estocástico y(t) é dito (fracamente) estacionário se:
  • E[y(t)] = 
  • Var[y(t)] = E[y(t) - ]2 = 2
  • E{[y(t) - )][y(t - k) - ]} = f(k)
  • Obs.: um processo fortemente estacionário não precisa de média e variância constantes. (É um conceito menos restritivo).
interpreta o
Interpretação
  • Uma série temporal é dita estacionária se suas propriedades estatísticas não mudam com o tempo
  • A série estacionária tem média e variância constantes no tempo, e a covariância entre valores defasados da série depende apenas da defasagem, isto é, da “distância” temporal entre eles.

Cov(Yt,Yt-k) = k k

interpreta o1
Interpretação

Cov(Yt,Yt-k) = k k

  • significa que se, por exemplo, 1 > 0, então um valor “alto” de Y no presente momento provavelmente será seguido de um valor também alto de Y no próximo momento.
  • A hipótese de que os k sejam estáveis no tempo, permite que se use essa informação para prever valores futuros da série.
n o estacionariedade
Não-estacionariedade
  • No nível da média. A média varia ao longo da série. Séries que apresentam tendências temporais não têm média estacionária.
  • Se a tendência for não-linear, as covariâncias também se alterarão ao longo do tempo
modelo autoregressivo de primeira ordem ar 1
Modelo autoregressivo de primeira ordem AR(1)
  • É representado como:

Yt = a1 Yt-1 + t

  • significa que o valor de Y em t depende do valor de Y no período anterior mais uma perturbação aleatória.
  • Note que se tomou a0 = 0.
m dia do modelo ar 1
Média do modelo AR(1)

E(yt) = a0/(1 – a1)

vari ncia do modelo ar 1
Variância do modelo AR(1)

Var(yt) = 2/[1 – (a1)2]

covari ncia do modelo ar 1
Covariância do modelo AR(1)

Cov(yt, yt-s) = 2(a1)s/[1 – (a1)2]= γs

Portanto γ0 é a variância de yt

autocorrela o
Autocorrelação
  • Para uma série estacionária pode-se definir a autocorrelação entre yt e yt-s como:

s = γs /γ0

  • A função de autocorrelação (FAC) mostra os valores de s para valores crescentes de s.
restri es para estacionariedade do ar 1
Restrições para estacionariedade do AR(1)
  • Seja Yt = a0 + a1 Yt-1 + t
  • Dada a condição inicial y = y0 para t = 0, a solução da equação é:

Yt = a0i=0t-1 a1i + a1tY0 + i=0t-1 t-i

restri es continua o
Restrições (continuação)
  • Ao tomar o valor esperado de y para os instantes t e t+s observa-se que:

E (yt)  E(yt+s)

  • Isto é, a média não seria constante e, portanto o AR(1) não seria estacionário
restri es conclus o
Restrições (conclusão)
  • Esta restrição é contornada ao se tomar o valor limite de yt:

lim yt = a0/(1 – a1) + i=0∞t-i = a0/(1 – a1)

  • Portanto a estacionariedade requer |a1| < 1, e requer também que o número de observações seja grande, ou que o processo esteja ocorrendo ahá um tempo infinitamente longo
  • Portanto é necessário cuidado ao trabalhar com séries originárias de processos recentes, pois podem não ser estacionárias.
autocorrela o parcial
Autocorrelação parcial
  • Mede a intensidade da relação entre duas observações da série, controlando (mantendo constante) o efeito das demais

Yt = 11Y1 + t  11= 11

Yt = 11Y1 + 22Y2 + t  22= 22

Yt = k1Y1 + k2Y2 + ...+ kkYk + t  kk= kk

  • a seqüência de pares (k, kk) constitui a função de autocorrelação parcial
interpreta o2
Interpretação
  • Se, por exemplo, numa série mensal, os valores de Yt forem altamente correlacionados com os valores de Yt-12, então a função de autocorrelação parcial deveria exibir um pico na defasagem 12, e nenhum valor significativo nas demais.